关于非均衡动态交通网络简化模型的超额函数为正数的讨论

陈 佳

西安思源学院基础部 陕西西安 710000

1 概述

随着时代的进步，汽车的保有量在逐年上升。城市交通需求与交通供给矛盾也日益突出。针对该种现象，人们考虑将城市交通规划理论方法与数学理论方法结合，并对其进行深入的研究与分析，以帮助我们有效地缓解日益严峻的供给矛盾。其中，道路改扩建被视为一种改善城市交通需求的有效途径，其主要是通过改变路网容量分散拥挤路段交通流，从而有效地缓解路段拥堵问题。但是像我国城市这种类似道路改扩建期间所导致的交通拥堵问题已经日益突出[3，5]。此外在数学上，我们把交通网络设计和分析技术等问题称作带均衡约束条件的数学规划问题[2]。1993年，Dupuis和Nagurney[12]利用最小范数概念建立了一类“动态投影系统”，并研究了该系统的稳定性。1995年，Friesz等[11]指出路段容量的改变影响交通网络非均衡特性，同时指出路段容量的变化受出行者获取信息的完整程度的影响，认为交通拥堵是影响出行花费的一类重要因素。同年在动态投影系统基础上提出：(1)路径流非负。(2)可感知预期费用非负的结论。1996年，Terry L.Friesz等[11]根据非均衡交通网络设计概念建立了模型，并预测鉴于模型计算的复杂性则很难给出直接的精确求解过程。

本文针对该现象建立了非均衡动态交通数学模型，并对其约束条件简化的条件进行分析，结合实际背景从数学角度验证了该模型中超额需求函数为正的必要结论。

2 预备知识

2.1 符号说明

2.2 相关定义

引入投影算子PrΩ{·}，其中Ω是个紧集。定义投影算子PrΩ{·}满足：

则有：

平均最小出行花费随时间变化率为：

=κOD[PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}-uOD(t)]

=κOD[{uOD(t)+αETDOD[u(t),h(t)]}+-uOD(t)]

其中以道路上的车流量来衡量的超额出行需求函数ETDOD[u(t)，h(t)]可以表示为：

uOD(t)为单位平均最小出行花费，α为不同的单位属性间的等效转换参数。

同理：

=ηp[PrΩ{hp(t)-βETCp[u(t)，h(t)]}-hp(t)]

=ηp[{hp(t)-βETCp[u(t),h(t)]}+-hp(t)]

ETC[·]表示超额出行花费函数，则路径p(p∈POD)上的超额出行花费函数可以表示为：

ETCp[uOD(t)，h(t)]≡cp[h(t)]-uOD(t)

(3.2)

参数β为不同单位的等效转换参数。ETCOD[u(t)，h(t)，y(t)]是以道路上的车流量来衡量的超额出行花费，hp(t)表示路径p上的车流量。

在交通工程的研究中，非均衡动态交通网络模型一般还存在预算约束的限制，并且道路交通流量受路网容量增加量的影响，综合各类影响因素可得出非均衡动态交通网络模型的约束条件。

3 非均衡动态交通网络数学模型

3.1 非均衡动态交通网络模型的建立

3.1.1 目标函数的建立

非均衡动态交通网络模型以消费者剩余最大建立目标函数。根据1938年Hotelling提供的方法将马歇尔广义平衡理论拓展，以积分形式可把消费者剩余表示为[5，8]：

其中：“∮”表示依赖于路径的线性积分；wOD表示积分变量。

假设在固定时间[0，T]内，用户的净收益可以达到最大。并以出行车流量发生拥堵时所生成的出行成本为依据建立目标函数，利用折扣率r对目标函数Z[·]随时间推移的情况进行调整，则有:

3.1.2 约束条件的建立

综上可得非均衡动态交通网络的抽象模型：

3.2.1 目标函数化简

其中:

G[ETDOD(u(t)，h(t))]=[{u(t)+α·ETDOD[u(t)，h(t)]}+-u(t)]

3.2.2 约束条件化简

考虑路网容量因素对非均衡动态交通网络模型造成的影响，约束条件中的

(2)

ETCp[uOD(t)，h(t)，y(t)]≡cp[h(t)，y(t)]-uOD(t)

(3)

同理可得：

(5)

4 命题的提出与论证

命题3.1：若将投影算子PrΩ{·}作用于uij(t)+αETDij[u(t)，h(t)]，则有：PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}={uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}+=uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]成立。

证明：根据式(4)可得,当uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]>0时，结论显然成立。现只需证明若uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]≤0时，结论0不成立或不符合实际情况即可，这里我们采用反证法证明命题。

现假设{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}+=0成立有意义，则：

du=κOD[PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}-uOD(t)]dt

=κOD[{uOD+αETDOD[u(t)，h(t)]}+-uOD(t)]dt

u(t)=e-κ·t

(6)

由式(6)看出，平均最小出行花费u(t)随着时间的增大，其出行花费减小。显然其不符实际情况，因此以实际背景建立的该模型假设不正确。命题为真，即

PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}=

{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}+=

uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]

命题3.2：若将投影算子PrΩ{·}作用于h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]，则有：

PrΩ{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}=

{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}+=

h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]成立。

证明：根据式(5)可得，当h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]>0时，结论显然成立。现只需证明若h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]≤0时，结论0不成立或不符合实际情况即可，这里我们同样采用反证法证明命题。

现假设{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}+=0成立有意义，则：

dh=η[PrΩ{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}-h(t)]dt

=η[{h(t)-β·ETCp[h(t),y(t)]}+-h(t)]dt

=-ηu(t)

h(t)=e-η·t

(7)

由式(7)看出，规定路径的车流量u(t)随着时间的增大，逐渐减小，最后趋于平衡。显然其不符实际先增后缓再平稳的基本情况，而该模型是以实际背景建立的，因此假设不合理。即命题为真，故有：

PrΩ{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}=

{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}+=

h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]

5 结论

在非均衡交通数学模型简化过程中，结合实际通过证明得出超额需求花费与超额出行需求在投影算子作用下我们考虑正值即可。这为模型后期的进一步研究提供了几个有利的价值：帮助我们进一步简化了模型，为后期的模型数值离散化研究打下基础。另外，使模型在算法实现上仅考虑为正的情况，为算法实现提供了便捷性，为后期半光滑牛顿算法的应用以及算法仿真实验的可行性提供了有力依据。随着时代进步，交通网络模型的研究会继续进行下去，本文只是初步验证了几个简单的简化条件。后期对模型的进一步算法研究以及仿真模拟，有兴趣的读者可以继续研究。