一道导数多元变量不等式证明方法的深度融合

江苏省海门中学 (226100)

渠怀莲

多元变量不等式证明问题是导数中常见的一种题型，我们需要深入剖析，把握题目的本质，并对题目进行探究归纳，证明方法统一整合，与导数中单调性、极值、最值，切线基本问题融合考查.解决函数问题通常采用数形结合，正如著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”本文主要采用指对数的切割线放缩“以直代曲”思想方法论证不等式，并通过“数”进行逻辑推理，弱化条件或加强条件证明，化零为整统一结构形式，化整为零分而治之，构造新目标函数论证不等式.

一、题目呈现

已知函数f(x)=x(1-alnx)+1(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调性；(略)

(2)若关于t的方程lnt-(m-1)t+1=0有两个不相等的实数根t1，t2，试证明：

二、解法探究

首先，将方程调整至原函数的结构形式，利用已知结论解决问题，优化解题路径.

从而原问题转化为证明：

问题1：x1+x2>2；

问题2：x1+x2

图1

其次，如图1，各参数的取值范围，1

最后，我们采用数形结合，先用“形”找出证明的突破口，再用“数”去论证推理.

问题1 (方法一)增量换元法，即将两个变量的和差积商作为一个变量，起到减元效果.

(方法二)极值点偏移，由单调性重构函数证明不等式.

因为f(x)在(1，+∞)上单调递减，且02，只要证x2>2-x1>1，即证f(x2)0.令φ(x)=f(2-x)-f(x)，0φ(1)=0，所以f(2-x1)-f(x1)>0，即得x1+x2>2.

问题2 以直代曲，切割线放缩.

图2

如图2以形助数，f(x)在(0，1)上考虑割线y=x+1，f(x)在(1，e)上考虑切线y=-x+e+1.首先，对∀x∈(0，1)，都有f(x)>x+1.要证x(1-lnx)+1>x+1，即证xlnx<0，只需证lnx<0，成立.所以f(x1)>x1+1①.其次，对∀x∈(1，e)，都有f(x)<-x+e+1，要证x(1-lnx)+1<-x+e+1，即证2x-xlnx-e<0.令φ(x)=2x-xlnx-e，10，因而φ(x)在(1，e)上单调递增，所以φ(x)<φ(e)=0成立.所以f(x2)<-x2+e+1，即得-f(x2)>x2-e-1②.又f(x1)=f(x2)=m，以上两结论①，②不等式相加可得x1+x2

问题3 (方法一)调整切线放缩，在区间内恰当选择切点.

(方法二)弱化条件，尝试分而治之，重构函数证明不等式.

问题4 割线放缩，调整参数前的系数.

图3

三、证后反思

此题的问题3是考查核心，其它几问是为了证明方法之间的融合而添加的设问.在证明过程中，我们采用了数形结合切割线放缩，其中寻找恰当的切点是关键，我们可以通过斜率去发现，也可以通过目标不等式中需要的量发现.方法一简洁明了，以形助数，“以直代曲”的思想方法，并且以数论形严密的逻辑推理.方法二技巧性要求很高，敢于把相关变量视作独立变量去处理，两个变量各重构一个新的目标函数分而治之.由此我们在处理数学问题时需要在“本手”的基础上，使出一招“巧手”，规避“俗手”解决问题的途径，做到知识与模块的整合，解决路径证明方法的融合，提升学生的直觉思维与逻辑思维.