非齐度量测度空间上的Herz-Morrey-Hardy空间及其应用

张振荣，赵 凯

(1.青岛黄海学院 数学教学部，山东 青岛 266427；2.青岛大学 数学与统计学院，山东 青岛 266071)

函数空间理论一直是调和分析的重要内容之一，函数空间的拓展和刻画，以及其上奇异积分算子的有界性问题始终被许多学者关注.自20世纪90年代中期始，Herz型Hardy空间及其上许多积分算子的有界性问题研究取得了丰硕的成果，这包括经典的Herz型Hardy空间、各项异性的Herz型Hardy空间、变指标的Herz型Hardy空间和与算子相关的Herz型Hardy空间等[1-8].我们知道，虽然双倍条件在经典调和分析理论中起着重要的作用，然而，许多作者在非双倍条件下证明了一些函数空间理论以及算子有界性问题的相应结论依然是成立的[9-12].

2010年，Hytönen在文献[13]中引入了一类既满足上双倍条件又满足几何双倍条件的非齐度量测度空间，这类空间同时包含文献[14]的齐型空间和文献[10]的非双倍测度空间.文献[15-16]的作者引入了非齐度量测度空间上的Hardy空间，并讨论了一些等价刻画和奇异积分算子的有界性等.此后，关于非齐度量测度空间上的函数空间和奇异积分算子及交换子的有界性问题被许多学者关注[17-22].

基于上述研究，我们在非齐度量测度空间上引进了一类Herz-Morrey-Hardy空间，并讨论了它的分解；作为应用，利用非齐度量测度空间的性质，借助于非齐度量测度空间上Calderón-Zygmund算子的Lq有界性，得到了Calderón-Zygmund算子是从Herz-Morrey-Hardy空间到Morrey-Herz空间有界的结果.

1 基本知识

定义1[13]设 (X,d)是一个度量空间，如果 µ是X上的Borel测度，并存在一个控制函数λ:X×(0,∞)→(0,∞)，使得对每一个x∈X，λ (x,r) 关 于r都单调不减，且存在一个依赖于 λ 的正常数C(λ)，使得对任意的x∈X和r∈(0,∞)，有

则称度量测度空间 (X,d,µ) 是 上双倍的.记 l og2C(λ)=υ.

引理1[16]设 (X,d,µ) 是 上双倍的，λ 是X×(0,∞) 上 的控制函数，则存在另一个控制函数λ˜ ，使得 λ˜≤λ，C(λ˜)≤C(λ)，并且对于所有的x,y∈X，若d(x,r)≤r，则有

定义2[14]设 (X,d)是 一个度量空间，如果存在某个正整数N0，使得对任意的球B(x,r)⊂X，其中x∈X,r∈(0,∞)，都存在至多N0个球构成B(x,r)的 一个覆盖，则称度量空间 (X,d)是几何双倍的.

如果度量测度空间 (X,d,µ)既满足上双倍条件又满足几何双倍条件，则称其为非齐度量测度空间.以下总假设 (X,d,µ)是 一个非齐度量测度空间，并且控制函数 λ满足(2)式.

定义3[13]令 α,β>1，若 µ(αB)≤βµ(B)，则球B⊂X被 称 为是 一 个 (α,β)-倍 球，其 中对 于 所 有 的球B=B(cB,rB)和 ρ∈(0,∞)，ρB=B(cB,ρrB).

在文献[13]中，作者证明了如果 (X,d,µ)是 一个满足上双倍条件的度量测度空间，α,β>1，并且则对于任意的球B⊂X，存在一个正整数j使得 αjB是 ( α,β)-倍的.

定义4[18]设 η>0 ，若对所有的r∈(0,2diam(X))和存在一个只依赖于a和X的常数C(a)>1，使得对于所有的x∈X，λ(x,ar)≥C(a)λ(x,r)，并且则称控制函数 λ 满足 η-弱逆倍条件.

定义5[15]对于任意2个球B⊂S⊂X，令 ρ >1，p∈(0,1]，离散系数是

对于任意整数k，记Bk={x∈X:d(x0,x)<2k}x0Ck=BkBk-1χk=χCk，其中 是X的一固定点，，且 .非齐度量测度空间上的齐型Herz空间定义如下.

定义6[20]假设 (X,d,µ)是 非齐度量测度空间，令 -∞<α<∞，0

非齐度量测度空间上的齐型Morrey-Herz空间是如下的概念.

定义7[21]假设 (X,d,µ) 是 非齐度量测度空间，令 - ∞<α<∞，0

显然，如果令v=0，则

为了表述Herz型Hardy空间，先看原子块的定义.

定义8[20]设 (X,d,µ)是 一个非齐度量测度空间，0

(ⅰ)存在一个球B使得 s uppb⊂B=B(x0,r)，r>0；

(ⅲ)对于j=1,2 ，存在支在球Bj⊂B上 的函数aj和常数 λj∈C，使得b=λ1a1+λ2a2，且

则称b是一个 ( α,p,q,γ,ρ)λ-原 子块，并记

若r=2k，其中k∈Z ，则(α,p,q,γ,ρ)λ-原子块称为是二进的.

借助原子块的概念，在文献[20]中作者引进了一类Herz型Hardy空间.

定义9[20]设 (X,d,µ)是 一个非齐度量测度空间，0

这里的下确界取遍f所有的分解.原子Herz型Hardy空间定 义 为 在p-拟 模下的完备化.

同时，在文献[20]中作者还指出，原子Herz型Hardy空间与 γ 和 ρ的取值无关.非齐度量测度空间上原子Herz型Hardy空间的分解是下面的结果.

引理2[20]设(X,d,µ)是 一个非齐度量测度空间，0

这里的下确界取遍f所有的分解.

2 Herz-Morrey-Hardy空间

现在，给出非齐度量测度空间上Herz-Morrey-Hardy空间的定义.

定义10设 (X,d,µ)是 一个非齐度量测度空间，令 0

则称f是属于的.并且定义

这里的下确界取遍f所有的分解.Herz-Morrey-Hardy空间定 义为在p-拟 模下的完备化.

显然，当v=0时 ，Herz-Morrey-Hardy空间就是定义9的原子Herz型Hardy空间类似于文献[16]和[20]的讨论，同样可以得知Herz-Morrey-Hardy空间与 γ 和 ρ的取值无关，也可以得到如下的结论.

定理1设 (X,d,µ) 是 一个非齐度量测度空间，令 0

进一步有

这里的下确界取遍f所有的分解.

证明若则由定义知结论成立.

因此，

3 Calderón-Zygmund算子的有界性

非齐度量测度空间上Calderón-Zygmund算子的定义如下.

定义11[17]设函数(X×X{(x,x):x∈X}).如果存在一个正常数C(K)，使得：

(ⅰ)对于任意的x,y∈X,x≠y，有

(ⅱ)存在 0 <δ≤1和 正常数c(K)，使得对任意x,x˜,y∈X，且d(x,y)≥c(K)d(x,x˜)，有

则称函数K(x,y)为非齐度量测度空间上的Calderón-Zygmund算子核.

若K是非齐度量测度空间上满足(5)和(6)的Calderón-Zygmund算子核，对于所有的(µ)=的支集有界}，

则称T是非齐度量测度空间上的Calderón-Zygmund算子.

对于此Calderón-Zygmund算子有下面的重要结果.

引理3[17]假设 (X,d,µ)是一个非齐度量测度空间，令T是一个Calderón-Zygmund算子，则以下结论是等价的：

(ⅰ)T在L2(µ)上是有界的；

(ⅱ) 对于q>1，T在Lq(µ)上是有界的；

(ⅲ)T是L1(µ)到 弱 -L1(µ)有界的.

非齐度量测度空间上的Calderón-Zygmund算子在Herz-Morrey-Hardy空间的有界性见下面的定理2.

定理2设 (X,d,µ)是 一个非齐度量测度空间，0

证明对任意由定理1知存在( α,p,q,γ,ρ)λ-原 子块序列Bj,i⊂Bj，其中Bj=B(x0,2j)，使得

因此

对于I2，由引理3知T是Lq有界的，应用原子的大小条件(4)，再由(3)式蕴含着并注意到0

对于I1，注意到j≤k-2,x∈Ck,y∈Bj，则x∈X2Bj，意味着 λ(x,d(x,y))～ λ (x0,d(x,x0)).因此，由原子的消失性条件和算子核定义(6)式、Hölder不等式，以及原子的大小条件和知

同时，注意到 0

因此

证毕.