带有量子修正的Zakharov方程的精确非线性波解

吴沈辉，宋明

带有量子修正的Zakharov方程的精确非线性波解

吴沈辉，宋明*

（绍兴文理学院 数理信息学院, 浙江 绍兴 312000）

利用动力系统定性理论和分支方法，研究了带有量子修正的Zakharov方程的精确非线性波解，给出了不同参数条件下的相图，沿相图中的特殊轨道进行了积分，得到量子Zakharov方程的4个孤立波解、7个奇异波解和24个周期波解共3类非线性波解。当参数取特殊值时，对部分周期波解取极限，给出了周期波解演化为相应的孤立波解和奇异波解的过程。

分支方法；修正Zakharov方程；非线性波解

0　引言

1972年，ZAKHAROV［1］提出了可用于描述高频Langmuir波和低频等离子波之间非线性相互作用的Zakharov方程，此为等离子体物理中的重要方程组。在一维情况下，经典的Zakharov方程为

近年来，众多学者致力于研究经典等离子体中的物理现象。考虑量子效应，用经典模型进行描述不够精确，GARCIA等［2］利用量子流体方法得到带有量子修正的Zakharov方程：

首先，利用动力系统分支方法和定性理论［10-20］研究量子Zakharov方程的非线性波解，讨论不同参数取值范围内行波解的存在性。其次，通过行波变换将方程转至平面系统，确定不同参数条件下奇点的类型，并借助Mathematica软件得到系统的分支相图，分别对相图中的同宿轨道、异宿轨道和周期轨道进行积分，得到对应的孤立波解、奇异波解和周期波解。最后，给出当参数取极限时周期波解演化为孤立波解和奇异波解的过程。

1　相图

采用变换：

将式（2）转化为

将式（4）的第2式求导后代入第1式，并对第3式积分2次，得

设

将式（6）代入式（5）的第1式，得

将式（6）代入式（5）的第2式，得

对式（9）积分，得到2个哈密顿函数：

令

根据动力系统定性理论，利用Mathmatica软件，得到式（9）的相图（图1）。

2　非线性波解

图1　在不同参数下式（9）的相图

由式（3），得到2个孤立波解：

2个奇异波解：

利用式（3），得到2个周期波解：

利用式（3），得到2个周期波解：

利用式（3），得到8个周期波解：

利用式（3），得到3个奇异波解：

利用式（3），得到2个孤立波解：

2个奇异波解：

利用式（3），得到2个周期波解：

利用式（3），得到2个周期波解：

利用式（3），得到8个周期波解：

3　周期波解的演化过程

当参数取特殊值时，对周期波解取极限，得到相应的孤立波解和奇异波解。

图2　当时，周期波解式（27）孤立波解式（16）

图3　当时，周期波解式（37）孤立波解式（16）

图4　当时，周期波解式（28）奇异波解式（17）

图5　当时，周期波解式（38）奇异波解式（17）

4　结论

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Exact nonlinear wave solutions for the modified Zakharov equation with a quantum correction

WU Shenhui, SONG Ming

（，，312000，，）

bifurcation method; the modified Zakharov equation; nonlinear wave solutions

O 175.29

A

1008⁃9497（2023）01⁃030⁃08

2021⁃09⁃23.

国家自然科学基金资助项目（11775146）.

吴沈辉（1997—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-8633-0769，男，硕士研究生，主要从事微分方程非线性波解研究，E-mail：wsh56314@163.com.

通信作者，ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-4176-4923，E-mail：songming12_15@163.com.