从一个四维左对称代数构造一些八维相空间

侯冬平，丁梦菲

(云南师范大学 数学学院，昆明 650500)

李代数与约当代数、交错代数被并称为三类非常重要的非结合代数。19世纪后期，挪威数学家S.Lie在研究连续变换群时引进了李代数。李代数与李群有密切的关系，之后作为一门独立的学科迅速发展，并且广泛应用于数学及物理的许多领域。

如果一个李代数上存在一个非退化的反对称的辛形式，则称这样的李代数为辛李代数[1-3]。在辛李代数上存在一种新的代数结构，称之为左对称代数(也称为预李代数)，是一类非常重要的非结合代数[4]。左对称代数与很多数学学科和数学物理的许多领域都有密切的关系，如仿射流形[5]、李群上的仿射结构[6]、李代数[7]等。通过一个左对称代数上的S-方程的一个对称解，可以构造出一个特殊的辛李代数(也称为相空间)。文献[8]中给出了一些四维和六维的相空间，然而，对于更高维数的相空间人们还知之甚少。

文献[9]给出了一类特殊的n维左对称代数An(域的直和)，设e1，e2，…，en是An的一组基，则：eiej=δijei，1≤i，j≤n。当n<4时，An上的S-方程的对称解及其对应的相空间都已经通过直接计算得到。本文主要给出A4上的S-方程的所有对称解及其对应的相空间，其中

矩阵中(i，j)元为ei，ej的乘积。

1 基本概念

定义1[4,10]设g是数域F上的一个线性空间，在g中定义双线性乘法[，]满足下列条件：

[x，x]=0;[[x，y]，z]+[[y，z]，x]+[[z，x]，y]=0，∀x，y，z∈g，

(1)

则称g是数域F上的一个李代数。

定义2[4]设g是数域F上的一个李代数，V是数域F上的一个线性空间，若g到gl(V)线性映射f满足等式：

f([x，y])=f(x)f(y)-f(y)f(x)，∀x，y∈g，

(2)

则称f是李代数g的一个以V为表示空间的线性表示，记为(f，V)或f。如：

ad:g→gl(g)，xadx，∀x∈g，adx(y)=[x，y]，∀y∈g，

称为g的伴随表示。

定义3[4，10]设A是数域F的一个线性空间，在A中定义双线性乘法“·”满足等式：

(x·y)·z-x·(y·z)=(y·x)·z-y·(x·z)，∀x，y，z∈A，

(3)

则称A是一个左对称代数或预李代数。此时，定义乘法“[，]”：

[x，y]=x·y-y·x，∀x，y∈A，

(4)

则(A，[，])是一个李代数，称为左对称代数A的邻接李代数，记为G(A)。

定义4[4]设V是数域F上的一个线性空间，V*是V的对偶空间，则存在一个自然的非退化对称的V*×V到F的双线性映射“〈，〉”满足：

〈v，a*〉=〈a*，v〉=a*(v)，∀a*∈V*，v∈V。

(5)

性质1[4]设(A，·)是一个左对称代数，G(A)是它的邻接李代数，则：

1)线性映射：

L.∶G(A)→gl(A)，xL.(x)，∀x∈A，其中L.(x)(y)=x·y，∀y∈A，

是李代数G(A)的一个表示，称为G(A)的正则表示。

2)线性映射：

L.*∶G(A)→gl(A*)，xL.*(x)，∀x∈A，

〈L.*(x)(a*)，y〉=-〈a*，x·y〉，∀x，y∈A，a*∈A*，

(6)

是李代数G(A)一个表示，称为G(A)的正则表示的对偶表示。

定义5[4]设g是一个李代数，g上的非退化的反对称双线性型f，如果满足：

f([x，y]，z)+f([y，z]，x)+f([z，x]，y)=0，x，y，z∈A，

(7)

则称f是g上的一个辛形式。具有辛形式的李代数称为辛李代数。

性质2[4]设g是一个李代数，f是g上的辛形式，则在g上存在一个相容的左对称代数结构“·”如下：

f(x·y，z)=-f(y，[x，z])，x，y，z∈A。

(8)

定义6[8]称李代数T(g)是一个相空间，若以下条件成立：

1)作为线性空间，T(g)是g与g*的直和，且g与g*是T(g)的子代数；

2)反对称双线性型：

fp(x+a*，y+b*)=-〈x，b*〉+〈a*，y〉，∀x，y∈g，a*，b*∈g*

(9)

是T(g)上的辛形式。

定义7[8]设(A，·)一个左对称代数，r是A与A的张量空间里的一个元素，称方程：

-r12·r13+r12·r23+[r13，r23]=0

(10)

为(A，·)上的S-方程。其中符号如下：

(11)

(12)

(13)

引理1[8]设(A,·)是一个左对称代数，r是A上的S-方程的一个对称解，则r可以被看作A*到A的一个线性映射:

〈r(a*)，b*〉=〈r，a*⊗b*〉，∀a*，b*∈A*。

(14)

从而r可以诱导出A*的一个左对称代数结构“·”相空间T(G(A))，且T(G(A))上的左对称代数结构“*”和李代数结构如下：

a**b*=a*·b*=-r.*(r(b*))a*+ad*(r(a*))b*，∀a*，b*∈A*;

(15)

[a*，b*]=L.*(r(a*))b*-L.*(r(b*))a*，∀a*，b*∈A*;

(16)

x*a*=x·r(a*)-r(ad*(x)a*)+ad*(x)a*，∀x∈A，a*∈A*;

(17)

a**x=r(a*)·x+r(R.*(x)a*)-R.*(x)a*，∀x∈A，a*∈A*;

(18)

[x，a*]=[x，r(a*)]-r(L.*(x)a*)+L.*(x)a*，∀x∈A，a*∈A*。

(19)

2 四维左对称代数A4上的S-方程的对称解和其对应的相空间

r12(r12-r11)=r12(r22-r12)=r12(r23-r13)=r12(r24-r14)=0;

r13(r13-r11)=r13(r23-r12)=r13(r33-r13)=r13(r34-r14)=0;

r14(r14-r11)=r14(r24-r12)=r14(r34-r13)=r14(r44-r14)=0;

r23(r13-r12)=r23(r23-r22)=r23(r33-r23)=r23(r34-r24)=0;

r24(r14-r12)=r24(r24-r22)=r24(r34-r23)=r24(r44-r24)=0;

r34(r14-r13)=r34(r24-r23)=r34(r34-r33)=r34(r44-r34)=0。

证明根据定义7，由于A4交换，直接计算可以得到

-r12·r13+r12·r23+[r13，r23]=-r12·r13+r12·r23

由于向量组ei⊗ej⊗ek，1≤i

定理1设e1，e2，e3，e4为左对称代数A4的一组基，e1*，e2*，e3*，e4*为其对偶基，则由A4上的S-方程的对称解r=(rij)诱导出的相空间T(G(A))上的李代数结构如下(只写出非零的括号积)：

证明首先证明左对称代数A4上的S-方程的对称解只有以上15种。

由命题1知道，r=(rij)是A4上的S-方程的对称解当且仅当rij是命题1中的方程组的解。

1)当r12，r13，r14都不等于0时，结合命题1中的方程可得

r11=r12=r13=r14=r22=r23=r24=r33=r34=r44≠0，

得到r=r1。

2)当r12，r13不等于0，且r14=0时，代入命题1中的方程可得：

3)当r12，r14不等于0，且r13=0时，根据命题1中的方程可得:

4)当r12不等于0，且r13=r14=0时，命题1中的方程组同解于以下方程组:

4a)当r34不等于0时，易知，r33=r44=r34，得到r=r4。

4b)当r34等于0时，得到r=r5。

5)当r12=0，且r13，r14不等于0，代入命题1中的方程可得：

6)当r12=r14=0，且r13不等于0，命题1中的方程组同解于以下方程组:

6a)当r24不等于0，易知：r22=r44=r24，解得：r=r7。

6b)当r24=0时，解得：r=r8。

7)当r12=r13=0，且r14不等于0，命题1中的方程组同解于以下方程组:

7a)当r23不等于0，得到：r22=r33=r23，解得r=r9。

7b)当r23=0时，解得r=r10。

8)当r12=r13=r14=0时，命题1中的方程组同解于以下方程组:

r23(r23-r22)=r23(r33-r23)=r23(r34-r24)=0;

r24(r24-r22)=r24(r34-r23)=r24(r44-r24)=0;

(r24-r23)=r34(r34-r33)=r34(r44-r34)=0。

8a)当r23，r24不等于0时，得到：

8b)当r23不等于0，r24=0时，得到：

故A4上的S-方程的对称解只有以上15种。

L.*(ek)ek*=-ek*，1≤k≤4，l.*(ei)ej*=0，i≠j。

根据引理1，得到：

所以，结论(1)成立。即

同理，也可以证明其余结论成立。

3 结 语

本文通过一个四维的左对称代数A4上的S-方程的对称解，得到了一些非平凡的八维相空间。在一定程度上丰富了高维数相空间的例子。由于本文所用方法涉及到非线性方程组的求解，很难把这种方法推广到维数较高的代数上。因此，寻找一个比较好的解决方案是以后研究工作的一个目标。