高等数学教学中课程思政的探索与思考——以定积分的概念为例

刘彩云 蒋诗泉 张 涛 汪涛波

（1.铜陵学院，安徽 铜陵 244061；2.铜陵职业技术学院，安徽 铜陵 244061）

一、引言

为贯彻和落实教育部《高等学校课程思政建设指导纲要》和《教育部高等教育司2021年工作要点》，全面加强高校课程思政建设，紧紧抓住教师队伍“主力军”、课程建设“主战场”、课堂教学“主渠道”，各高校积极响应号召，把立德树人放在首位，转变教学思路，积极开展课程思政建设，使各类课程与思政课程同向同行，形成协同效应，实现全员全程全方位育人[1]。但是课程思政并不是简单地将思政内容增加到课程教学中，而是要将思想政治教育目标和课程内容有机地融合为一体，将显性教育和隐性教育相统一，实现春风化雨，润物无声。

在此背景下，高校教师纷纷开展课程研究与实践，将思政教育融入到教学中，且已取得了丰硕的成果[2-4]。但是，还有一些问题未得到研究。首先，这些研究大都是建立在传统研究型高校基础上，对于地方应用型高校关注甚少[5]。显然，应用型本科高校作为高等教育体系的一个重要组成部分，其课程思政建设也理应受到重视。其次，这些研究大部分是探讨人文课程思政，很少有研究基于经济类专业的高等数学课程。经济类高等数学课程主要是面向经济管理类专业本科生进入大学面临的第一门公共基础课，课时多、时间长、抽象性、逻辑性强的特点，为后续课程的学习提供基础和方法，主要培养学生分析问题和解决问题的能力。在铜陵学院，每年大约有2，000多名经管类大一新生学习该门课程。作为一名授课教师，在传授专业知识的同时更应该培养学生使其形成正确的人生观、价值观、价值观，对学生进行全方位浸润式的思政教育。因此，找到应用型本科院校实践课程思政的逻辑及方法是一个亟待解决的问题。

本文以高等数学中定积分的概念为例，基于应用型本科高校的背景，融合课程思政特色，采用问题驱动法、案例教学法和启发式法相结合的教学模式进行教学设计，引导学生积极参与课堂各环节，让学生在掌握定积分的概念的同时，讲中国故事，传播中国声音，提升学生的文化自信感和民族自豪感，并提高其解决实际问题的能力。本文提出的在高等数学课程教学中自然融入思政教育的逻辑及方法具体且可行，具有普遍性和一定的推广价值。

二、教学设计思路

本节课将思政内容融入高等数学教学中，从讲中国故事出发，围绕“创设情境—提出问题—分析问题—建立模型—解决问题—课后拓展”为主线，进行定积分的概念的学习和讨论。首先，通过播放中国版图历代演变的视频，介绍中国辉煌的历史，并从不规则的版图，引出不规则图形的面积测量计算问题，结合中国历史、民族复兴、家国情怀，激发学生兴趣。其次，将问题抽象成数学模型，即曲边梯形面积计算问题，借助于圆周率的计算过程，引导学生从类似的角度，思考曲边梯形面积的计算问题，结合当时中国圆周率计算在世界的领先地位，增强民族自豪感。再次，对曲边梯形面积无限细分、无限求和，演示细分的过程，归纳总结步骤，引出定积分的定义，继而给出定义中的注意点及定积分符号表示，结合思政内容进行数学美育教育并指出暗含的哲学思想。随后，应用上述理论引导学生回到最初需要解决的问题，并联系身边的实际，举例说明如何计算生活中常见的问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力，并鼓励继续努力学习，为我国科学、经济的发展贡献自己的力量。最后，课堂小结及课后思考，引导学生课后继续探索思考，落脚生活中的大思政。教学内容的设计图如下图1所示。

图1 定积分的概念课程思政设计及教学内容关系图

三、教学过程

（一）创设情境，问题导入

以中国地图五千年的变化视频作为导入，简要介绍中国辉煌的历史：唐朝开国之后逐渐结束了自隋末以来的群雄割据局面并统一了全国，唐高宗在位期间唐朝疆域面积达到最大值，约为1,237万平方公里[6]。由此增强学生的民族自豪感，激发学生学习的兴趣。随后，从不规则的版图测量问题，引出不规则图形的面积计算问题。

（二）分析问题，数学建模

进一步引导，同学们毕业后从事国家建设，你如何解决此类问题呢？大到国家版图小到自己生活的小区经常要测量一些不规则图形的面积。以一幅小区规划图为例，如何计算面积呢？先让学生思考，然后给出自己的做法，以小区周围的马路为直线，以湖为曲线抽象到平面直角坐标系中，利用动画展示实际问题抽象为数学模型问题，形成一个即由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的类似于梯形的图形，我们称之为曲边梯形，由此建立了一个数学模型，求解一个曲边梯形的面积问题，其中函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续。过程中的部分截图如图2所示。

图2 实际问题抽象为数学模型的过程

那么图2中的曲边梯形的面积又如何计算呢？从实际问题出发，展示数学模型建立过程，解决问题，体现学以致用，以后从事社会主义建设，要有一定的职业意识、职业素养。

（三）模型分析，概念讲解

要解决所提出的问题，引导学生能否从古人的智慧中得到启发？举出我国数学家刘徽关于圆周率计算的例子。早在1,700年前我国伟大数学家刘徽在《九章算术》中就提出了“割圆术”，用圆的内接正多边形近似代替圆，让多边形的边数增加，然后求出多边形的面积近似代替圆的面积，进而求出圆周率。刘徽计算到3，072边形的面积，得到圆周率为3.141，6。此时进一步介绍数学家刘徽的关于圆周率的科学计算，奠定了此后一千多年中国圆周率的计算在世界的领先地位，让学生了解中国数学的辉煌历史，以此激发学生爱国情怀，引导他们未来的学习和工作中奋发图强承接中国科学之光。同时人工计算3，072边形的面积，计算的繁杂要求付出大量的时间和坚持不懈的毅力，让学生体会数学家们求知、求真、努力、创新、坚持的科学家精神。如今中美贸易战，美国在科技等方面打压中国，特别是芯片、刻录机等领域的限制与封锁，鼓励学生发扬古代数学家的科研精神，研发更多自主知识产权的核心技术，为科技强国而贡献自己的力量。在课程中将思想政治教育目标和课程内容有机的融合为一体，将显性教育和隐性教育相统一，起到育人效果。接着借助教具演示割圆术的过程，如图3所示。

图3 割圆术的过程

进而引导学生思考割圆术的核心思想是什么呢？此时，大部分学生都能知道是极限。进一步了解极限的产生过程，无论是从我国《庄子·天下篇》中体现的极限思想开始，还是从古希腊哲学家对“不可再分”的想法开始，到书本中标准的、教科书式的极限定义，时间跨度近两千多年。在这两千多年里，有多少天才数学家在为“极限”这一思想贡献智慧，当我们看到书本中短短几行的极限概念时，应意识到这简练的、严谨的定义是千百年来无数数学家和思想家们智慧的结晶。此处体现数学学科的严谨、精练和数学家们精神。

接下来引导利用极限的这种无限逼近的思想来测量不规则图形的面积。如果用1个矩形面积近似曲边梯形的面积，此时误差较大，如何缩小误差呢？如果把图形随机划分成4个小的曲边梯形，用4个矩形的面积和近似替代4个曲边梯形的面积，相比1个矩形4个矩形的误差明显缩小。进一步如果把4个曲边梯形随机划分成8个曲边梯形，用8个矩形的面积和近似替代8个曲边梯形的面积，如此划分下去，将大曲边梯形转化为n个小的曲边梯形，每个小的矩形面积近似为曲边梯形的面积，当无限细分，n无限细分趋于∞时，无限求和，面积之和的极限是固定值，由此取极限求出曲边梯形的面积。此处，大到小是对立的，但通过求和得到了统一；常量与变量、近似值与精确值是对立的，但通过求和得到了统一，体现了唯物辩证法中对立统一规律。在教学中加强对学生哲学思想的渗透，不仅能够使学生更好地了解并掌握相关的数学基础知识，更能够提高学生运用唯物辩证法的观点发现问题、分析问题、最终解决问题。过程如图4。

图4 曲边梯形的分割过程

通过分析，得到了解决此类问题的方法和思路，即把整体分割成局部，用好求的量近似代替，然后求和得到整体的近似值，最后取极限得到精确值[7]。整个过程的思路就是：无限细分，无限求和。有了求解类似问题的思路和方法，然后用严格的数学语言求出曲边梯形的面积。具体的方法分为4个步骤：

(1)分割（大化小）：在区间[a,b]中任意插入n-1个分点a=x0＜x1＜x2＜…xn-1＜xn=b，过那些插入的点作Y轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小的曲边梯形，每一个小梯形的区间长度记为△xi=xi-xi-1。

(2)近似（常代变）：在第i个小梯形中任取一点ζ∈[xi-1,xi]，对应的函数值f(ζi)，以f(ζi)为高和△xi为宽作小矩形，得到第i个曲边梯形的面积△Ai≈f(ζi)△xi，其他小曲边梯形作类似的近似。

(3)求和（近似和）：将n个小矩形面积之和当作曲边梯形面积A的近似值。

(4)极限（取极限）：为保证所有小区间的长度都无限缩小，将小区间中最大长度趋于0，即(这时分段数n无限增多，即n→∞)，得到曲边梯形的面积A=。

在这4个步骤中无论是分割、近似、求和都是量变的过程，求出来的都是精确值，但通过取极限，实现了质的飞跃，得到的是精确值，体现了唯物辩证法中量变质变规律。通过此问题的求解，既训练的学生的数学建模过程，又得到了一种重要的思想和方法，把它归纳成一个概念，就是定积分。然后给出定积分的完整定义，强调一定要掌握定积分中所蕴含的方法和思路，后面将要学习的二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分都要用到定积分的这种方法和思想。从大局上说明高等数学中大部分内容和定积分有关，后面常用到定积分，给定积分一些符号说明。进而采用PPT动画对符号进行说明，如下图5。

图5 符号说明

然后指出定义的逻辑性和严谨性及积分符号的演变史，积分符号是求和英文字母首字母的变形，引导对科学的严谨态度和体会数学符号的简洁美。然后回到最初的问题，用定积分表示出最初的曲边梯形的面积。拓展到以后求不规则图形的面积，只要用定积分，达到学以致用的效果。

（四）应用理论，联系实际

至此，已经给出了定积分的概念，一开始提出的不规则图形面积计算问题也得到了解决，然后引导学生进一步思考生活中，我们还有哪些问题可以采用此方法解决呢？让学生思考、讨论，积极参与课堂，引导应用所学知识，解决实际问题。随后举一个时下热门智能手机的例子，既联系生活实际又符合学生的兴趣。随着智能手机的普及，让人们的生活得到了极大的方便，那大家在用手机上网时，比较关心的手机流量问题，又如何测算呢？分析网速的随时间变化而变化的特点与定积分的概念之间的联系，问题得到解决。

同时指出一个个重大科技的背后都需要扎实的基础理论作为支撑。目前我国仍然存在“卡脖子”的芯片问题，鼓励学生认真学习基础知识，为国家的科学技术贡献力量。在高等数学学习过程中，存在很多与国家科技和经济发展相结合的思政内容，比如我国探月工程与无穷积分，我国的高铁建设与导数等等，在学习专业知识的同时，增强学生的民族自豪感，激励学生努力学习科学文化知识，为祖国的繁荣富强作出努力，达到开拓视野的效果，引导学生做有志青年。

（五）课堂小结，落脚思政

课堂小结定积分的思想和方法：大化小，常代变，近似和，取极限。同时指出当中渗透着唯物辩证法的两大规律：大与小是对立的，但通过求和得到了统一；常量与变量、近似值与精确值是对立的，但通过取极限得到统一；无论是分割、近似、求和都是量变过程，得到的都是近似值，而通过取极限得到精确值，实现了质的飞跃。从而对立统一规律、量变质量规律得到体现，进而启发学生在以后的学习和工作中一定要用科学的思想武装自己的头脑。

（六）继续探索，课后思考

在掌握了定积分的概念后，解决了课上提出的不规则图形的面积计算问题及手机流量计算问题。课后让学生搜集到关于定积分概念应用的其他案例．比如变力所受的阻力问题、不规则图形的曲线长度问题、变速直线运动的路程问题等等，以布置这样开放性作业的形式，让学生了解我国近几年科技创新、经济建设等方面取得的成绩，激发学习兴趣，让学习目的更加明确。在课后思考中体现生活中的大思政。

四、结语

课程思政是当前高校思政工作的新形势，受到了广泛关注。本文以高等数学中定积分的概念为例，探讨应用型本科院校如何落实课程思政。本节课的教学设计从播放上下五千年的中国地图变化出发，激发学生的民族自豪感。接着从身边实际问题小区面积计算出发，引出对不规则图形（曲边梯形）的面积计算问题。随后回顾古代数学家刘徽的割圆术方法和思想，类比出曲边梯形面积计算的方法。紧扣割圆术的核心思想：分割、近似、求和、极限，层层递进，着重培养学生严谨的逻辑思维能力。最后，将这种思维应用到解决实际问题中。鼓励学生挖掘更多国民经济建设和重大科技进展背后的基础知识，激发学生学习兴趣，同时了解到我国整体经济和科技水平，提高学生的国情意识，增强社会责任感，进而提高解决经济和科技问题的能力。课后请学生继续收集有关的实际问题，让学生感受到生活中的数学无处不在，激发学生在生活中思考数学的热情。