如何走出用完全平方公式因式分解的误区

⦿临夏县河西乡大庄中心小学 刘自鹏

1 引言

每年的中考命题有这样一个热点，它将完全平方公式和因式分解结合起来，体现整式乘法与因式分解之间的互逆关系，用完全平方公式进行因式分解[1].本来这个知识点非常简单，因为无论是完全平方公式，还是因式分解都非常基础，然而学生在用完全平方公式进行因式分解时极易出现错误，而且是层出不穷.基于此，笔者进行这方面的避错策略研究，希望能帮助学生有效缓解这一现象，帮助他们更好地掌握知识点.

2 用完全平方公式因式分解易出现的误区

用完全平方公式进行因式分解的基础是完全平方公式，但是学生可能在这些基础知识上存在掌握不牢固、解题不灵活等问题，导致他们在用完全平方公式进行因式分解时经常出错.下面就是笔者在实际教学过程当中发现学生用完全平方公式进行因式分解的几种误区.

2.1 公式不熟导致发现不了多项式具备的特点

例1把3ax2+12ay2+12axy分解因式.

错解：原式=3a·x2+3a·4y2+3a·4xy

=3a(x2+4y2+4xy).

分析：在学习了提公因式法因式分解后，学生能马上发现公因式是3a并将之提取.然而，在提取公因式之后，虽然小括号中的多项式书写正确，但学生没有发现x2+4y2+4xy可以利用完全平方公式因式分解.导致错误的原因主要是学生在书写小括号中的多项式后，受惯性思维的影响，认为完全完全平方公式的形式是a2+2ab+b2，而不是a2+b2+2ab.

正解：原式=3a·x2+3a·4y2+3a·4xy

=3a(x2+4y2+4xy)

=3a(x2+4xy+4y2)

=3a[x2+4xy+(2y)2]

=3a(x+2y)2.

2.2 没有注意到中间的一次项必须是积的2倍

例2把9m2n2-3mn+4分解因式.

错解：原式=(3mn-2)2.

分析：在学习整式的乘法时，很多学生认为(a+b)2=a2+b2，这就导致他们极易忽略完全平方公式中的2ab这一项.完全平方公式的特点主要有三个：一是首项和尾项都可以写成平方的形式；二是中间二次项是首项和尾项改写成平方形式后两个底数的乘积的2倍；三是完全平方式中间项的符号与多项式的一次项的符号相同.很明显，本题解法中学生只记住了将首项和尾项改写成平方形式，而没有注意到中间二次项是首项和尾项改写成平方形式后两个底数的乘积的2倍.

本题不能进行因式分解，若需利用完全平方公式进行因式分解，则应将-3mn改成-12mn，因为这样才符合完全平方公式的三个特点.

2.3 没有将因式分解进行彻底

例3把3x3-12x2y+12xy2分解因式.

错解：原式=3x(x2-4xy+4y2).

分析：本题的公因式提取正确，小括号里面的多项式书写也正确.然而，学生没有继续往下分解.在因式分解过程中，如果还可以继续分解因式，那么一定要分解到不能再分解为止[2].需说明的是，这里的不能再分解为止，仅仅局限于有理数范围内[3].x2-4xy+4y2可以继续分解，所以应继续分解下去.

正解：原式=3x(x2-4xy+4y2)

=3x(x-2y)2.

2.4 首项有负号时变号出现错误

例4把-2xy-x2-y2分解因式.

错解：原式=-(2xy+x2-y2).

分析：在因式分解的过程中，时常会遇到首项有负号的情况，这时提出负号后，原来的每一项都要变号.然而，学生在解该题时明显没有变号，这是很多学生因式分解时易犯的错误，应高度重视.

正解：原式=-(2xy+x2+y2)

=-(x+y)2.

2.5 整体思想运用不够灵活

例5把a2-2a(b+c)+(b+c)2分解因式.

错解：原式=[a-2(b+c)]2.

分析：整体思想是因式分解中非常重要的思想方法.本题中应将b+c视为一个整体，且在分解因式的过程中将之放入小括号里面.

正解：原式=[a-(b+c)]2

=(a-b-c)2.

2.6 一些非智力因素导致错误

以上罗列的几种致错原因可以归类为智力因素，而非智力因素也会导致学生出现错误[4].常见的非智力因素有符号看错、指数看错、字母写错、少括号、缺少某一项等，如下面例6的错解.

例6把-4a2+12ab-9b2分解因式.

错解1：原式=-(4a2+12ab+9b2)

=-(2a+3b)2.

错解2：原式=-(4a2+12ab-9b2)

=-(2a+3b)2.

错解3：原式=(-2a-3b)2.

错解4：原式=-(4a2-3ab+9b2)

=-[(2a)2-2×2a×3b+(3b)2]

=-(2a-3b)2

=(3b-2a)2.

正解：原式=-(4a2-12ab+9b2)

=-[(2a)2-2×2a×3b+(3b)2]

=-(2a-3b)2.

例7把x6-10x3+25分解因式.

错解1：原式=(x4)2-10x3+52

=(x4+5)2.

错解2：原式=(x3)2-10x3+52

=(x3+5)2.

错解3：原式=(x3)2-10x3+52

=(x3+5)(x3-5).

正解：原式=(x3)2-10x3+52

=(x3-5)2.

其实，这些错误完全可以在检查中被轻易发现，然而很多学生缺少检查的习惯，在考试、演板之后没有检查便提交.

3 教学实践中的避误策略

首先，要让学生养成认真检查的习惯.特别是代数类的计算，数字、字母、符号、指数特别多，极易在某个地方出错.这时候，做完题后检查显得特别重要.

例如，学生在解完题之后，教师可以提醒学生检查.演板时，要求学生做完后再检查.笔者的方法是，在草稿纸上用大号字写“要检查”三个字，并在检查完成后将“要检查”三个字打勾，演板时也是如此.通过笔者的尝试，发现这样的方法能有效帮助学生养成检查的习惯，继而降低致错几率.

其次，对学生整体思想方法的培养.关于整体思想方法的题目，在课本和练习册中大量存在.教师可将之集中起来，专门开展一次以“整体思想方法”为主题的教学，让学生在课堂上观察、尝试和总结.

例如，对(x+y)2+6(x+y)+9这道题，教师可以引导学生观察本题特点，然后尝试“换元法”，让学生认识到整体思想的作用，促使学生将本题的结构看得更清楚.如设x+y=m，则原式可转化为m2+6m+9，通过观察m2+6m+9发现可用完全平方公式，然后将m还原成x+y进行因式分解.

4 结语

完全平方公式既是整式的乘法中非常重要的“工具”，也是因式分解中非常重要的公式方法.教师应该在充分认识学生易出错的地方的前提下，为学生制定相应的避误方案，让学生通过适当训练以摆脱这些错误.当然，习惯、方法等的培养需要更长的时间，所以教师需要更多的耐心指导学生纠正错误，帮助他们提高解决问题的能力.