一类含有梯度项的非局部椭圆微分不等式解的Liouville型定理

杜烨,方钟波

(中国海洋大学数学科学学院,山东 青岛 266100)

1.引言与主要结论

我们考虑一类具有卷积型非局部项的拟线性椭圆不等式非负非平凡弱解的非存在性

其中m,q >0,r ≥0,微分算子LAu:=divA(x,u,∇u),A: RN ×[0,∞)×RN →RN为常见的Carath´eodory函数,使得

且LA为强p-强制算子(具体定义见第二节),其典型例子为通过多孔介质的非牛顿流体的研究中常出现的p-Laplacian算子.符号∗表示标准卷积算子,即

其中K ∈C(RN{0}),K >0满足lim infx→0K(x)>0,且存在ρ>0和β >0使得

其中c0为正常数.注意到,微分不等式(1.1)并非逐点意义下成立,因此称为非局部微分不等式.同时,卷积型非局部项出现于许多领域的实际物理现象的描述中,如人口动力学、生物种群理论和渗流理论[1−3].

非线性偏微分方程(不等式及组)整体解的非存在性是一类非线性Liouville定理,除了可用于分析有界区域上解的某些性质外,它还是爆破理论或奇点理论的一种本质体现.1844年,Cauchy在文[4]中首次证明了有界整函数的Liouville定理以来已有许多方向的延伸和结果.特别是,我们首先回顾Gidas和Spruck[5]的非常巧妙且深刻的结果.他们考虑了经典的Lane-Emden方程

其中N >2且当1

事实上,当q >N/(N −2)(N >2)时,取充分小的正常数c,使得

是前述微分不等式的一个正解,因此临界指标N/(N −2)是最优的.从此之后,椭圆型微分方程(组)及不等式(组)整体解的非存在性、临界指标等问题的研究受到了许多学者的高度关注.

不等式的右边含有梯度非线性项的拟线性问题

其中1

0,r ≥0且q+r >p −1.Mitidieri和Pohozaev[7]考虑了α=0的情形,首次利用试验函数法得到了当q+r <(p −1)(N −r)/(N −p)时只存在常数解的结论.之后是有Filippucci[8]及LI和LI[9]的工作.特别是,LI和LI[9]在有界区域Ω ⊂RN(边界奇异)及整体空间Ω=RN上(原点奇异)考虑了奇异拟线性椭圆微分不等式并改进试验函数法证明了非负非平凡弱解的非存在性,得到了临界指标(p −1)(N −α −r)/(N −p).此外,关于不含梯度项的拟线性微分不等式整体弱解的非存在性问题的开创性的工作,可参考文[10-11].

关于非局部微分不等式的研究方面,Mitidieri 和Pohozaev[12]首次考虑了具有卷积型非局部项的椭圆微分不等式

其中m >1,L为线性微分算子,且Kβ(x)=cβ/|x|N−β表示阶数为β ∈(0,N)的Riesz势,cβ >0.他们利用由试验函数构造的非线性容度法证明了问题解的Liouville型定理.最近,Ghergu等[13]在有界及无界区域上考虑了含卷积型非局部源项和拟线性算子的微分不等式：−LAu ≥(Kβ ∗um)uq,m >0,q ∈R,Kβ为β阶的Riesz势且拟线性算子LA包括p-Laplacian算子,p-平均曲率算子等.他们利用试验函数方法建立了正解的存在性与非存在性的最优条件,并推广到了相应的拟线性椭圆不等式组.值得注意的是,目前我们所考虑的具有卷积型非局部项和梯度项的椭圆微分不等式的研究很少.

本文中,我们受Mitideri和Pohozaev[7]及Filippucci和Ghergu[14]的研究结果启发,在试验函数理论框架内讨论一大类含卷积型非局部源项和梯度源项的拟线性椭圆微分不等式(1.1)非负非平凡弱解的非存在性.

我们指出,不等式(1.1)左端的拟线性算子及右端的卷积型非局部项、乘幂型源项、梯度源项等各种成分的存在使得对非线性Liouville型定理的研究非常精致.特别是,由于各种因子的出现,使先验估计的推导也更加复杂.

现在,我们陈述本文的主要结论.

定理1.1假设1

0,r ≥0,0<β <,且令LA为强p-强制算子,K:RN{0}→(0,∞)为连续函数满足lim infx→0K(x)>0和(1.2).如果

则非局部不等式(1.1)在

中的非负弱解恒为常数,其中0

定理1.1表明,当算子LA的原型为p-Laplacian算子时,即满足如下不等式

其源项的整体指数q+m+r的临界指标为.尤其是,当β →0时,我们可猜测到如下范数型非局部不等式

本文的剩余部分结构如下.在第2节中,我们引入一些预备知识.在第3节中,我们证明一些预备引理并得到精细的先验估计值.最后,本文的主要结论的详细证明过程在第4节中给出.

2.预备知识

本节中,我们引入一些记号、定义并构造试验函数.为了方便起见,在下文中,我们记C为不依赖于u的正常数,其行数不同可能表达不同常数.

定义2.1如果函数A(x,z,ζ):RN ×[0,∞)×RN →RN满足

其中c1,c2>0为常数,,则函数A(x,z,ζ)称为强p-强制的(S-p-C).

由(2.1),我们可推出,存在正常数c3,c4使得对于固定的p>1满足

且如下不等式成立：

我们定义集合

其中d为实参数.

同时,对任意R>0,我们令BR是在RN中以原点x=0为中心,半径为R的球且定义截断函数;[0,1])使得

其中C为正常数.

现在,我们仔细选取试验函数.对任意τ >0,我们定义

3.先验估计值

本节中,我们介绍一些预备引理及精细的先验估计值.

我们首先引入一些预备引理,将在证明先验估计中起到关键作用.

引理3.1假设u ∈Sd为(1.1)的非负解,则

证令R>ρ充分大,其中ρ在(1.2)式中出现.对于x ∈BR,由假设(1.2) 式,我们有

由(3.1)式和(3.2)式,我们易知

因此,.由于R>ρ充分大,则我们可得引理3.1结论成立.

引理3.2假设u ∈Sd为(1.1)的非负解,则如下不等式成立：

由S-p-C的定义(2.1)式及Cauchy-Schwarz不等式和(2.2)式,我们有

结合(3.4)式和(3.5)式,我们推出

由带ε的Young不等式,我们得到

由于1<σ1<,因此uτ的指数大于0.由Beppo-Levi定理[15],此时我们可令τ →0,即可得(3.3)式.引理3.2证毕.

引理3.3我们定义

证在弱解的定义(2.3)式中选择φ=ξλ,则我们有

其中σ2>1待定.结合引理3.2的(3.3)式可推出

即σ1满足引理3.2的条件,σ3满足上述条件.下面,我们估计(3.11)式的另一项.利用Hlder不等式,我们导出

即σ2和σ4满足上述条件.

将(3.12)式和(3.13)式代入(3.11)式,利用J的定义(3.8)式,我们有

由此可得(3.9)式.引理3.3证毕.

接下来,我们给出J的精细先验估计式,将在定理1.1的证明中起关键作用.

命题3.1假设u为(1.1)的非负解,J由(3.8)式定义且,则如下不等式成立：

其中R>ρ充分大.因此,由(3.15)式,我们推出

结合(3.16)式和(3.17)式,我们得到

应用引理3.3中的(3.9)式,我们有

由此可得(3.14)式成立.命题3.1证毕.

4.主要结论的证明

本节中,我们给出定理1.1的详细证明过程.

再由(3.10)-(3.13)式,我们得到

结合(3.18)式和(4.2)式,我们导出

其中R的指数.现在,对(4.3)式取极限R →∞并由(4.1)式易得,u恒为非负常数.定理1.1证毕.