实李代数完备化的若干条件

张 磊， 严再立

(宁波大学数学与统计学院，浙江宁波315211)

1 引 言

如果一个李代数的中心为0，所有的导子都是它的内导子，则称其为完备李代数.完备李代数的概念源于完备群的概念，第一次出现在导子塔定理[1]中，它的正式定义由 Jacobson[2]在1962年给出.完备李代数是比半单李代数更广泛的一类李代数.特征零代数闭域上的半单李代数是完备李代数.在上世纪九十年代，孟道骥和合作者[3-7]系统发展了复数域上完备李代数的理论，特别地，他们给出了复可解完备李代数的结构.

由于幂零李代数的中心不为0，因此幂零李代数不是完备李代数.即使这样，完备李代数和幂零李代数依然有着紧密的关联.如果幂零李代数是一个可解完备李代数的极大幂零理想(幂零根基)，则称其为可完备化幂零李代数.到目前为止，以下一些复幂零李代数是可完备化幂零李代数.

(i) 交换李代数和海森堡代数[3]；

(ii) 半单李代数的Borel子代数的极大幂零理想[4]；

(iii) 具有极大秩的幂零李代数[5]；

(iv) Quasi-Heisenberg代数和一些两步幂零李代数[7-8]；

(v) 某些filiform李代数[9]；

(vi) 某些Quasi-filiform李代数[10].

至今为止，对完备李代数的研究主要集中在复完备李代数，对实完备李代数的研究还比较少.本文主要研究实完备李代数的结构，证明实李代数是完备李代数当且仅当其复化李代数是完备李代数.

2 基础知识及主要定理

为介绍本文的一些定理及其证明，需要回顾李代数的基本定义和一些相关知识.

定义1设L是复数域上的有限维向量空间，并且假设在L中定义一种运算L×L→L，即在L中任意取两个元素x,y都有唯一的元素与之对应，表示为(x,y)[x,y]，称为x和y的李括号，如果满足以下条件，则称L为复数域上的李代数.

(L1) 这个括号运算是双线性的，即对于任意的x1,x2,y∈及任意复数a1,a2都有

[a1x1+a2x2,y]=a1[x1,y]+a2[x2,y]；

(L2) [x,x]=0，对于任意的x∈L；

(L3) [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0，对于任意的x,y,z∈L.

有了李代数的定义之后可以回顾可解李代数和幂零李代数的概念，设L的一个理想序列

L(0)=L,L(1)=[L,L],L(2)=[L(1),L(1)], …,L(i)=[L(i-1),L(i-1)], ….

如果存在一个正整数n使得L(n)=0，则称L是可解李代数.类似地设L的一个降中心理想序列

L0=L,L1=[L,L],L2=[L,L1], …,Li=[L,Li-1], ….

如果存在n使得Ln=0，则称L是幂零李代数.注意到L(i)⊂Li对于所有的i都成立，因此所有的幂零李代数都是可解李代数.

设D是李代数L的一个线性变换，如果D有

D([x,y])=[Dx,y]+[x,Dy], ∀x,y∈L,

则称D为L的一个导子.导子的概念在[12-13]中也涉及到.设A∈L，记伴随变换adA:L→L为

adA(X)=[A,X], ∀X∈L,

易知adA是L上的线性变换且满足条件

adA[X,Y]=[adA(X),Y]+[X,adA(Y)], ∀X,Y∈L.

adA是由A诱导出的D的内导子.记李代数L上所有导子的集合为Der(L)，所有内导子的集合为adL.

另外再记李代数L的中心为C(L)={z∈L|[x,z]=0,∀x∈L}.有了导子、内导子和中心的定义就可以引出完备的定义.

定义2一个域上的李代数L，如果满足

C(L)=0,Der(L)=adL,

则称李代数L是完备李代数.

在上世纪90年代，孟道骥研究了复完备李代数的一般理论，对复可解完备李代数做了一个完整的叙述[3-5].

假设n是一个复幂零李代数，h⊂Der(n)是n上的极大环面子代数，即由半单线性变换组成的极大交换子代数.定义一个复可解李代数L=h⊕n，它的李括号运算为

[h1+x1,h2+x2]=h1(x2)-h2(x1)+[x1,x2]n,h1,h2∈h;x1,x2∈n.

定理1假设L是复可解完备李代数，则以下三条结论成立.

(i)L有分解L=h⊕n，其中h是L的极大交换子代数，n是L的极大幂零理想，即幂零根基.

(ii)adh在n上的限制adh|n是Der(n)的交换子代数，也是n上的极大环面子代数.

(iii)h同构于n上的一个极大环面子代数.

本文主要证明以下两个定理.

定理2一个实李代数L是完备李代数当且仅当L的复化李代数L是完备李代数.

定理3一个实幂零李代数n是可完备化幂零李代数当且仅当n的复化幂零李代数n是可完备化幂零李代数.

3 定理2的证明

证(i) 充分性.假设L是完备李代数，首先证明L的中心为0.反设L的中心不为0，即存在x1∈L，对于任意的x,y∈L有[x1,x]=0.对于[x+iy]∈L，有

[x1,x+iy]=[x1,x]+i[x1,y]=0.

由此可知L的中心不为0，这与条件L是完备李代数相矛盾，因此L的中心为0.

对于任意一个导子D∈Der(L)，定义一个线性映射D∈End(L)为

D(a+ib)=D(a)+iD(b), ∀a,b∈L.

(1)

对于任意的a1,a2,b1,b2∈L，利用(1)式可以得到

D([a1+ib1,a2+ib2])=D([a1,a2]-[b1,b2])+iD([a1,b2]+[b1,a2]).

(2)

另一方面，有

[D(a1+ib1),a2+ib2]+[a1+ib1,D(a2+ib2)]
=[D(a1)+iD(b1),a2+ib2]+[a1+ib1,D(a2)+iD(b2)]
=D([a1,a2]-[b1,b2])+iD([a1,b2]+[b1,a2]).

(3)

结合(2)和(3)两个式子可以发现

D([a1+ib1,a2+ib2])=[D(a1+ib1),a2+ib2]+[a1+ib1,D(a2+ib2)].

由导子的定义可以得到D是L的一个导子.又由于L是完备李代数，存在一个元素M=m1+im2∈L满足D=adM，其中m1,m2∈L.因此对于任意的a∈L，可以推出

D(a)=D(a)=adM(a)=[m1+im2,a]=[m1,a]+i[m2,a].

从而m2=0,D(a)=[m1,a]=adm1(a)，进而得出D=adm1，即D为L的内导子.因此L是完备李代数.

(ii) 必要性. 假设L是完备李代数，则L的中心为0，易知L的中心也为0.那么接下来只需要证明L的导子都是其内导子.对于任意的导子D∈Der(L)，存在两个线性映射D1,D2∈End(L)使得

D(a)=D1(a)+iD2(a), ∀a∈L.

(4)

对于任意的a,b∈L，由(4)可以推出

D([a,b])=[D(a),b]+[a,D(b)]=[D1(a)+iD2(a),b]+[a,D1(b)+iD2(b)]

=[D1(a),b]+i[D2(a),b]+[a,D1(b)]+i[a,D2(b)].

又由于

D([a,b])=D1([a,b])+iD2([a,b])，

可以得出

D1([a,b])=[D1(a),b]+[a,D1(b)],D2([a,b])=[D2(a),b]+[a,D2(b)].

这说明D1,D2都是L的导子.即存在X,Y∈L，使得D1=adX,D2=adY.将其代入(4)可知

D(a)=D1(a)+iD2(a)=adX(a)+iadY(a)=(adX+ad(iY))(a).

即D=ad(X+iY)，那么L的导子就是其内导子，再根据L的中心为0可得L是完备李代数.

4 定理3的证明

证(i) 必要性.假设n是实可完备化幂零李代数，也就是说，存在一个有极大幂零理想n的实可解完备李代数L.根据定理2可以直接得出，实可解完备李代数L的复化可解李代数L也是完备李代数.注意到[L,L]⊂n，那么根据定理1，n是L的幂零根基.这就意味着n是一个可完备化幂零李代数.

(ii) 充分性.假设h是实幂零李代数n上的一个极大环面子代数，也就是由半单线性变换构成的Der(n)的极大交换子代数.令L=h⊕n为实可解李代数，

[h1+x1,h2+x2]=h1(x2)-h2(x1)+[x1,x2]n,h1,h2∈h;x1,x2∈n.

设L=h⊕n是L的复化可解李代数.根据假设，n是可完备化幂零李代数，即存在一个复可解完备李代数s1=h1⊕n.注意到h是n的一个极大环面子代数.根据文献[11]，h和h1在Der(n)的内自同构下是共轭的.这说明李代数L同构于完备李代数s1，因此L是完备李代数.现在根据定理2，L是完备李代数.因为n是L的幂零根基，所以n是实可完备化幂零李代数.

5 结 论

文中利用复化李代数的导子性质，证明实李代数及其复化具有一致的完备性.结合复可解完备李代数的结构，又给出实幂零李代数及其复化具有一致的可完备化性.完备性作为李代数的一种同构不变量，本文结论可把实完备李代数的研究转化为复完备李代数的研究，在实李代数的结构及其分类研究中具有一定意义.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.