研读教材重思维突出生本育素养

夏继平

普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）基本理念明确指出：高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养．高中数学课程面向全体学生，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”．高中数学教学以发展学生素养为导向，创设合适教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容本质.基于对上述理念的理解，笔者认为高中数学课堂应关注以下内容：（1）理解教材确立教学主线;（2）激活思维巧设问题情境;（3）以生为本设计教学活动;（4）关注生成渗透素养评价．四方面内容既彼此独立，又相互关联，要求教师有扎实的数学学识和立德树人的教育情怀，既能挖掘教材的素养要求，又能洞悉学生的思维水平，更要理解素养提升是在运用数学思维探求数学本质的过程中达成的．下面笔者以“余弦定理”教学设计为例，谈如何在教学过程中落实这四个方面内容．笔者所选取的“余弦定理"是苏教版高中数学教材必修2第11章解三角形第1课时.

1理解教材确立教学主线

教材在本章引言处指出的许多实际问题都可以转化为求三角形的边、角问题，并提出两个问题：任意三角形的边与角存在怎样的关系？如何利用这些关系解决实际问题？在本节课的开始，教材直接指出边和角涉及长度和方向两个要素，这让我们想到数形结合的工具——向量，可以尝试从向量等式BC= BA+AC出发，利用向量法证明余弦定理.

基于以上描述，可以看出余弦定理的证明是突出向量解決几何问题的一个好素材.教材的这种处理方式，旨在显示向量在解决几何问题中的工具作用，是连接形与数的桥梁，让学生逐步学会用向量的方法分析、解决几何问题．然而在具体的教学实践中，大多数教师都觉得学生对用向量方法来证明余弦定理会感到突然．学生证明定理的方法是什么？怎样让学生能想到用向量法来证明余弦定理？为什么要在向量关系式的两边同时平方？顺着向量方法思考下去，学生还能想到怎样的证明方法？以上问题便是学生在探究余弦定理的证明过程中必然会遇到的思维障碍．上述问题综合起来可以理解为余弦定理是描述三角形中三边与一个角余弦值关系的数学等式，其本质是揭示三角形的边角关系，常见的向量法、几何法、解析法等证明方法也是围绕边角关系的建构而进行．另外，余弦定理体现边角等量关系，满足知三求一，符合函数与方程思想．鉴于以上分析，我们可以确立本节课的教学主线就是通过向量法、几何法、解析法研究三角形中的边角等量关系，层层递进证明余弦定理，证明过程中不断渗透知三求一的函数与方程思想，同时使学生体会向量法的优越性.

2 层层设问激活本质思维

基于对教材主线的认识，引导学生用向量法证明余弦定理是本节课的重点，也是难点．

常见的余弦定理证明有三种方法，其思维特点各有不同．几何法侧重构建辅助图形（常构建直角三角形），向量法侧重基底选择，解析法侧重几何量的代数转换．如何引导学生联想并实施向量法证明？这需要设计恰当的问题．我们可从引导学生提取记忆中有效知识入手，提出如下问题激活思维．

问题1 本学期所学知识中和三角形相关的是什么？

预设回答平面向量．

追问1 画图并回答，如何用向量表示问题中的几何元素？

追问2 几何问题中出现线段长度时，可以转化成向量的哪种运算？

追问3 如何在向量运算中运用已知量夹角？

追问4 如何通过以上向量运算，解决这一几何问题？

设计意图 如何建系涉及后续运算是否简便，属于解决问题时的必然思维．如何引导学生想到利用三角函数定义避免分类讨论，是对教师思维教学水平的考验．笔者设计的2个追问能引导学生深层次考虑问题，依三角函数定义，利用角度序写坐标，这不仅避免了学生无目的建系，同时也促进了学生知识系统的建构和数学思维能力的提升．

3 以生为本设计分层活动

好的设问是教学的前提，但教学活动的主体是层次不同的学生，要让他们在数学上得到不同的发展，从“对着书教”变为“对着人教”，要求教师不仅要有设计问题的能力，还要有洞悉学生思维、甄别学生参与的能力．不同层次的学生有不同的需求，如何最大限度地覆盖全体学生，就需要设计好分层教学活动．本节课，笔者进行如下分层教学活动：

3.1 学生独立思考，教师个别辅导

问题2虽然给出了4个追问帮助学生搭建了思维阶梯，但这只能对大部分学生起到发展思维的作用．对于少数层次较低的学生，笔者认为教师应利用课堂实践操作的时间，通过个别辅导的方式引导他们完成余弦定理的向量法证明．

3.2 学生板演过程，教师指导自学

问题4的三类图形证明笔者安排层次较高的学生板演，与此同时，教师巡堂观察，指导能力较弱的学生观察板演内容，进行自学内化，并作好笔记．

3.3 学生合作交流，教师投影点评对于

问题5，笔者认为可让学生在独立思考后合作探究式学习．同学之间交流想法、心得，有时比教师的启发灌输更有效．教师把学生的探究成果投影展示，恰当点评，更能增强学生的成就感，激发学习兴趣，激活数学思维，发展数学核心素养．

4 素养评价指导课堂生成

任何教学预设，都不能保证百分之百在课堂顺利完成，教学对象毕竟是人，每个人都会存在独有的思维习惯，因此，课堂生成是必然现象，恰当地处理课堂教学中的各种生成是教师课堂驾驭能力高超的最重要标志之一．把课堂生成转化为教学素材，因势利导，以学定教，顺学而为，进行目标多元、方式多样的过程性评价，是提升学生核心素养的重要途径．如：部分优等生通过预习直接回答向量法证明，那问题2及其4个追问是否还需要进行？又如：学生直接用初中的辅助线作高证明，不用向量，我们该如何引导？等等．

笔者认为对于课堂生成的评价应遵循三个有助于：有助于学生知识技能的掌握，有助于学生核心素养的形成和发展，有助于提高学生学习兴趣、增强自信．所以学生能直接操作向量法证明，我们首先应当肯定、表扬，进而提出问题：还有哪些证明方法？哪种最简洁？这些方法的本质是什么？写下来当堂展示或课后交流．这样的总结归纳性任务能有效发展高层次学生的思维水平，促进其素养的全面提升．这样问题2及4个追问，面向其余学生继续进行．对于学生直接用辅助线做高的方法，我们也要给出积极评价，给足时间让他们完成证明，同时提出锐角、直角、钝角讨论思考，并追问如何规避这一问题，引导他们回到问题2及4个追问上来，完成对几何类问题解决方法的系统构建．

5 思考感悟

通过本节课的教学，笔者深刻领会到教师教学的对象是人，而且是一群人，这群人不管学习能力、学科素养差别如何，但他们绝大部分都有一颗进取之心，都希望在课堂上得到教师的尊重与启发．因此，我们不能凭一时的分数高低来轻易否定一个学生，学生的潜能是无穷的，只要我们善于激发引导、积极评价，他们会创造出令人惊叹的成果．

教材是知识的载体，但知识的脉络、框架、结构、过程是动态的，这些是教材不能直接呈现的．教师是知识的先行者，课堂教学中，教师不能照本宣科，这样不仅违背了教材编写意图，而且伤害了学生的学习积极性，这和学生照书自学释疑没什么区别．教师作为知识先行者的价值在于，能深刻分析知识脉络，理顺知识结构，同时关注学生思维状态，合理设计，形成人人参与，并有良好获得的课堂教学．这正是新课标理念让不同的人在数学上得到不同发展的必然过程，也是课堂教学魅力的本源．