圆锥曲线焦点三角形角平分线性质的探究

［摘  要］ 解析几何的魅力在于其在运动变化中的不变性，这为数学命题提供了大量素材，为落实学生的数学核心素养开发了一片沃土. 文章对一道解析几何试题进行解法研究和延伸探索，从多角度寻求解决途径，通过对数据的深入分析挖掘数据背后的本质，呈现深度研究解析几何问题的一般思路.

［关键词］ 圆锥曲线；焦点三角形；角平分线；性质

解题是数学学习的一项常规活动，我们在解题的过程中落实基本知识、基本技能的同时，更重要的是以题目为载体落实数学核心素养. 数学核心素养的落实，体现在多角度解决原问题的同时提出新的问题上，让动态生成成为数学学习的常态，使发现问题成为数学学习目的. 著名数学教育家G·波利亚曾说过，“没有一道题目是彻底完成的，总还会有些事情可以做.”下面以一道昆明三中高三文科模拟试题为例，对问题进行多元表征，探究得到六种解答方式.从结果入手，进行猜想、验证、推理，得到椭圆和双曲线焦点三角形角平分线的一条性质.

试题呈现

（昆明三中高三文科模拟试题）已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点P（2，3），离心率为，F，F为椭圆C的两个焦点，∠FPF的平分线交x轴于点M.

（1）求椭圆的方程；

（2）求和的值.

[?]解法研究

第（1）问的答案：+=1.

第（2）问的解法研究：

解法1：由（1）知F（-2，0），F（2，0），所以

PF=5，

PF=3.

设∠FPF的平分线交x轴于点M（m，0），由三角形角平分线定理可知=，得=，解得m=，所以M

，0

. 所以==，==. （或者由=可知==）

解法2：由（1）知F（-2，0），F（2，0），所以=（-4，-3），=（0，-3），所以+=

-，-

+（0，-1）=

-，-

，所以∠FPF的平分线l的斜率为k=

-

÷

-

=2，所以l：y=2x-1，故M

，0

. 所以==，==.

解法3：由题意知F（-2，0），F（2，0），又P（2，3），可得直线PF的方程为3x-4y+6=0，直线PF的方程为x-2=0. 设点Q（x，y）是∠FPF的平分线l上的任意一点，由角平分线的性质可得点Q（x，y）到角两边的距离相等，即=x-2，得3x-4y+6=5（x-2），即x+2y-8=0（舍去），或3x-4y+6=-5（x-2），即2x-y-1=0，所以M

，0

. 所以==，==.

解法4：由（1）知F（-2，0），F（2，0），所以

PF=5，

PF=3. 由余弦定理可得cos∠MPF=，又Rt△PFM中cos∠MPF=，根据题意得=. 设∠FPF的平分线交x轴于点M（m，0），则=3，解得m=，所以M

，0

. 所以==，==.

解法5：由cos∠PMF+cos∠PMF=0和余弦定理得+=0，同解法4可得m=.

解法6：由三角形角平分线的性质可得PM2=

PF·

PF-

MF·

MF，设∠FPF的平分线交x轴于点M（m，0），将

PF=5，

PF=3和M（m，0）代入上式解得m=.

评析：解法1从一般三角形的角平分线定理出发，求出点M的坐标，进而求出线段的比值；解法2从向量的角度考虑，先求出角平分线的方向向量，进而求出角平分线的斜率，再求出角平分线的方程，即可得到点M的坐标；解法3用角平分线上的点到角两边的距离相等这个性质求出角平分线的方程；解法4从平分角出发，用余弦定理建立起等量关系，求出点M的坐标；解法5从两个角互补出发，用余弦定理建立起方程；解法6用三角形角平分线的一条性质（库斯顿定理）建立方程，解出点M的坐标，求出线段的比值.上述六个解法从六个角度多元表征角平分线，得到六种解决途径. 实际上，本题还可以从内切圆、相似、三角形面积等角度探索更多解法.

延伸探索

1. 延伸探索一

问题1：此题第（2）问的结果为==，这个结果与椭圆的离心率相等，这是偶然吗？当点P发生变化时，结果是否还是？当椭圆发生变化时，这个比值与其离心率是否还是相等的呢？下面借助数学软件GeoGebra设定参数来探索这个问题（如图2所示）.

通过探索发现，=，且与椭圆的离心率一直保持一致，那么能否证明这个结论呢？

定理1：已知椭圆C：+=1（a>b>0）上任意一点P（x，y），F，F为椭圆的两个焦点，∠FPF的平分线交x轴于点M，则==e（e为椭圆的离心率）.

证明：设∠FPF的平分线交x轴于点M（m，0），在△PFF中，由角平分线定理=，得=，整理得（a+ex）（c-m）=（a-ex）（m+c），即ac-am+cex-mex=am+ac-mex-cex，得am=cex，即x=. 所以=====e.

推论1：已知椭圆C：+=1（a>b>0）上任意点P（x，y），F，F为椭圆的两个焦点，∠FPF的平分线交x轴于点M（m，0），则=e2（e为椭圆的离心率）.

（由定理1的证明知x===，所以=e2）

2. 延伸探索二

问题2：双曲线是否具有这个结论？

猜想：已知双曲线C：-=1（a，b>0）上任意点P（x，y），F，F为双曲线的两个焦点，∠FPF的平分線交x轴于点M，则==e（e为双曲线的离心率）.

再次借助数学软件GeoGebra设定参数来探索这个问题（如图3所示）.

通过探索，我们失望地看到，不等于双曲线的离心率，但这并不影响我们对真理的渴望！既然这个比值不等于双曲线的离心率，那么它等于什么呢？这个结果难以猜想，但我们通过软件探索发现，这个比值虽然不会随a，b的变化而变化，但会随P点的变化而变化.

用代数法探索：

类比椭圆的研究方式，设∠FPF的平分线交x轴于点M（m，0），在△PFF中，由角平分线定理=，可得=，即（ex+a）·（c-m）=（ex-a）（m+c），即ac-am+cex-mex=-am-ac+mex+cex，得mex=ac，即x=. 所以=====. 同理=. 所以====.

定理2：已知雙曲线C：-=1（a，b>0）上任意点P（x，y），F，F为双曲线的两个焦点，∠FPF的平分线交x轴于点M，则==.

推论2：已知双曲线C：-=1（a，b>0）上任意点P（x，y），F，F为双曲线的两个焦点，∠FPF的平分线交x轴于点M（m，0），则mx=a2.

（从定理2的探索中可知x===，所以mx=a2）

结束语

解析几何试题为师生提供了研究载体以及深度学习与思考的空间. 一方面需要提取认知结构中的相关信息，对问题多元表征，探索解决问题的多条路径，丰富运算手段，优化运算过程；另一方面需要深度研究试题所承载的内涵性质和思维延伸，挖掘数学本质. 从几何角度来看，解析几何的定值实际上是运动变化中的不变量；从代数角度来看，定值与参数的取值没有关系.

从相关的解析几何试题可以看出，题目中的几何关系和代数运算是一类一般问题的特殊化研究，在平时的教学中，教师应通过对数学问题的观察、猜测、抽象、概括和证明，实现对数学知识和方法的迁移、组合和融会，最终挖掘出题目背后蕴含的数学价值和育人功能，做到直观感知和逻辑论证相结合，帮助学生从感性认知进阶理性认知，对问题延伸拓展、迁移类比、创新再造，培养学生的问题意识，让我们一直走在问题探索和思维生成的大路上.

作者简介：周跃佳（1986—），在职研究生，中学一级教师，昆明三中副校长，呈贡区学科带头人，市级名师，昆明市首届名班主任，省级优课名师. 获昆明市命题比赛一等奖，获赛课国家级一等奖、省级一等奖、市级一等奖.