带线性记忆的Berger方程时间依赖全局吸引子的存在性

刘生清，姜金平，任丽宇，魏 佳

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

本文考虑具有线性记忆的非线性Berger方程：

其中，Ω是RN(N≥3)中具有光滑边界∂Ω的有界开区域，ε(t)是关于t的函数，α＞0是黏性阻尼系数，f(u)为非线性项。

本文引入下面变量：

对应边界条件为

u=Δu=0；ηt=Δηt=0；x∈∂Ω。

初值条件为

假设非线性函数f(x)、ε(t)和函数M(·)满足以下假设：

1）ε(t)∈C1(R)是单调递减的正函数，并且满足

特别地，存在L＞0，使得

2）设M：R+→R+是C1(R)上的增函数，且

3）设非线性项f∈C1(R)满足增长性条件

满足耗散性条件

当N≥3 时其中λ1是Δ2在D(A)中的第一特征值。

4）在该方程中记忆项的作用通过函数Δ2u(·)和记忆核μ(·)的线性时间卷积起作用。

其中，ε是一个正常数，显然由式（8）可得，对∀s≥s0≥0有

方程（1）主要描述的是一类非线性振动现象及能量耗散过程［1-8］。2021 年张娟娟等［9-10］研究了带有非线性阻尼的Berger 方程和Timoshenko 方程解的长时间行为；2013 年MONICA 等［11-12］首次在时间依赖空间中证明了波方程的时间依赖吸引子的存在性，为后面研究时间依赖吸引子问题奠定了理论基础；刘亭亭等［13-14］运用先验估计和算子分解的方法分别得到了Plate 方程和记忆型无阻尼抽象发展方程时间依赖全局吸引子的存在性；汪璇等［15-19］运用收缩函数的方法验证方程解过程的渐近紧性，研究了带有强阻尼和非线性扰动的Kirchhoff 波方程解的长时间行为，得到了时间依赖全局吸引子的存在性。因此，受文献［8-19］的启发，本文将对带线性记忆的弱阻尼Berger方程时间依赖全局吸引子的存在性进行研究。

1 预备知识

本文简记：

定义1［11］设{Xt}t∈R是一族赋范空间，双参数算子族{U(t，τ)：Xτ→Xt，t≥τ，τ∈R}满足如下性质：

1）对任意的τ∈R，U(τ，τ)=Id是Xτ上的恒等算子；

2）对任意的σ∈R 和任意的t≥τ≥σ，U(t，τ)U(τ，σ)=U(t，σ)，则称U(t，τ)是一个过程。

定义2［11］如果对每个t∈R，均存在一个常数R＞0，使得，则称有界集Ct⊂Xt的集合族C={Ct}t∈R是一致有界的。

定义3［11］如果对任意的R＞0，存在常数t0(t，R)≤t，使得τ≤t-t0⇒U(t，τ)Bτ(R)⊂Bt，则称一致有界集族B={Bt}t∈R是过程U(t，τ)的时间依赖吸收集。

定义4［11］过程U(t，τ)的时间依赖吸引子是满足如下性质的最小集族

1）在Ht中的每个At都是紧的；

定理3［11］（Banach-Alaoglu 定理）设X是一个自反的Banach 空间。若B⊂X是有界的，则B在弱拓扑空间X中是相对紧的。

引理1［14］对∀t＞τ，若记忆核函数μ(s)满足式（8）和式（9），那么对任意的

2 有界吸收集的存在性

方程（2）的解可通过标准的Galerkin 方法证明，得到其存在性和唯一性。

定理4设z(t)=U(t，τ)zτ是方程（2）关于初值zτ的解。如果对于任意初值条件成立，则存在正常数R0，使得方程（2）的过程U(t，τ)存在时间依赖吸收集，即族B={Bt(R0)}t∈R。

证明方程（2）与ut作内积并且在Ω上积分，可得

结合条件（5）和引理1可得

由ε(t)的递减性，有

将式（16）在[τ，t]上积分可得

E0(t) ≤E0(τ)，∀t≥τ。

由条件（6）及Sobolev 嵌入，可得到存在常数c0，C0以及递增函数C(s)，使得

设0 ＜ρ＜1，方程（2）与ut+ρu作内积并在Ω上积分可得

3 时间依赖全局吸引子的存在性

3.1 渐近先验估计

由ε(t)是递减函数的性质知ε'(t) ＜0，结合式（4），对任意的γ＞0，存在一个Cγ＞0，使得

2）将方程（33）与w(t)作内积，并在[τ，t]×Ω上积分，结合下列不等式

3.2 渐近紧性

由T是固定的，利用Lebesgue控制收敛定理，对每个T有

定理7在条件（3）～（9）的假设下，方程（2）对应的过程U(t，τ)：Hτ→Ht存在时间依赖全局吸引子

证明由定理4、定理5 以及定理6 的证明，可得存在唯一的时间依赖全局吸引子，且该吸引子A是不变的。证毕。