学案模式 逐层递进——“余弦定理、正弦定理”教学设计

江苏省海安高级中学

杨 玫

余弦定理、正弦定理是新人教A版普通高中数学必修第二册第六章“平面向量及其应用”第4节内容，作为平面向量的一大应用，可以与平面几何、三角函数、平面向量等相关知识交汇、融合，同时也为解决三角形问题提供了基本且重要的工具.

在实际教学过程中，以学案形式，对“余弦定理、正弦定理”部分做了如下对应的教学设计.

1 提前预习

1.1 读一读——学习目标

(1)从特殊的直角三角形入手，借助向量运算，探索任意三角形边长与角度的关系，通过平面向量的应用来分析与推导余弦定理、正弦定理，进而掌握余弦定理与正弦定理，并能利用这两个定理解决一些简单的三角形度量问题；

(2)掌握余弦定理、正弦定理的推导，并运用定理解决一些与三角形有关的数学问题.

1.2 看一看——重点难点

重点：

(1)理解并掌握平面向量法推导余弦定理的过程，理解并掌握余弦定理及其相关应用；

(2)理解并掌握平面向量法推导正弦定理的过程，理解并掌握正弦定理及其相关应用.

难点：

(1)理解与掌握余弦定理的推导过程与相关应用；

(2)理解与掌握正弦定理的推导过程与相关应用.

1.3 填一填——基础知识

1.3.1 余弦定理

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=______，b2=______，c2=______.

1.3.2 正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即______=______=______=______.

正弦定理揭示任意三角形中各边与对应角的内在的数量关系，即任意三角形中三条边与对应角的正弦的比值之间的关系式，它是三角形中最基本的数量关系式.

2 课堂教学

2.1 探一探——定理推导

(1)余弦定理的推导(课本第42页对应部分).

(2)正弦定理的推导(课本第46页对应部分).

此处借助平面向量的应用，结合教师的分析与讲解，通过PPT加以展示证明过程.同时，适当引导学生根据所学的知识，探究证明余弦定理与正弦定理的其他方法与应用.教师可以根据班级学生的不同情况加以适当安排.

2.2 学一学——方法讲解

(1)余弦定理是勾股定理的推广.当a2+b2=c2时，∠C=90°；当a2+b2>c2时，∠C<90°；当a2+b290°.常常用它来判断△ABC的形状.

(2)利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题：

①已知三角形的三边求各对应的内角；

②已知三角形的两边和这两边的夹角，求第三边和其它两个角.

由三角形全等的判定定理知，以上两类斜三角形都是确定的，所以对应问题的解也是唯一的.

(3)正弦定理的变形形式：

②a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；

④a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；

⑤asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA.

利用上述不同形式可进行三角形的边、角及外接圆半径之间的互化.

(4)正弦定理主要用来解决两类常见问题：

①已知三角形的两角与一边，解三角形；

②已知三角形的两边与其中一边的对角.

特别注意，利用正弦定理解决有关“已知两边与其中一边的对角”的斜三角形问题时，要对三角形解的不同情况进行分类讨论：有两解，有一解，无解.具体情况如下：

当A为锐角时，如图1.

图1

当A为钝角时，如图2.

图2

(5)余弦定理和正弦定理的区别与联系：

①区别：余弦定理主要是三角形的其中一个内角的余弦值与三条边的关系，而正弦定理主要借助边的比和对应角正弦值的比互化来建立关系.

②联系：它们之间可以互推.

通过平面向量法来推导余弦定理与正弦定理时，利用余弦定理可以证明正弦定理，同样利用正弦定理也可以证明余弦定理.而破解相关的“已知两边与其中一边的对角”的斜三角形问题，一般通过正弦定理来解决，也可以借助余弦定理建立方程来巧妙解决.

(6)注意分类讨论：利用正弦定理解决相关的“已知两边与其中一边的对角”的斜三角形问题时，要通过分类讨论来处理，同时利用平面几何作图直观分析或“三角形中，大边对大角”等来合理推理.

注意隐含条件：利用余弦定理或正弦定理解决任意三角形问题时，要注意三角形自身隐含的条件，这里包含三角形的内角和定理及隐含的A，B，C均为正角等.

2.3 讲一讲——典例剖析

基本题型1：余弦定理的应用.

分析：已知三角形的三边，可以利用余弦定理的变形公式解决.注意求解过程中，充分利用三角形内角和定理加以简化运算.

解析：由余弦定理，得

因为0°

又由余弦定理,得

因为0°

由A+B+C=180°，可得C=180°-45°-30°=105°.

利用余弦定理求解有关三角形的内角问题时，往往会用到余弦定理的变形形式.其实，余弦定理的每一个等式都包含三角形六要素中的四个不同的量，它们分别是三角形的三条边和一个角.在余弦定理的每一个等式中，已知三个量便可求出第四个量.

基本题型2：正弦定理的应用.

分析：已知三角形的任意两角与一边，求解其他两边和另一角时，一般先由三角形的内角和定理，计算出三角形的另一角，再由正弦定理来计算出另外两边.

解析：由A+B+C=180°，可得C=180°-105°-45°=30°.

3 课堂练习

3.1 练一练——随堂演练

(5)若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是______.(答案：120°.)

(6)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB，求角C的大小.(答案：60°.)

(8)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b=a+c，且2cos 2B-8cosB+5=0，求角B的大小，并判断△ABC的形状.(答案：B=60°；等边三角形.)

4 设计意图

通过以上课前预习、课堂教学、课堂练习的设计，以学案的形式展示余弦定理、正弦定理的推导过程、方法讲解、典例剖析，并通过随堂演练加以巩固.在实际教学过程中，学案式的教学设计也是一种基本教学设计形式，对学生知识的理解与掌握大有益处.