不定方程x2+324=my19（m=1，2，3，6，9，18）的整数解

李秀秀，高 丽，戴妍百，李改利

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

不定方程在数论中占有重要地位，从三世纪初就已经开始被研究。对于二次不定方程、三次不定方程和更高次的不定方程以及指数型方程，在解法上一直没有一般性的结论，但总的原则是通过初等或高等的方法，把要求解的不定方程转化为一个或一些相对简单的、可以处理的方程来进行求解，这就在解法上体现了一些技巧性和趣味性。

不定方程

是数论中的一类重要方程，它的整数解问题一直被广泛关注。有很多学者在这方面做了深入的研究，取得了一定的成果。文献［1］研究了不定方程xm=y2+1 的整数解问题，得出该方程没有整数解的结论；文献［2］研究了当D=64，m=2，n=7，11时，方程（1）没有整数解；文献［3］研究了当D=144，m=3，n=19时，方程（1）没有整数解；文献［4］研究了当D=144，m=1，2，3，4，6，n=11 时，方程（1）没有整数解；文献［5］研究了当D=4，m=8，n=11 时，方程（1）仅有解(x，y)=(±2，1)；文献［6］研究了当D=4 096，m=4，n=11 时，方程（1）仅有解(x，y)=(±64，2)；文献［7］研究了当D=1 024，m=4，n=9时，方程（1）仅有解(x，y)=(±32，2)；文献［8］研究了当D=256，m=4 时，方程（1）在n=7 时仅有整数解(x，y)=(±16，2)，在n=11 时无整数解；文献［9］研究了当D=4 096，m=4，n=13 时，方程（1）无整数解；文献［10］研究了当D=64，m=4 时，方程（1）在n=5时仅有整数解(x，y)=(±8，2)，在n=9时无整数解；文献［11］研究了当D=64，m=4，n=7，11时，方程（1）无整数解；文献［12］研究了当D=256，m=1，n=17 时，方程（1）无整数解；文献［13］研究了当D=1 024，m=1，n=15 时，方程（1）无整数解。

对于D=324，m=1，2，3，6，9，18，n=19 时方程（1）的整数解问题，未见研究过。本文在阅读上述相关文献的基础上，利用代数数论和同余理论等初等数论的相关知识，研究当D=324，m=1，2，3，6，9，18，n=19 时，不定方程x2+D=myn(x，y∈Z，n∈N，n≥2)的整数解问题，得出该方程无整数解的结论，从而丰富了这类方程整数解的研究内容。

1 主要引理

引理1［14］设M是唯一分解整数环，正整数k≥2，以及α，β∈Z，(α，β)=1，αβ=τk，τ∈M，则有α=ε1μk，β=ε2ϑk，μ，ϑ∈M，其中ε1，ε2是M中的单位元素，并且ε1ε2=εk，ε为单位元素。

2 定理及证明

定理1不定方程

无整数解。

证明方程（2）可分为x≡1(mod 2)和x≡0(mod 2)两种情况进行讨论。

1.当x≡1(mod 2)时，在Z[i]中，方程（2）可写为(x+18i)(x-18i)=my19。设(x+18i，x-18i)=η，则有η|(2x，36i)，可得η只能取1，1 +i，2。

因 为x≡1(mod 2)，因 此x+18i≡1(mod 2)，则η≠2；若η=1 +i，则N(1 +i)|N(x+18i)，即2|x2+324，又x≡1(mod 2)，矛盾，故η≠1 +i。因此η=1。

因此方程（2）的取值有以下6种情况：

1）m=1，b=±1，± 2，± 3，± 6，± 9，± 18；

2）m=2，b=±1，± 3，± 9；

3）m=3，b=±1，± 2，± 3，± 6；

4）m=6，b=±1，± 3；

5）m=9，b=±1，± 2；

6）m=18，b=±1。

下面将分情况进行讨论。

1）当m=1时，

由式（6）可得，要使等式成立，需满足a2=1 或-17|19a2。显 然-17|19a2不 满足，当a2=1 时，有19 ×(1 -51+612 -2 652+4 862 -3 978+1 428 -204+9)=9 × 27=243 ≠19，故a2≠1，b≠±1。

b）当b=±2时，由式（5）可得

由式（7）～（9）可得，要使等式成立，需满足262 153|19a2或262 135|19a2，显然不满足，故b≠±2。

c）当b=±3时，由式（5）可得

由式（10）～（12）可得，要使等式成立，需满足387 420 495|19a2或387 420 483|19a2，显然不满足，故b≠±3。

d）当b=±6时，由式（5）可得

由式（13）～（15）可得，要使等式成立，需满足101 559 956 668 419|19a2或101 559 956 668 413|19a2，显然不满足，故b≠±6。

e）当b=±9时，由式（5）可得

由式（16）～（18）可得，要使等式成立，需满足150 094 635 296 999 123|19a2或150 094 635 296 999 119|19a2，显然不满足，故b≠±9。

f）当b=18时，由式（5）可得

由式（19）可得，要使等式成立，需满足a2=25或a2=1 369。

I）当a2=25 时，代入式（19）发现所得结果与1818+1不相等，故a2≠25。

II）当a2=1 369 时，代入式（19）发现所得结果与1818+1不相等，故a2≠16。

故b≠18。

g）当b=-18时，由式（5）可得

由式（20）可得，要使等式成立，需满足a2=1或a2=49。

I）当a2=1 时，代入式（20）发现所得结果与1818-1不相等，故a2≠1。

II）当a2=49 时，代入式（20）发现所得结果与1818-1不相等，故a2≠49。

故b≠-18。

2）当m=2时，

由式（22）可得，要使等式成立，需满足10|19a2或-8|19a2显然不满足，故b≠±1。

b）当b=±3时，由式（21）可得

由式（24）可得，要使等式成立，需满足a2=4，把a2=4 代入式（23），结果为-1 850 103 188，与式（24）不符，故a2≠4，b≠3。

由式（25）可得，要使等式成立，需满足387 420 486|19a2显然不满足，故b≠-3。

c）当b=±9时，由式（21）可得

由式（26）～（28）可得，要使等式成立，需满足150 094 635 296 999 122|19a2或a2=1，a2=4，a2=16。显 然150 094 635 296 999 122|19a2不满足，故b≠9。

I）当a2=1 时，代入式（26），发现结果为235 599 294 651 398 353，与式（28）不符，故a2≠1。

II）当a2=4 时，代入式（26），发现结果为68 915 164 338 103 003，与式（28）不符，故a2≠4。

III）当a2=16 时，代入式（26），发现结果为14 172 320 590 872 043，与式（28）不符，故a2≠16。

故b≠-9。

3）当m=3时，

由式（30）可得，要使等式成立，需满足7|19a2或-5|19a2，显然不满足，故b≠±1。

b）当b=±2时，由式（29）可得

由式（31）～（33）可得，要使等式成立，需满足262 147|19a2或262 141|19a2，显然不满足，故b≠±2。

c）当b=±3时，由式（29）可得

由式（34）～（36）可得，要使等式成立，需满足387 420 491|19a2或387 420 487|19a2，显然不满足，故b≠±3。

d）当b=±6时，由式（29）可得

由式（38）可得，要使等式成立，需满足101 559 956 668 417|19a2显然不满足，故b≠6。

由式（39）可得，要使等式成立，需满足a2=1，把a2=1代入式（37），可得结果为233 313 421 664 143，与式（39）不符，故a2≠1，b≠-6。

4）当m=6时，

a）当b=±1时，由式（40）可得

由式（41）可得，要使等式成立，需满足4|19a2或-2|19a2，显然不满足，故b≠±1。

b）当b=±3时，由式（40）可得

由式（43）可得，要使等式成立，需满足387 420 490|19a2显然不满足，故b≠3。

由式（44）可得，要使等式成立，需满足a2=1，a2=4。

I）当a2=1 时，代入式（42），可得出结果为-651 490 487，与式（44）不符，故a2≠1。

II）当a2=4 时，代入式（42），可得出结果为-1 850 103 188，与式（44）不符，故a2≠4。

故b≠-3。

5）当m=9时，

由式（46）可得，要使等式成立，需满足3|19a2或-1|19a2，显然不满足，故b≠±1。

b）当b=±2时，由式（45）可得

由式（48）可得，要使等式成立，需满足262 145|19a2显然不满足，故b≠2。

由式（49）可得，要使等式成立，需满足a2=1，a2=9。

I）当a2=1 时，代入式（47），可得出结果为2 045 103，与（49）不符，故a2≠1。

II）当a2=9 时，代入式（47），可得出结果为-18 820 349 433，与（49）不符，故a2≠9。

由式（51）可得，要使等式成立，需满足3|19a2或a2=0。显然3|19a2不满足，故b≠1。

当a2=0 时，由式（51）可得0=0，代入式（3）可解得x=0。又x≡1(mod 2)，二者矛盾，故b≠-1。

综上，当x≡1(mod 2)时，方程（2）无解。

2.当x≡0(mod 2)时，可分为以下4种情况：

1）当m=1，3，9时，

已知x是偶数，m是奇数，则由方程x2+324=my19可得y是偶数。

令x=2x1，y=2y1，x，y∈Z，方程（2）可写为

由式（52）可知x1是奇数，令x1=2x2+1，x2∈Z，则有4x22+4x2+82=217my119，

由式（53）可以看出，2x22+2x2+41 ≡1(mod 2)，216my119≡0(mod 2)，二者矛盾，故当m=1，3，9 时，方程无解。

2）当m=2时，方程（2）可写为x2+324=2y19。

已知x是偶数，令x=2x1，x∈Z，方程（2）可写为

4x12+324=2y19，

化简可得2x12+162=y19。

显然，y是偶数，令y=2y1，y∈Z，方程（2）可写为

2x12+162=219y119，

化简可得x12+81=218y119。

可以看出，x2+81≡1(mod2)，218y119≡0(mod 2)，二者矛盾，故当m=2时，方程（2）无解。

3）当m=6时，方程（2）可写为x2+324=6y19。

已知x是偶数，令x=2x1，x∈Z，方程（2）可写为

4x12+324=6y19，

化简可得2x12+162=3y19。

可以看出，y是偶数，令y=2y1，y∈Z，方程（2）可写为2x12+162=3 × 219y119，

化简可得x12+81=3 × 218y119。

可以看出，x12+81 ≡1(mod 2)，3 × 218y119≡0(mod 2)，二者矛盾，故当m=6时，方程（2）无解。

4）当m=18时，方程（2）可写为x2+324=18y19。

已知x是偶数，令x=2x1，x∈Z，方程（2）可写为

4x12+324=18y19，

化简可得2x12+162=9y19。

可以看出，y是偶数，令y=2y1，y∈Z，方程（2）可写为2x12+162=9 × 219y119，

化简可得x12+81=9 × 218y119。

可以看出，x12+81 ≡1(mod 2)，9 × 218y119≡0(mod 2)，二者矛盾，故当m=18时，方程（2）无解。

综上，当x≡0(mod 2)时，方程（2）无解。

综上所述，不定方程x2+324=my19（m=1，2，3，6，9，18）无整数解。