问题导向的线性代数课程教学改革探索与实践

孟国艳， 银润龙， 李新云

(忻州师范学院数学系，山西忻州034000)

1 引 言

《关于一流本科课程建设的实施意见》提出课程是人才培养的核心要素，课程质量直接决定人才培养质量.教育部吴岩司长提出建设“金课”必须具有高阶性、创新性、挑战度，这为线性代数课程的教学改革指明了前进的方向.线性代数课程中线性方程组和向量的几何意义对于具体问题的分析建模有着独特的优势，其核心概念——矩阵，在机器学习[1]、人脸识别[2-3]、图像处理[4-5]和工程应用[6]等方面也有着重要的应用.因此，对于线性代数课程，如何有效提高课堂教学质量，如何打造高质量的“金课”，具有十分重要的意义.王晓民和苏道毕力格[7]讨论了在线性代数教学中引入实际应用案例和几何意义的重要性，通过实例解释了矩阵的数乘运算、矩阵乘法、逆矩阵、特征值和特征向量，并且给出了向量组线性相关性和线性方程解的几何意义.段滋明[8]等阐述了线性代数课程传统线下教学模式以及慕课网络教学状况，对混合式教学的内容设计、教学过程、教学资源建设等进行了探索与实践.文军等[9]基于 MOOC 课程建设，以课程内容的知识体系、知识点、计算方法、案例等为重点，表明了系统的优化研究与实践.这些方法和观点对于培养学生兴趣和教师有效组织教学提供了一些很好的措施，但对于如何促进学生与教师同步学习，如何引导学生自主专业学习等方面缺乏启示，本文针对这些问题进行教学改革和探索，在理工科相关专业开展教学并取得了一定的成效.

作为地方性师范院校，基于我院着力实施“本科教育提升行动”，按照“三步走”发展战略，建设特色鲜明、国内知名的高水平应用型师范大学的目标，在多年线性代数课程教学实践过程中，发现教学中存在一些“痛点”问题.

(i) 学生对课程重要性认识不足

理科专业的新生多数对数学类基础课程认识不到位，学习积极性不高，甚至认为考研才学此课程，缺乏学习动力.同时随着网络的普及，几乎每一位学生都拥有智能手机，上课打游戏和聊天等时有发生.学生对于疑惑、不解的习题，倾向于上网搜索查询，缺乏认真思考.

(ii) 线性代数课程学习难度大

线性代数课程主要包括行列式、矩阵、线性方程组等内容，概念抽象，理论深奥，计算繁杂，而且前后知识点联系紧密，学习难度相对较大.由于中学时也没有接触过类似的基本概念，学生在入门时很难领会其含义，应用更是无从下手，容易产生畏难情绪.线性代数课程的课时安排较少，而该课程的学习量又偏重，学生学习不轻松.

(iii) 课程与信息化技术的融合度不高

学院多数教师认为数学需要的是思考，板书可以给学生更充分的思考时间，习惯于一言堂，很少用信息技术.部分教师教学中使用了新科技，但与教学融合不够深入，课后信息反馈不及时不畅通，缺乏便于衡量的过程性考核机制，再加上课堂吸引力不足，学生缺乏好奇心，导致课堂注意力较差，学习兴趣较低.

造成上述情况的主要原因可归结为：

(i) 中学阶段学生主要注重考试成绩，争取考上大学，结果造成学生视野窄，很少接触实际问题，也缺乏思考如何解决实际生活中的问题.虽然学习了一些计算机知识，但主要关心如何操作使用，不懂得计算机可以解决哪些重要的实际问题，如天气预报、石油勘探，更不懂计算机如何工作，在学生的头脑中没有形成有效的“问题”，从而也缺少对“问题”的探究.

(ii) 近几年新生数学基础弱，逻辑思维能力和计算能力差，在解方程组、矩阵化阶梯形、矩阵求逆等内容上计算不过关，频繁出错，这影响到相关内容的学习.事实上，有的内容只有学到后面才能理解透和掌握好，而学生往往没有坚持到最后，只见树木，不见森林，易产生厌学情绪.

(iii) 教学内容相对多，课时少，教师忙于讲授内容，缺少课堂练习，学生课下不主动学习，学习内容不能及时掌握，学生对传统教学方法有厌倦感，对手机、游戏抵制力不强，日复一日，最终跟不上学习的节奏，容易产生厌学情绪.

从以上原因来看，传统的教学内容和课堂教学模式不太适应我院学生的实际情况，需要新活力，新内容和新手段促进教学，尤其是多数同学的课后作业正确率不高，思考题多数没有解题思路，对线性代数课程内容的思考与理解度持续下降，长此以往，理工科专业，特别是计算机专业后继课程的学习也会受到影响，更不用说创新能力和人才培养.为此，针对教学中的“痛点”问题，结合 “金课”建设目标，对线性代数课程开展了“一中心两目标”的课程教学改革探索.

2 教学改革探索与实践

为更好地实现师范院校在立德树人任务中的引领作用，实现学生发展为中心，培养学生确立积极向上的思政观、人生观和价值观，激发学生的爱国热情和民族自豪感，故针对“痛点”问题(i)，在传统知识和能力教学目标中，不仅增加了能力目标：激发学生的探索和求知欲望，培养学生自主学习能力，还补充了素质目标：提升自身的专业知识素质和培养学生的终身学习和专业发展意识.

2.1 调整教学内容，引领学生“高观点”

(i) 针对“痛点”问题(i)和(ii)，不断充实教学内容.①扩展生活实例及理工科专业相关内容的实例.如利用“国庆”阅兵方阵、列车信息表、机场的航班信息表可以引出矩阵概念；手机像素、人口迁徙问题可以利用矩阵知识解决；交通网络流量分析问题[10]可以通过建立线性方程组模型加以解决.这样学生会感知线性代数一直在自己的生活中，不再是遥不可及、枯燥的抽象理论，可以激发学生的好奇心和求知欲，调动学生学习数学的积极性和主动性，并用数学思维启迪人生.②教学中将中学方程组求解使用的一些结论给出证明并进行拓展[11]，培养学生的终身学习意识.③结合计算机专业特征，在线性代数课程教学中，引入编程实践内容，更容易激发学生的学习兴趣和挑战愿望，同时可以提高学生的实践能力和编程思维，实现“学有所用”的教学理念.④融入反映学科前沿的知识.教材内容总是有限的，在授课过程中对教材内容不断进行拓展延伸，补充学科发展的前沿信息.如在矩阵乘法运算后补充点乘和矢量乘，这也是目前数学研究热点——四元数的主要运算和线性方程组的机器求解进展，满足学生个性化的学习需求，使课程教学更具学术性和拔高性.

(ii) 针对“痛点”问题(ii)，重组教学内容.在现有的教学内容下，突出线性代数理论应用于实践，以实践环节为引领，提炼线性代数模型，最后解决问题，教学以矩阵为核心，围绕矩阵应用——线性方程组求解，重新调整线性代数教学内容.这样可以帮助学生更好地理清知识脉络，由浅入深地实现对知识的掌握.此外，教学过程中注重实际应用与编程思想的融合，更容易激发学生的学习兴趣.

(iii) 针对“痛点”问题(i)，在教学内容中融入课程思政.例如，逆矩阵一课，以密码问题引入，引导学生关注解密专家王小云的研究思路，她的敬业、严谨、专注、创新，无不体现出“工匠精神”.线性方程组以刘徽的《九章算术注》中的实例导入，使学生认识到我国古代数学的辉煌成就.总之，中国科学家们取得卓越成就的事例不仅可以培养学生科学的历史观，激发学生的文化自信，也可以激发学生积极的、正确的人生观和价值观.在教学中，突发事件也是随时进行课程思政的“触点”.此外，教学中特别注意自身的“身正为范”的引导作用，通过教师自身的敬业精神感染学生，影响学生将来的职业精神.

2.2 改革教学方法，促进学生“高效率”

针对“痛点”问题，在教学过程中改变过去单向讲授的情况，并根据课程的教学内容和目标，采用恰当的教学方法.

(i) 问题启发教学法.课堂教学中精心设计导入知识点的引例，将实际背景、几何问题或典型例题等作为引入基本概念的切入点，通过层层深入的提问进行引导，学生思维活跃，能够深入思考与理解知识点，通过解决实际问题将理论知识与应用融合，引领学生融会贯通，加深对概念的理解，既激发学生兴趣，又融入编程思想，可以锻炼学生应用数学知识处理问题的能力，进而提升专业知识素质.在教学过程中，教师有意识地先提出一些与学生专业结合的实际问题，学生在课前查阅资料，课外通过自主学习寻找问题的解决方法，这样不仅调动了学生的学习主动性和积极性，还锻炼了学生查阅资料解决问题的实践能力.由于大学课程学时数的限制，课堂上无法过多讲解实际应用案例，因而将部分案例通过网络推送给学生，引导学生自主学习，培养学习兴趣.

(ii) 自主学习法.该方法主要是根据授课进度，小组成员选择每一章学习遇到的难点问题或一些疑惑，课下收集整理资料，最后由小组代表对已解决的问题或疑惑进行汇报，若同时有新问题产生，学生可以充分利用团队力量讨论并尝试解惑.在这一过程中，学生也可以对概念的新认识或见解、线性代数常用的数学思想与方法总结汇报，教师最后点评.这种方式充分体现“以学生发展为中心”的理念.很多学生表示在探索问题、解决问题过程中容易产生成就感，更愿意对专业的前沿问题进行深入了解与思考.经过一个学期的训练，学生能够形成初步的探究思维方式，学生的创新能力、应用能力、团队合作能力和语言表达能力等得到了明显提升，特别是学生的教学基本功有所提高，为后续参加顶岗实习支教活动奠定了坚实的基础.

(iii) 信息技术与传统教学相结合.教学中信息技术辅助课程教学，逐步形成了师生互动、适用于线性代数特点的“PPT+传统板书+微助教”的课堂教学模式，彰显了理论推导和实际应用相结合的教学方式.理论知识采用“PPT+传统板书”，学生练习和测试用“微助教”平台实现.课堂师生互动，可以看到每一名同学的具体作答情况(如图1所示)及整体包括最先提交答案的同学(如图2所示)，这样能够针对性提问，吸引学生的关注，提升学生对知识的掌握度.微助教平台发布课前课后作业，学生限时在线上提交作业，学生互评后，教师线上批改全部作业，关注每一名学生的知识掌握情况，方便及时采取措施，对于出错较多的同学，会在下次课前单独讲解分析.此外，有错误的作业还需要将改错继续上传教学群，确保学生真正掌握所学内容，便于学生相互观摩学习，有效保障课堂效率.课外穿插实验教学环节，促进理论与应用同步提升.课前和课后学生可以在“微助教”平台上自主学习，实现预习与复习巩固，在课外钉钉群及时回应学生疑问，针对性地解决学生的学习困惑，实现教师“教为中心”向“学生学为中心”的转变.

图1 手机答题展示 图2 电脑答题整体展示

2.3 创新教学管理，加强学生“高责任”

针对“痛点”问题(iii)，结合过程性考核需求，利用信息技术，推进教学过程性管理，促进学习效果.利用微助教平台，课前签到；课堂上练习和测试，课后作业实现学生互评，同时磨练学生的责任感和使命感，教师通过平台对作业进行管理(如图3所示).学生观看PPT课件(如图4所示)，网络资源学习浏览都有详细记录可以导出(包括每一名学生学习的时间，时长及次数等).这样每一次的教学活动都可以从微助教平台看到详情，教师可以对学生的实际学习情况及时跟进，进而适当调整教学内容、进度和方法等，进一步提高课堂效率.这样，信息技术的使用，不仅优化了教师的教学管理工作，也为最终的过程性考核提供了有力的支撑和保障.

图3 单次作业细节

图4 浏览ppt简单记录

2.4 完善考核评价，养成学生“高自律”

按照“金课”建设标准，目前线性代数课程增加了过程性考核内容及所占的比重(30%)，过程性考核的内容仍在逐步完善，包括上课(出勤、课堂练习、问题回答等)、作业(10次的积分成绩)、章节测试(4次)，其中上课表现、作业及章节测试在总成绩中占比均为10%.这样学生将学习与思考落实在平时，从而倒逼学生回归基础，注重点滴知识及个人素质的积累.随着微助教功能的增加，将陆续增加学生在线学习情况考核，包括PPT课件查阅、网络资源学习、同学疑问学生在线解答、互评作业次数、自主学习的主动汇报等，这样过程性考核所占的比重也将提升为40%.

3 课程教学创新实践效果

信息技术融入线性代数课程教学，极大地促进了学生自主学习意识，节省了教学时间，特别是解决了疫情期间大一新生开学迟，学时不足这一问题.经过多年不断的探索和创新改革，教学效果明显改善，主要体现在：

(i) 学生的自主学习意识增强.学生课前课后主动应用平台进行自主学习，主动查看PPT和网络学习资源，同时教师发布信息和学生互动交流，拓宽学生学识视野(图5)，还利用为知笔记进行交流，学生在后继课程学习时充分利用了这些知识，如利用思维导图做听课笔记(图6)，非常清晰条理，有助于学生更好的理解和掌握所学内容.

图5 师生交流截图

图6 学生应用思维导图记笔记

(ii)学生思考问题的意识得到增强，主要体现在提问题的人数不断增加(如图7)，也会提出解题新思路，并与教师进行交流讨论.

图7 平时学习问题互动交流

(iii)学生的考试成绩发生了较为明显的变化，成绩得到明显提升.下面结合计算机系近年最终的考核情况，说明线性代数课程教学创新改革后对教学效果的影响.

由表1和图8可以看到，随着课程教学创新不断进行，优生率和及格率大幅度提高，成绩分布越来越接近正态分布，进一步说明教学改革创新对学生的影响明显，对学生发展有促进作用.

表1 学生考试成绩比较

图8 学生考试各成绩段对应人数比较图

(iv) 学生“学以致用”的意识通过理论与编程相融合得到提升.基于编程思想学习线性代数，有助于学生后续程序课程的学习，也有利于学生在参与数学建模时见到成效.

4 结 论

我院的线性代数课程教学改革于2018年开始，通过总结之前教学中主要存在的3个“痛点”问题，结合理工科专业实例对教学内容进行重组，应用问题启发式教学法，强化课堂教学过程性管理，改革考核评价机制，拓展学生视野，这些举措极大地提升了学生的核心素养和综合应用知识的能力.但是学生在学习平台上参与课外网络资源学习人数占比(如图9所示)方面仍不够理想，需要继续探索更有效地促进学生自主学习的方法.

图9 查看网络资源记录数据

总之，线性代数课程的改革创新仍在路上，领悟“课程思政”内涵，找准切入点和触点，将“课程思政”有效地融入线性代数教学中，弘扬民族精神，创新人才培养，实现人才培养和教学质量的双提升.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.