错中探因 错中求进——对一道数学练习错因的分析与思考

湖北省随州市曾都区第一中学 (441300)

乐和顺

数学教师对学生做错的题目进行认真分析，找到错误的原因，帮助学生弥补存在的知识缺陷，督促学生理解掌握数学基本概念、基本方法，积累基本活动经验，逐步提高学生应用知识分析问题、解决问题的能力，培养学生的数学核心素养，这是数学教学活动的主要方式之一.本文就学生在学习教材中的一道例题时的出错展开了分析和思考.

图1

引例(人教社2019版高中数学必修第一册238页例2)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.

(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；

(2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；

(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1).

此题(1)中函数解析式的求解，以下几种错误结果出现的频率较高：

一、错因分析

此题第(1)问“H关于t的函数解析式”的求解有较多学生出错，分析其错误原因，主要有下面两点：

一是学生不会数学建模，不能从实际问题情境中抽象出数学问题的本质.

本例实质上就是求圆周上某点的纵坐标，所以模型应用y=Asin(ωx+φ)+k的形式，而不用y=Acos(ωx+φ)+k.

二是学生对角的概念以及三角函数的定义没有理解清楚.

①人教社2019版高中数学A版的角的概念：我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.

②人教社2019版高中数学A版的三角函数的概念：一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义.

设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).

(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；

(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα.

解题分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转.在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画.

图2

解：如图2，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.

(3)略.

一般地，由于高中数学教学时间紧，学习内容多，很多学生不重视对做错题目的认真分析，以致同类题一错再错.所以教师教学中要重视对学生错题的原因分析，引导学生认真分析出错的原因，然后针对性地采取相应补救措施.

图3

以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动(这里的角均指逆时针旋转角).

(1)求t秒钟后，点P到直线l的距离用y=f(t)(t≥0)的解析式；

二、教学思考

教师日常教学中要重视问题情境的创设，引导学生积极参入教学过程，关注知识的发生发展，重视数学基本对象的抽象与概括，指导学生弄清楚数学对象的构成要素，理解数学方法的实质，切实掌握好数学基本概念、基本方法、基本技能，积累基本活动经验.作为教师，我们平常的数学教学应把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，加强学生的学法指导，帮助学生养成良好的学习习惯，乐学善学.

教师要重视并督促学生对错题进行认真分析，找到错因，指导学生弥补知识、方法缺陷，举一反三，提升分析问题、解决问题的能力.同时，要有计划地对学困生做好个别辅导，帮助他们逐步解决学习上遇到的问题，增强其学习信心.特别是教师在课堂教学中应克服轻概念、重刷题的倾向，真正将“双基”落到实处，重视基本概念的学习，力求理解和把握概念的本质.