浅谈自制简易密度计的竖直漂浮的稳定性问题

唐建国

（苏州市胥江实验中学校，江苏 苏州 215004）

制作简易密度计是初中物理经常开展的一个综合实践活动，在制作过程中，为了能让密度计保持竖直漂浮状态，教师通常会指导学生在密度计下端增加配重，从而降低密度计的重心.文献［1］在探讨密度计出现倾斜漂浮的原因时，指出当重心高于浮心，竖直漂浮的物体必定倾翻；只有当重心低于浮心时，才能使密度计保持竖直漂浮状态稳定，并给出相关图示予以解释，如图1所示.然而更多的文献［2－4］研究表明，漂浮物体的平衡是否稳定，并不完全取决于重心要低于浮心这一条件，重心高于浮心，物体也能保持平衡.本文从物体保持平衡状态稳定的最小势能原理出发，推导密度计保持竖直漂浮稳定所需要满足的条件.

图1

1 简易密度计的物理模型建立

图2

2 势能的计算

漂浮物体只受浮力和重力作用，容易证明：重力G和浮力F做功均与路径无关，因而物体同时具有重力势能UG和浮力势能UF，将重力势能和浮力势能的零点定义在液面处.记重心和浮心距离液面的距离分别为hC和hD，若重心和浮心位于液面以下，则规定hC和hD分别为负值和正值.总势能U为

考虑到漂浮物体是等体积倾斜，重力和浮力始终相等，即

重心C到液面的距离为

浮心D到液面的距离为

将（2）～（4）式代入（1）式，得到

3 竖直漂浮的平衡稳定性讨论

对总势能函数（5）式求一阶导，并令一阶导为0，寻找平衡位置

显然θ＝0是方程（6）的一个解，表明竖直漂浮是平衡位置.若总势能函数的二阶导在θ＝0时为正数，意味着总势能有极小值，竖直漂浮的平衡状态是稳定的.

对总势能函数求二阶导得