基于函数本质实现纠错提升

文／张俊

二次函数这一章要求我们能从二次函数的常见表达式中看出顶点坐标、对称轴等信息，能依据二次函数图像认识函数的特征与性质，能利用二次函数解决实际问题。其中，二次函数的对称性、增减性及含参型函数等更是每年中考考查的重点和难点。不过，在实际运用中，我们总会出现各种错误。本文列举一些典型错误并分析出错的原因，希望同学们能明确错误之处，做到举一反三。

一、正确把握抛物线的对称性特征

例1二次函数y=x2+bx+c中，当x＜-2时，y随着x的增大而减小，则b的范围为___。

【错解】由题意可知，对称轴为直线，解得b=4。

【错因分析】由于a=1＞0，根据抛物线的性质可知，当时，y随x的增大而减小。这里直线x=-2不一定是对称轴，例如直线x=-1、x=0、x=1都可以作为对称轴，所以只需即可。

【正解】∵对称轴为直线，且a=1＞0，

∴当时，y随 着x的 增 大 而减小。

∵当x＜-2时，y随着x的增大而减小，

二、充分理解销售问题中的二次函数问题

【总结】对称性是二次函数图像抛物线的重要特征，当图像的开口方向和对称轴确定时，便可得出函数值随自变量变化的情况。反之，当对称轴不确定时，则需要逆向思考，此时的对称轴可能不唯一，所在位置可能是一个范围。分析过程中，我们可以举几个符合条件的特值验证，再确定范围。

例2某超市经销一种商品，每件进价为60元。经市场调研发现，当每件售价为80元时，月销售量为1200件，售价每提高1元，销量将减少20件。规定每件售价不低于进价且利润不允许超过每件进价的50%。那么售价定为多少元时，每个月销售利润最大？最大利润是多少？

【错解1】设售价定为x元，每月最大利润为y元……

【错因分析】由于每月利润不是一个定值，所以函数表达式中的y是一个变量，而最大利润只是其中的一个值，所以不能设成最大利润为y元。

【错解2】设售价定为x元，每月利润y元，得y=（x-60）（1200-20x）……

【错因分析】错将售价定为x元理解成售价提高x元。

【错解3】设售价定为x元，每月利润y元，得y=（x-60）［1200-20（x-80）］=-20（x-100）2+32000，所以当售价定为100元时，每月利润最大，为32000元。

【错因分析】没有考虑题中“规定每件利润不允许超过每件进价的50%”的要求。

【正解】设售价定为x元，每月利润y元，得y=（x-60）［1200-20（x-80）］=-20（x-100）2+32000。

∵规定每件售价不低于进价且利润不允许超过每件进价的50%，

∴0≤x-60≤60×50%，得60≤x≤90。

∵-20＜0，对称轴为直线x=100，

∴当60≤x≤90时，y随x的增大而增大，

∴当x=90时，y有最大值，y最大值=-20×（90-100）2+32000=30000。

答：当售价定为90元时，每月利润最大，最大利润为30000元。

【总结】二次函数可以揭示实际问题中变量之间的关系，如销售问题。在此类问题中，常常需要根据自变量的取值范围确定函数的最值，此时一定要注意函数的顶点是否在此范围内。若在，则可根据顶点得出最值；若不在，则需要根据函数增减性确定何时有最值。另外，根据不同的取值范围，可能会得到不同的函数表达式，我们可以根据实际需要选择合适的函数表达式进行分析。

三、全面考虑二次函数中的含参问题

例3已知二次函数y=x2-2mx-1（m为常数）。

（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。

【错解】由该函数的图像与x轴总有两个公共点可知b2-4ac＞0……

【错因分析】将“该函数的图像与x轴总有两个公共点”看成条件，造成错误。

【正解】当y=0时，得x2-2mx-1=0，b2-4ac=4m2-4×1×（-1）=4m2+4。

∵4m2≥0，∴4m2+4＞0。

∴方程有两个不相等的实数根。

因此，不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。

（2）当-1≤m≤2时，求该函数图像的顶点纵坐标z的取值范围。

【错解】-5≤z≤-2。

【错因分析】忽略了z=-m2-1是一个二次函数，没有考虑顶点的情况，只计算了当m=-1和m=2时z的值。

【正解】∵y=x2-2mx-1=（x-m）2-m2-1，

∴顶点纵坐标z=-m2-1，画出函数示意图，如图1。

由图1可知，在-1≤m≤2范围内，图像最高点为顶点（0，-1），最低点为（2，-5），

图1

∴-5≤z≤-1。

（3）当-1≤x≤2时，该函数y的最小值为-2，求m的值。

【错解】当x=-1时，y=2m=-2，得m=-1；当x=2时，y=3-4m=-2，得

【错因分析】没有分类讨论的意识。因为对称轴不确定，所以要判断函数y的最小值，需要根据对称轴直线x=m的不同情况进行分类讨论。

【正解】当x=-1时，y=2m；当x=2时，y=3-4m。函数顶点为（m，-m2-1）。

当m＜-1时，函数y的最小值为2m，即2m=-2，则m=-1（舍去）；

当-1≤m≤2时，函数y的最小值为-m2-1，即-m2-1=-2，则m=±1；

当m＞2时，函数y的最小值为3-4m，即3-4m=-2，则（舍去）。

综上所述，m的值为±1。

【总结】二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）中的含参问题是一个难点。抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点以及函数的最值都会随着a、b、c的相应变化而变化。我们在思考时，可以画出草图进行分析，同时还需有分类讨论的意识，只有这样，才能完整得解。