整合多版本教材，优化“基本不等式”教学内容设计

谭明群 陈算荣

［摘  要］ 基本不等式是不等式证明的重要基础，是高中数学核心概念之一. 查阅基本不等式教学设计相关文献发现，现有文献都是基于某版教材给出的教学方案，缺少多维比较分析. 文章对现行六个版本的高中数学教材中“基本不等式”的引入方式、证明方法、课时安排和例习题设置进行比较分析，在此基础上整合优化“基本不等式”教学内容，提出设计方案，再探讨教师的教材使用观和价值观.

［关键词］ 基本不等式；教材比较；整合优化；设计方案

教材是教师实施教学、实现课程目标的重要资源，也是学生进行学习活动的基础. 2019年根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）编写的六个版本的教材通过了审定. 每种版本的教材都有其设计理念、设计思路，当然也存在不足之处. 因此对不同版本的教材进行比较分析，一方面能够帮助教师理解其设计理念，同时找出各自的优点加以整合，优化教学设计；另一方面，可以让教师树立正确的教材使用观和价值观. 本文以“基本不等式”为例，结合《课标》的要求，对人教A版、人教B版、苏科版、北师大版、沪教版、湘教版高中数学教材中的“基本不等式”内容进行比较分析，在此基础上整合优化本课的教学内容，提出设计方案.

教材比较

1. 基本不等式引入方式的比较

通过对六个版本教材中的基本不等式的引入方式进行比较（见表1），可以归纳为三种方式：赵爽弦图、具体实例、直接给出. 赵爽弦图在初中学习勾股定理时已接触过，通过它引入基本不等式融入了数学史，含有一定的育人价值. 通过实例引入，学生更容易理解基本不等式，另外，教师可用更加贴近学生生活的实例，方便学生理解和记忆. 在前两种方式的对比下，直接给出基本不等式显得比较突兀，学生接受起来比较困难. 所以，对于基本不等式的引入而言，可以采用赵爽弦图的方式引入后，教师再结合实例加深学生的理解.

2. 基本不等式证明方法的比较

通过对六个版本教材中的基本不等式证明方法的对照比较（见表2），可以看出每版教材都运用了几何法，可见几何法的重要性. 运用几何法证明基本不等式蕴含着数形结合思想方法，《课标》要求在教学中培养学生的数学能力，而掌握数学思想方法就是形成和发展能力的基础［7］. 学生可以通过几何法的证明更加深刻了解基本不等式，但这种方法学生不易想到，需要教师引导. 所以，在讲解基本不等式的證明方法时可以先从简单的方法开始，例如先让学生自己想办法证明基本不等式，引出作差法、分析法、综合法，再引导学生寻找几何解释.

3. 基本不等式课时安排和例习题设置的比较

通过对六个版本教材中的基本不等式的课时安排和例习题设置的比较，可以看出除了人教B版，其余五个版本的教材对于基本不等式这节内容都设置了2个课时，大体来看都是第1课时讲解概念和证明，第2课时讲解实际应用. 基本不等式是不等式证明的重要基础，学生掌握其应用又比较困难，所以最好设置2个课时. 就例题设置而言，第1课时设置2—3道例题较为合理，第2课时设置3—4道例题为宜. 习题都涉及证明和最值问题，教师可以根据学生的实际情况设置、调整习题.

基于教材比较的教学设计

依据课程标准对该内容的教学要求，基于以上多个版本教材的比较分析，整合以上各版本教材的优点，对“基本不等式”第1课时进行了如下设计.

1. 创设情境，发现新知

问题1 （多媒体展示第24届国际数学家大会的会标）大家请看这幅图（图1），这是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，早在我们学习“勾股定理”的时候就见过这幅图，但这幅图的奥妙远不止于此，今天我们再来欣赏一下这幅图，同时思考：图中有哪些几何图形？它们之间有什么相等关系和不等关系呢？

设计意图：《课标》强调在教学中要注重数学文化的渗透，采用赵爽弦图的引入方式能让课堂充满数学历史文化的韵味，具有很好的育人价值. 另外，可以让学生体会到赵爽弦图不仅可以用来证明勾股定理，而且还蕴含着基本不等式的证明方法.

2. 合作交流，生成新知

问题2 如果用a，b来表示直角三角形的两条直角边，请同学们用符号语言来表示一下上面发现的不等关系.

追问1：当直角三角形变为等腰直角三角形（a=b）时，上述的关系变了吗？如果变了，变成什么样子了？（用几何画板演示E，F，G，H变为一点的过程）

追问2：把上面两种情况合并一下可以写成a2+b2≥2ab（a，b都为正数时成立），同学们思考一下这个不等式在a，b∈R时成立吗？同桌之间交流一下.

追问3：这里的“当且仅当”怎么理解呢？

追问4：接下来，请大家用文字语言描述一下重要不等式a2+b2≥2ab.

设计意图：由赵爽弦图得到重要不等式a2+b2≥2ab，体现了由“形”到“数”的思想，再由重要不等式得到基本不等式，体现了代换思想，整个过程自然流畅. 北师大版教材和沪教版教材直接给出基本不等式，虽然简洁明了，但学生接受起来比较困难，这种方式没有让学生经历基本不等式探究与发现的过程. 另外，得到重要不等式a2+b2≥2ab后如何引出基本不等式是一个难点，教材上都是直接代换，比较突兀，大多数学生不理解为什么要这样代换. 这里的设计思路是“重要不等式—文字语言—回到赵爽弦图用文字语言再表示—符号语言（引出代换）—基本不等式”，学生通过对赵爽弦图的再观察就会明白为什么要代换.

3. 师生共探，证明新知

问题3 我们从赵爽弦图得到了基本不等式，那它到底成不成立呢？数学讲究严谨性，请同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式呢？

追问1：基本不等式实质上就是比较大小，以前学习的比较大小的方法都有哪些呢？

追问2：除了作差法，我们今天还要学习一种新的方法. 要证≥，只需要证a+b≥____，变形为a+b-2≥0. 请同学们观察一下，不等号左边怎么化简？即（____-____）2≥0，显然它是成立的，而且当且仅当a=b时等号成立.

追问3：我们还可以直接从（-）2≥0推出≥，请写出过程.

追问4：上面三种方法都是从代数的角度进行证明的，那你能不能从几何的角度证明基本不等式呢？

追问5：可以表示直角三角形斜邊上的高，而可以表示直角三角形斜边上的中线. 直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高（如图2所示），这就是基本不等式的几何解释，它还有其他的几何解释吗？请同学们课后去探索一下.

设计意图：上述基本不等式的证明方法参考了苏科版教材和沪教版教材，证明方法从易到难. 这里涉及四种证明方法，作差法是最简单、学生最容易想到的，从它过渡；分析法是本节课的难点，它是一个新知识，教师要帮助学生理解其实质，便于学生以后证明其他题目时也能熟练运用；综合法和分析法是对称概念，学生可以通过基本不等式的证明过程加强对这两种方法的理解；几何法是最难的、学生不容易想到的，但通过前面的教材分析发现它又是最重要的方法，因为可以通过几何法得到基本不等式的几何解释，由“形”到“数”，完成数形结合.

4. 例题练习，巩固新知

例1 已知x>0，求x+的最小值；此时x等于多少？

例2 已知x，y都是正数，求证：

（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2；

（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2.

设计意图：本环节的例题选自人教A版的例题，两道例题都是基本不等式的直接应用，难度较小，学生通过例题练习既能加深对概念的理解也能提升自信心.

5. 课堂小结，深化新知

问题4 本节课你学到了什么？从知识、方法和思想上谈一谈.

设计意图：通过本问题引导学生总结本节课的收获，从知识、方法、思想三个层面进行回忆，知识上：学习了重要不等式和基本不等式；方法上：包括作差法、分析法、综合法、几何法；思想上：涉及数形结合思想和代换思想. 通过总结梳理本节课的脉络，使学生养成思考总结的好习惯. 同时，通过总结可以使学生获得成就感、增强学好数学的信心.

6. 课后探究、拓展新知

作业：请同学们在课后去探究基本不等式其他的几何解释.

设计意图：对于基本不等式的几何解释，课上只讲了“直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高”这一种，但是学生想到的可能不止这种方法，让学生课后去思考其他几何解释是为了拓展学生对新知的认识，不仅要让学生学会由“形”到“数”，还要学会由“数”到“形”，体会数形结合思想.

总结与探讨

优化后的“基本不等式”的教学设计是在充分对比六个版本教材的基础上，整合了六个版本教材的优点，但又不是简单整合，而是基于《课标》和学情设计的，符合学生的认知规律，重视培养学生的核心素养. 具体体现在以下几点：第一，导入过程采用的是赵爽弦图，注重数学文化的渗透；第二，探究过程从学生的最近发展区出发，引导学生通过代换得到基本不等式，突破“为什么要代换”这个难点；第三，证明过程综合了六个版本教材的方法，让学生接触到分析法和综合法，体会它们之间的区别，重点讲解几何法，将基本不等式直观化，让学生体会数形结合思想.

经历整合多个版本教材、优化教学设计的实践，提出以下两点思考.

1. 建立正确的教材使用观

“教师不是教科书的执行者，而是教学方案的开发者.”教材不是权威，教师不能照本宣科，但教材是专家精心编制的载体，有一定的参考意义. 作为教师要建立正确的教材使用观，在使用教材进行备课时应做到以下几点：首先，教师应理解每版教材的设计思路；其次，教师阅读教材后应判断哪种方法更适合自己的学生；最后，应对教材所呈现的教学内容进行剪裁、编排、充实、活化，设计出既符合知识本身的逻辑顺序，又符合学生认知规律的教学方案.

2. 建立正确的教材价值观

教材对于教师来说不仅可以帮助其备课、上课，还可以帮助其深入理解知识、提升教学水平. 因此，作为教师要建立正确的教材价值观，学会挖掘和利用教材中的资源，阅读教材中不能完全采纳的教学设计，带着自己的思考、带着批判的眼光去看待教材上的各个环节. 这个过程实际上是教师与教材的对话，以及教师的自我提问，在不断对话和自我提问中深入理解教材，提升自己的专业素养.

参考文献：

［1］  人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书·数学（A版）：必修第一册［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］  人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书·数学（B版）：必修第一册［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［3］  苏教版高中数学教材编写组. 普通高中教科书·数学：必修第一册 （送审版）［M］. 南京：江苏凤凰教育出版社，2019.

［4］  王尚志，保继光. 普通高中教科书·数学：必修第一册［M］. 北京：北京师范大学出版社，2019.

［5］  李大潜，王建磐. 普通高中教科书·数学（必修第一册）［M］. 上海：上海教育出版社，2020.

［6］  张景中，黄步高. 普通高中教科书·数学：必修第一册 （送审版）［M］.长沙：湖南教育出版社，2019.

［7］  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

基金项目：扬州大学2021年度研究生教育教学改革与实践课题“新情境下教育硕士实践创新能力提升行动研究”（JGLX2021_008）.

作者简介：谭明群（1998—），本科学历，主要从事数学教育研究工作.

通讯作者：陈算荣（1972—），博士，副教授，主要从事数学教育、课程与教学、教师教育研究工作.