模糊L−关系范畴的范畴性质

周 鑫，刘 淼，汤建钢

(1.伊犁师范大学 数学与统计学院，新疆 伊宁 835000；2.伊犁师范大学 应用数学研究所，新疆 伊宁 835000)

1965 年，Zadeh[1]引入了模糊集的概念.模糊集作为经典集合理论的推广，可以用来刻画客观事物的不确定性数据和信息，从而在信息科学、语义学等多方面都有广泛的应用，这也使得模糊理论在理论研究和实践应用两方面都得到了长足的发展.为了满足现代科学技术进步需求及自身理论发展需要，Goguen[2]在1967 年引入了L−模糊集范畴的概念.对于L−模糊集范畴的研究，对象类选取为经典集合或是模糊集合，态射类选取为不同的模糊函数，会得到完全不同的范畴结构.文献[3]中展示了对象类选取为经典集合，态射类为几类常见模糊函数的范畴.文献[4]中讨论了对象类选取为模糊集合，态射类选取为模糊关系等范畴的性质.由于模糊关系与Zadeh 扩张原理，矩阵理论等方面有密切的关系，所以态射为模糊关系的范畴得到了许多数学工作者的关注[5-12].

范畴理论可以将不同数学对象的共同特征抽取出来，给出统一的描述，因而在现代数学研究中具备独有的优势.为了更深入理解态射为模糊关系的范畴，讨论其范畴性质是重要的基础性工作.1967 年，Goguen[2]讨论了经典集合作为对象类，模糊关系作为态射类的模糊关系范畴L−Rel的一些基本性质，如态射合成对并的分配律等，也进一步引入了模糊关系集上的模糊集，即模糊L−关系的概念.1992 年，Min[6]证明了经典集合构成对象类，集合间模糊关系构成态射类的范畴L−Rel是卡式闭的.2021 年，Alcantara 等[4]指出了范畴L−Rel 是†−对称幺半范畴，并给出了其内蕴幺半群和内蕴余半群结构.

一方面，模糊L−关系是模糊关系的L−集合，属于更高一阶的模糊理论，所以研究模糊L−关系范畴是研究n−阶模糊理论时的必要过程.另一方面，鉴于经典系统论中的模糊L−关系对应着模糊系统的模糊类[13]，序代数中的交和并运算都是模糊L−关系，所以研究模糊L−关系范畴对于充实模糊数学的理论研究及应用也十分有益.本文结合模糊关系范畴L−Rel的结构性质，讨论了模糊L−关系范畴 L−Rel的相关范畴性质.首先，给出了 L−Rel 中2 个对象的积和余积的结构.进而，定义出双函子 ⊗ 和†− 函子，得到 L−Rel 是†−对称幺半范畴.最后，指出了 L−Rel是一个2−范畴.

1 基本概念

1.1 格设 (L,≤)是一个偏序集，即集合L上有一个偏序关系 ≤.任意a,b∈L，称a,b的最小上界a∨b是a与b的并，a,b的最大下界a∧b是a与b的交.若任意的a,b∈L最小上界a∨b和最大下界a∧b总是存在的，则称(L,≤)是一个格.集合T(a,b)={c∈L|c∧a≤b} 的最大元，称为a在b中的相对伪补元，记为a→b.若a在b中相对伪补元总是存在的，则称 (L,≤)是一个 Brouwerian 格.若L的任意子集A有极大元 ∨A和极小元 ∧A，则称 (L,≤)是一个完备格.本文 L={L,≤,∨,∧,→,⊥,⊤}表示具有最小元 ⊥和最大元 ⊤的完备Brouwerian 格.

若 L上有一个二元运算 ∗:L×L →L 和幺元u∈L，满足：

(1)保持序结构：若a≤b，则a∗c≤b∗c；

(2)结合律：a∗(b∗c)=(a∗b)∗c；

(3)交换律：a∗b=b∗a；

(4)单位：a∗u=a=u∗a，其中a,b,c是L中任意元.

则称*是L上的一个三角模，或称为一个t−模.

若 L 上的一个t−模 ∗满足：

(1)双函子性：若a≤b,c≤d，则a∗c≤b∗d；

(2)幂等律：a∗a=a；

(3)分配律：a∗(∨ibi)=∨i(a∗bi)；

(4)伴随性：a∗b≤c⇔a≤b→c，其中a,b,c,d,bi是L中任意元.

则称 (∗,u)是L上的一个幺半结构.

1.2 模糊L−集和模糊L−关系 定义1[2]设 (L,≤)是一个偏序集，A∈Ob(S et)，A上模糊集 µ指映射：µ:A→L，其中A称为 µ的承载集，L称为真值集.

注1从文献[16]可以看出上述内容中所描述的定义都属于范畴 C为集合范畴S et时的模糊理论.

1.3 范畴定义2[17]若范畴具有：

(3) 3 个自然同构：

(a) 结合性：αA,B,C: (A⊗B)⊗C≅A⊗(B⊗C)，满足：

(b) 左单位：λA:A≅I⊗A；

(c) 右单位：ρA:A≅A⊗I，满足：

使得下述Maclane 五边形

和三角形

可换.

(2) 1−胞腔(或态射)：f:A→B；

(3) 2−胞腔(或自然变换)：

(a)合成：2−胞腔的合成有纵横2 种，分别如下：

(b)单位元：2−胞腔的单位元有纵横2 种，分别为Idf:f⇒f和IdA,2:IdA⇒IdA.且纵单位元的横合成仍为纵单位元.

(c)结合律：2−胞腔的纵合成和横合成都满足严格结合律.

(d)互换律：对于图表

则称 C是一个2−范畴.

例1对象为集合，态射为集合间关系构成的范畴 Rel是一个2−范畴，其中0−胞腔A∈Ob(Set)，1−胞腔R∈HomRel(A,B)，2−胞腔R⊆R′，这里

2 主要结果

文献[4]研究了对象为集合，态射为集合间模糊关系构成的范畴L−Rel范畴性质，讨论了该范畴中的积、余积、张量积、内蕴半群和内蕴余半群等范畴性质，并证明了该范畴具有对称幺半范畴结构，而且是一个†−范畴.本节中我们给出模糊L−关系范畴 L−Rel的相关范畴性质.

定义4设 L={L,≤,∨,∧,→,⊥,⊤}是一个完备Brouwerian 格，(∗,u)是 L 上的一个幺半结构.定义模糊L−关系范畴 L−Rel 如下：

其中R∈HomL−Rel(A,A)，EA是范畴L−Rel中的单位.

注3可以看出，模糊关系范畴L−Rel的态射为模糊关系，定义4 中模糊L−关系范畴 L−Rel 的态射为模糊模糊关系(模糊L−关系)，所以其属于更高一阶的模糊理论.

注4定义范畴 L−Rel中序关系如下：

2.1 L−Rel 中的积和余积从文献[4]可以看出范畴 Rel，L−Rel中2 个对象的积和余积都是它们的不交并得到.下面证明在范畴 L−Rel中2 个对象的积和余积也由它们的不交并得到.

定理1设A,B∈Ob(L−Rel)，则A,B在范畴 L−Rel 中的积A×B是不交并

及模糊L−关系：

其中R,π1∈HomL−Rel(A+B,A)，S,π2∈HomL−Rel(A+B,B)，且

A,B在范畴 L−Rel 中的余积A∏B是不交并

及模糊L−关系：

其中R,i1∈HomL−Rel(A,A+B)，S,i2∈HomL−Rel(B,A+B)，且

证明只证余积的情况，积的情况类似可得.

其次，U的唯一性由其定义可得.

最后，验证可得

证毕.

2.2 L−Rel 的对称幺半结构 定理2设 L={L,≤,∨,∧,→,⊥,⊤}是一个完备Brouwerian 格，(∗,u) 是 L上的一个幺半结构.在范畴 L−Rel 中定义 ⊗如下：