高等院校最优化方法课程改革的思考与实践

张晓伟， 吕 恕， 张 勇

(电子科技大学数学科学学院，成都611731)

1 引 言

党在十九大报告中明确提出新时代下要“加快建设创新型国家，培养造就一大批具有国际水平的战略科技人才、科技领军人才、青年科技人才和高水平创新团队”的发展战略.而高等院校具有培养创新型人才的最好土壤和环境.从教育部到各个高校都十分重视培养方案的制定、相关课程的教学改革等.最优化方法是一门应用性非常广泛的专业课程，它是20世纪30年代初发展起来的一门新兴学科[1].最优化主要采用高等数学、线性代数等数学基础，对系统中存在的问题进行定量分析，并为决策者提供最优决策方案.从数学上讲，就是求解一元或多元函数的最优解.因为其实用性广，所以高等院校一般都会面向本科生和研究生开设这门课程.因为受到教师教学思维、学生学习习惯和考核评价体系的长期影响，所以导致最优化方法课程的教学改革不彻底.比如，仅依靠课堂讲授和课外作业的传统教学方式显然给学生留下独立思考的时间太少，不符合“创新型人才”培养目标[2-5].怎样才能体现“创新型人才”培养目标？作者认为，通过完成本课程的学习，学生至少应该具有(i)创新性、批判性思维的能力；(ii)运用数学知识分析问题和解决问题的能力；(iii)获取新知识、合作研究的能力；(iv)解决复杂、挑战性问题的能力.

已有大量的文献分享了课程改革方面的措施.文献[6]针对师范生特点，通过开展动力性教育，理论和实践相结合，运用新的课堂教学模式，强化教学实践环节，培养学生的实践能力和创新精神； 文献[7]在教学内容设计、问题驱动的研究型教学方法以及考核评价方面进行改革，通过各个环节提高学习的主动性和兴趣，培养学生应用数学解决实际问题的能力；文献[8]指出案例教学和翻转课堂的重要性；文献[9]通过基本算法以及项目实验的方式，帮助学生理解最优化方法的基本思想，提升学生工程实践能力；文献[10]通过动力性教育、翻转课堂、理论精选精讲、加强实践环节、学术前沿选讲、写作水平的提高等方面的教学实践，旨在培养学生的科研创新能力和实践能力.这些改革措施均从不同的侧面对最优化方法课程进行了思考或实践.本文基于以电子科技大学电子信息为主的理工科学生专业特点，以创新型人才培养为目标导向，比较系统地从教学内容、教学方法、教学设计、科研训练、评价体系和课程思政方面给出了课程改革的一些具体措施，并基于数据对改革成效做了初步对比分析.

2 课程改革的思考与实践

2.1 适应时代背景，体现学生需求，选择教学内容，提高学习兴趣

在“大数据”“新工科”“互联网+”的时代下，学生对数学的需求越来越多，尤其是对最优化中涉及的数学方法.但传统教学内容中，有的方法已经被新的、高效的方法取而代之，有的则不适合本校专业学生.面向理科的最优化方法教材更侧重于算法的完备性，失去了部分趣味性，而面向工科、经管类的最优化方法教材则偏重于算法的思想的介绍和基于软件的实现，极度弱化了理论部分.根据我校“电子信息”为主的特点、“厚基础、宽口径”的“T”字形创新型人才培养理念，学生在学习中，一方面要重视算法理论的学习和吸收，另一方面要领会算法的思想，感知课程的趣味性.有时候算法的思想很简单，但从思想到算法实现过程则需要一个乃至多个重要定理来刻画，这是算法的灵魂.根据学生需求，选择教学内容，学生不仅在有限的课堂时间学习了最优化方法的相关知识，而且见证了在专业领域的实际应用.学生一方面深切体会到这门课程的价值，从而保持积极的主观学习兴趣，另一方面可能会及时发现所用方法的问题，促使其带着疑问进行思考，而且会帮助提高后续课堂教学质量.

传统的教学内容是单纯形法、负梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法、信赖域法、二次规划、惩罚函数法、可行方向法等经典知识.随着科技技术的快速发展，困难、复杂、多态的最优化问题不断涌现.这类问题目标或约束函数往往不可导、甚至不能显式解析表示，是一个典型的“黑箱”优化问题，从而限制了经典的基于导数信息的最优化方法的使用.因此，根据本校专业特点，一方面可以适当删减传统教学内容，另一方面在传统的教学内容中增加智能优化[4]、凸优化、压缩感知、神经网络、深度学习等热点内容，满足学生在信号传输、图像处理、深度学习、自动控制方面的专业需求，提高学生的学习兴趣.

2.2 以“创新型人才”培养为驱动，“案例式、讨论式”教学方法为主，培养学生自主学习、批判性思维能力

以美国为代表的欧美国家对中国华为、中信等企业乃至科研院所的技术封锁或制裁事件充分体现了“原创”在一个科学技术领域的话语权.只有掌握了核心技术，走在世界前列，一个国家的发展才不会受制于人.从当今世界人才竞争的核心来看，培养或拥有大批创新型人才已经成为每个国家综合国力的重要体现.教育部部长在多次会议上强调大学教育要回归本质，全面贯彻落实总书记推进“四个回归”重要讲话精神，全面提高人才培养能力，造就堪当民族复兴大任的时代新人.在以知识为资本的社会中，研究型高等院校是创新人才培养的重要场所，也是首要任务.如何培养具有基础知识厚且富有创新精神的人才，已成为构建人才培养模式的主线[3-4].

在教学过程中以“创新型人才”培养为驱动，在教学方法上应改变过去平铺直叙的授课方法，运用案例式、讨论式、问题导向式等教学方法鼓励学生大胆提出各种新异见解，启发诱导学生，提高学生分析和解决问题的能力，激发学生的创新意识和参与创新实践的主动性.在教学案例的选取上应该结合现实，理论联系实际，紧跟社会发展，满足学生需求.通过案例式引入后续教学内容，适当淡化严谨理论过程，结合“翻转课堂”教学模式，把过多的教学时间放在和学生的互动、讨论、知识的发现和方法的应用上.让学生参与到课堂的教学中，调动学生的学习主动性，鼓励学生独立思考，激发他们的批判性、创新性思维.

2.3 体现“重建学习过程”研究性教学设计理念，培养学生分析和解决问题的能力

研究性教学体现在教与学、课堂内与外两个互为补充的方面.前者强调课堂教学的研究性，它要求教师在教学中按照科学研究的情境，引导学生探索问题和发现新知识，试图以一种更自然的思维方式演绎整个知识的创造过程，同时揭示隐藏在知识背后的思想和方法，使学生在获取新知识同时又得到一定程度上的知识创新和科学研究方法的必要训练[6-8].后者强调学生课外学习的研究性，学生可通过教师指导、组内讨论、自主搜集资料的方式解决相关开放性、研究性课题等，学生主动参与获取知识、应用知识、解决问题的学习过程.这里，恰当的案例在研究性教学设计中扮演着至关重要的角色，若问题太详细或具体，那么其他专业的学生或许不明白，或许需要花费较多时间自主学习，若问题提炼得过于简单，则显得有些脱离实际，有些空洞，学生学习没有兴趣.因此，设计合适的教学案例是研究型教学成功的首要环节，一方面便于师生在有限的课堂时间内顺利开展翻转课堂教学活动，另一方面学生在主动学习的过程中能深刻体会知识的整个发现过程，尤其是能触及最优化算法本质思想，达到“知其然且知所以然”目的，不至于被算法表现形式或某些技术处理细节所左右，以至于面对新问题时，无从对已有算法改进，也不能运用算法本质思想去构造设计新算法.

因此，在前期的教学过程中，向不同专业背景学生的学生收集问题，然后归类提炼和简化成适合于2学时讲授的实用案例以及相应的最优化方法知识，为后续的教学内容做准备.若设计好案例后，就需要细化教学过程的各个细节.若问题简单，可以课堂师生互动，教师引导为主；若问题略复杂，就提前发布问题和要求(QQ班级群等现代化媒体手段)，学生单独或以团队的形式完成给定任务.通过这样的方式，可以有效保障在具体的课堂教学时师生互动和翻转课堂等教学环节能够顺利进行.

下面针对“外部惩罚函数法”教学内容，做如下教学设计.

(i) 问题引入(案例)

将一根绳子的右端从初始位置(实曲线)慢慢提升，观测绳子的最低点位置随时间t的变化.如图1所示.

图1 绳子最低点位置随时间t的变化

强调① 绳子的初始位置(实曲线)可以利用二次函数f(x)=x2刻画，绳子左端在点(-1,1)处被固定.

这是一个简单而有趣的问题，可以形象地表示如何通过一系列无约束最优化问题来逼近约束优化问题.

(ii) 分析和建模

通过设问方式引导学生观察，也可以通过多媒体设备动画显示绳子随时刻t的变化过程.学生自然会发现绳子的最低点(无约束最优化问题的最优解)逐渐从点(0,0)变为点(-1,1).

为了简单起见，假设在时刻t，

强调② 绳子状态没有必要用悬链线方程表示，而是通过函数P(x,t)=atx2+btx+ct刻画，这里at,bt,ct是关于t的常数；

显然，点(-1,1)是约束优化问题

minf(x)=x2s.t.g(x)=-x-1≥0

(NLP)

解之

强调④ 为了得到一个简单形式的P(x,t)=atx2+btx+ct，不妨设k=2.所以，在t时刻时，绳子的状态可以用二次函数

刻画，显然，当t=0时，f(x)=x2=P(x,0).

(iii) 外部惩罚函数基本思想和一般约束处理技巧

设问 通过这个问题能得到怎样的启示？一般的约束优化问题如何利用这种思想处理？

从图形(或动画视频)中发现，绳子最低点的横坐标随着时间会逐渐地靠近可行区域，它一旦满足可行性，其恰好就是约束优化问题NLP的最优点.因为(引导学生公式变形)

所以似乎可以通过参数t把目标函数f(x)和约束条件g(x)组合成一个无约束优化问题P(x,t)(猜测).当参数t的值变大时，P(x,t)的最优解(点)违背NLP的可行性的程度变小，因此会使得两个优化问题最优解之间的联系越紧密；当P(x,t)的最优解远离NLP的可行区域时，可以通过增大参数t的值，让P(x,t)在不可行点处的值变得足够大(惩罚)，在后续的迭代过程中迫使P(x,t)的最优解靠近NLP的可行区域.因此，可以通过下面的函数

来体现这种惩罚的思想.后续通过设问、猜测、验证、图形演示的方式阐述外部惩罚函数基本思想、一般约束处理技巧和理论结果.

(iv) 例题讲解和加深理解

针对下面优化问题

结合图像(见图2和图3)阐述惩罚思想以及求解基本步骤.

图2 惩罚因子为0时目标函数图像 图3 惩罚因子为10时目标函数图像

在讲解的过程中，通过动画的形式，可以非常直观地向学生展示在二维、三维空间里无约束优化问题的最优解随着惩罚因子增大逐渐地逼近约束优化问题最优解的整个过程.

2.4 开展课外研究性课题训练，培养学生获取新知识、合作研究的能力，解决复杂、挑战性问题的能力

在新时代背景下，科学研究不再是研究生的专利，越来越多的本科生也参与其中，大学生数学建模竞赛、ACM、机器人大赛等均是本科生科研创新训练的重要体现.以斯坦福大学为代表的美国研究型高校均把本科生参与研究工作视为创新型人才培养的重要教学管理制度和必要的人才培养制度[6]，电子科技大学在这方面已经走在全国前列，在一年级，学生就参与到相关导师的研究团队并进行科研创新实训，而对于研究生来说，科研创新训练是必不可少的一个环节.如何进行科研创新训练，一个最常用的途径就是让学生以合作研究方式解决一些有挑战性的研究型课题.一个研究性课题一般要包括题目的拟定、背景知识学习、资料的查找、讨论的分析、结论的给出和撰写论文等环节.学生在学习完一个知识章节后，教师可以指导学生进行相关的课外研究性课题训练.开始阶段，教师给定或指导学生选题，以简单、贴近生活的问题为主，比如运输问题、下料问题、最优路径问题等，最后逐步地培养学生自己去选定一些复杂的挑战性课题，最终以论文的形式进行汇报.开展课外研究性课题训练一方面可以培养学生进行科学研究的兴趣，提高学生发现问题和解决实际问题的能力，另一方面培养学生获取新知识和合作研究的能力，解决复杂、挑战性问题的能力.

2.5 弱化传统考核与评价体系，加强学生平时学习过程的考核

基于创新型人才培养为目标的教学过程，自然不能以传统的期末考试成绩作为唯一评价标准.如何对学生学习情况进行合理的考核是提高学生学习主观能动性的重要环节.创新型人才是综合素质的体现，对学生的评价不仅要强调学生在研究学习中所获得的创造性成果，也要坚持“以人为本”原则，重视学生创新精神和实践能力的提高，强调学生平时参与研究学习的态度和小组成员之间合作情况等.在研讨课上，以学生的发言和小组讨论为主，教师加以点评，通过师生互动形式转变原有学习模式，激发学生的学习兴趣和探究精神，增强学生的思维能力和研究能力.在学习的评价体系中，将科研报告、翻转课堂、出勤率和平时作业等与普通考试相结合.

在出勤率考核方面，在校园网内搭建了一个web服务器，并编写了网站程序代码，实现了班级学生扫码考勤功能，这样的好处在于：(i)因为班级人数较多，以往的抽点方式过于简单，不利于过程化考核，若通过手机扫码考勤，可在1分钟内对全班多达280人考勤完毕，多次考勤的数据也有利于对学生的精细化管理；(ii)没有利用第三方考勤软件，避免了额外安装教师或学生客户端的麻烦和潜在的学生学籍信息泄露隐患.在作业方面，会给学生布置3次左右的大作业，以纸质版的形式提交给助教老师评阅，根据作业反馈及时解答问题.仅对部分小班，以1次翻转课堂的形式，要求学生根据自己的专业方向进行了与最优化算法相关实际领域问题的科研报告，通过老师、学生、组内的匿名评价的方式给出等级.

因为课程改革后的考核方式更注重学生平时学习过程，杜绝了以前部分学生“平时不学，考前突击”的不良现象，所以部分学生不能立刻适应新的教学模式，从而导致学生评教成绩略有下降.但从选课人数、总评成绩、期末问卷调查来看，这种新的方式还是受到大部分学生们的广泛认可.

2.6 课程教学中融入思政元素，提升学生家国情怀和文化素养

总书记在全国高校思想政治工作会议上对教师和学生都提出了明确要求，要求教师要正确引导学生的人生观、价值观和世界观，要求学生树立共产主义理想，认清历史使命和时代责任.专业课教师在课堂教学时一般不会向学生刻意表达理想价值信念以及思想政治观点等，往往是因为专业知识需要，水到渠成地融入一些思政元素.正是因为专业课程思政的隐性教育特点，所以在最优化课程中基于下面的思路进行课程思政.(i)借助数学家名人轶事，提高学生学习动力，培养其不断探索和追求真理的科学精神；(ii)以社会主义核心价值观为引领，引入经典案例，提高学生的思想道德文化水平和爱国主义情怀；(iii)通过案例式、讨论式方式讲解知识点，培养学生认识未知世界的马克思辩证唯物主义思维和科学精神；(iv)通过大作业、科研报告，培养学生团结协作精神；(v)结合本课程的培养目标，使学生成为具有专业素养和优秀品格的创新型人才.

3 改革成效

为了能够多维度反映课程改革成效，对近2学期的科研报告、课程文字评价以及近5年的总评成绩进行了分析.

3.1 研究性报告

共整理出436份科研报告，每个研究报告以不多于3人的学生组队形式完成.基于python的jieba包对所有的中文摘要和关键词做了词频分析，并绘制出词频最高的10个词组和485个有效词的词云图.在云图中，频率高(低)的词组以更大(小)的字体显示，而且剔除了诸如“是”“的”“很”“有”“和”等高频无实意的词.

从图4和图5中可以看出，本校学生的研究问题主要集中在图像处理、信号处理、天线设计、压缩感知、深度学习、机器学习领域，涉及的最优化领域有凸优化、随机优化、稀疏优化、线性规划和非线性规划.这些统计结果为课程改革和教材编写中的案例选编和应用实例设计提供了方向和思路.我们有针对性地选编13个教学案例和3个应用实例，这些实例受到了本校学生的欢迎.

图4 词频前10的词组 图5 科研报告文本词云图

3.2 学生评价

针对收集到的822条有效课程文字评价进行了词频分析，见图6.每年学生评教分数基本稳定在90分(见表1)；在文字好评上主要集中在“喜欢”“生动”“风趣”“清晰”方面；在差评或建议方面主要反映在“课程平时作业少，不能及时巩固”和“课程进度快”.

图6 学生文字评价词云图

3.3 成绩比较

表1中列出了近五年该课程学生选课人数、学生评教成绩、平均成绩和总评成绩分布信息：

表1 近五年统计数据

在平时成绩上，基本保持在一个认为较合理分数(77分)，虽然2019～2020学年第一学期，2018～2019学年第一学期平均分分别达到了81，82分，主要原因在于平时成绩量化中没有限制90分以上的学生比例.在2020～2021学年第一学期，由于将这个比例限制在30%，因此导致总评成绩90分以上的学生下降到约30%，80～90分以上的学生上升到约40%，80以上的学生从80%降到71%.图7简单地对比了2017～2018学年第一学期(改革前)和2020～2021学年第一学期(改革后)的成绩分布，明显地，优秀率(80分以上)整体提高.

图7 改革前后总评成绩分布对比

因为改革后的课程考核方式更加注重对学生平时参与学习过程进行评价，因此部分学生会自觉地根据自身平时学习的完成和参与程度选择是否参加期末考试.表1中，0分的学生(放弃考试)从原来的2.8%上升到7.5%，特别地，2020～2021学年第一学期放弃考试的学生多达101人.新的考核方式有很好的督促和分流作用，能将优秀的学生筛选出来，为进一步开展小班教学提供可能.

4 结 论

以创新型人才培养为目标导向，基于以电子科技大学电子信息为主的理工科专业特点，针对最优化课程，依次从教学内容、教学方法、教学设计、科研训练、评价体系以及课程思政方面总结了课程改革方面的一些思考和实施措施，并通过近几年的统计数据对比发现这些措施对课程建设起到积极作用，但也存在以下四个方面的不足，这也是后续改进的重点.(i)教师队伍人员不足，不能有效满足全校学生的选课需求，现在每次开课只能设置5班级，而且部分班人数达到280上限；(ii)大班教学对创新型人才培养目标有负面作用，拟先通过前期通识知识的大班教学后，再根据学生专业特点和兴趣爱好进行分流，实施小班教学；(iii)仅通过选课人数、考试成绩、评教成绩来评价课程改革效果，统计数据数量小，形式单一，暂没有结合出勤率、作业和科研报告成绩等多因素进行量化统计检验分析；(iv)虽然已经完善了精品课程网站对应信息，但暂时还缺乏完整的教学视频，不便于开展线上线下混合式教学.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.