一类Burkholder积分的上界及其应用

杨 敏，张 莉

(西华师范大学 a .数学与信息学院，b.公共数学学院，四川 南充 637009)

1 预备知识

(1)

其中Beltrami系数无穷范数有界：‖μf‖∞≤k<1，则称f为k-拟共形映射。

f(z)=z+b1z-1+b2z-2+…，|z|→∞，

(2)

则称f为Beltrami方程(1)的主要解。

定义2E:n×n→是连续泛函，若对任一n)，有

(3)

则称E为拟凸的。其中A表示任一线性映射(或矩阵)，Ω是n上任一有界区域。

对任一固定矩阵A和任意秩为一的矩阵X，若有t→E(A+tX)是凸的，则称E是秩一凸的。相反地，如果-E是秩一凸的，则E是秩一凹的，便可以利用凹性来研究凸性。在二维中最著名的秩一凹泛函就是Burkholder泛函：

(4)

其中A是任意二阶矩阵并且|A|是A的算子范数[1-3]。

Morrey[4]指出拟凸性能推导出秩一凸，而verák[5]的研究表明在高维(维数大于2)中秩一凸不一定能推出拟凸，这就使得在二维中可能出现不同的结果[6-7]。Astala等[8]对这一问题作出了如下猜想：

猜想A秩一凸泛函E:2×2→是拟凸的。

同时，Astala等[8]根据插值引理和面积定理得到下面的定理：

定理1对于A=Id，在恒等变换的拟共形扰动下Burkholder泛函是拟凹的，当f是Ω到自身的k-拟共形映射并且在边界上是恒等时，有

(5)

2 主要引理

引理1[8](圆盘上的插值引理)令0

(6)

(7)

(8)

3 主要结果及其证明

在下面定理2的条件下文献[10]得出：

本文在文献[8-10]的启发下，得到以下理论：

注意：(1)当n=0时，满足定理1的结论； (2)当n=1时，满足文献[10]中的结论。

(9)

其中τλ(z)是解析函数且满足

(10)

也就是说

(11)

(12)

(13)

在圆盘上的度量空间M(D,σ)上应用引理1(插值引理)，其中

(14)

(15)

(16)

结合(14)式得到

(17)

(18)

即：

定理1得证。

证明DR表示以R为半径的圆盘，由定理中R的取值情况可知Ω⊂DR，只需令定理1中

可以得到

(19)

由(19)式可得

(20)

(21)

结合(20)(21)式可以得到

(22)

(23)

(24)

定理3得证。