形成性评价在数学建模活动中的思考与实践*——以“测量学校内、外建筑物的高度”为例

宁波市北仑中学

竺吴辉 范东晖

1 引言

随着评价范式的转型，在“为了学习的评价”的教学评价理念下，以学生为主体的评价方式被越来越多的研究者和教师所关注.《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《标准》)指出：评价既要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程.开发合理的评价工具，将知识技能的掌握与数学学科核心素养的达成有机结合，建立目标多元、方式多样、重视过程的评价体系[1].数学建模活动是一类重“过程”，强调“活动”的学习模式，部分教师可能会直接跳过这块内容，将时间投入到可以有效增加分数的模块上，这与素质教育的初衷是相悖的.本文中结合数学学业质量水平的三个维度和四个方面，以“测量学校内外建筑物的高度”的数学建模活动为例，对模型建立、模型求解以及模型检验三个模块构建了综合量化评价表，阐释了对“形成性评价”的理解和教学实践.

2 研究基础

2.1 数学建模素养的内涵

《标准》中指出：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养[1].数学建模过程如图1所示，主要包括：在实际情境中从数学的角度发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.若现实结果符合实际，直接将模型应用于现实问题(步骤7)；若不满足实际情况(转步骤6)，重复之前的流程，直到模型满足实际情况为止.

从数学建模定义的描述来看，其内涵包含三个要素[2]：一是对现实问题的数学抽象，二是用数学语言表达问题，三是用数学方法建构模型解决问题.因此，数学建模是构建现实世界和数学世界的重要桥梁，在经历完整建模流程的基础上，进而发展“四能”，达到“三会”.它不仅是一个数学知识应用的问题，在解决问题的过程中还蕴含着方法、思想、价值判断与选择，乃至数学的精神和态度.

2.2 形成性评价的内涵

评价最重要的意图不是为了证明学生学得有多好，而是为了帮助学生更好地了解自身的学习情况，改进自身的学习方法，促进和激励学生高效学习.形成性评价并非只注重过程，不注重结果，而是更注重从被评价者的需要出发，重视学习的过程，重视学生在学习中的体验与成长.评价的过程和学生学习的过程交互在一起，这种关注“过程”和“发展”的价值取向，是形成性评价的理念基础.

3 素养水平划分与两项评价原则

《标准》中将每一个数学学科核心素养都划分为三个水平，并对每一个水平通过情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思这四个方面进行表述.量化方式可参考文献[3],结合每个水平的具体表现，构建数学建模核心素养的评价方案(见表1)，此评价方案需提前告知学生，让学生明确努力与评价的方向.

表1 基于三个维度的数学建模评价方案(部分)

《标准》同时也指出，在具体评价数学建模素养水平层次时，还需遵循满意原则和加分原则.“满意”原则是针对“最优化”原则提出来的，在复杂多变的建模活动中，大部分问题是没有最优解的，学生只需根据自己的知识储备以及学习能力，获得一个基本符合要求的结果即可.而“加分原则”可以理解为针对数学建模过程的完整性、数学建模方法的创新性、模型的创新性、语言表达的准确性等方面进行适当加分.

4 案例呈现

笔者选取了人教版普通高中数学教科书必修第二册第54页拓广探索中的第23题作为案例开展数学建模活动.考虑到新高一学生对数学建模的整个环节比较陌生，本文中重点阐述学生在“建模内循环”(即建模、解模、验模三个环节)过程中的行为表现，并给予恰当的形成性评价.

4.1 分析问题构建模型

本次数学建模活动课仅考虑高度问题，汇总之后大致可分为3类测量对象，如表2.

表2 测量对象与特点

第一类对象的高度问题本文不考虑.对于高度不可测的问题，高中学生很容易联想到利用三角形的知识来解决，但是当遇到水平距离不可测时，需要小组实践，考虑通过什么方式测定其对应高度，并完成表3.(总评成绩=学生评分×40%+教师评分×60%.)

表3 测量方案评价表

小组合作(准备阶段)：

(1)2～3名学生一个单位，自由分组，讨论本小组的测量目标、小组成员的具体分工、需要准备的测量工具.(下发表2和表3，让学生明确努力的方向.)

(2)小组成员采用“头脑风暴”的形式集思广益，充分讨论，对需要测量的对象给出不同的测量方案.测量方案可要求尽可能多一些，通过讨论或实践后再来确定最后的测量方案.确定任意一种方案的具体实施细节，弄清楚要测量哪些数据，哪些因素会使测量结果“失真”.

不管是测量学校内旗杆的高度或者是树的高度，从数学角度来看，本质上是一个解三角形问题.因此，可以将一个高度测量问题化归为解三角形的问题，这类“模型”的核心是测量一个(或几个)“角”和“距离”.以测量本校旗杆的高度为例，呈现学生的讨论成果，如图2所示.

图 2 四种测量方案

上述四种测量方案的计算都较为简洁，方案一、二、三对观测点与被测物之间的水平距离必须可测.与方案一、三相比，方案二、四[4]在计算过程中更容易产生测量和计算误差，根据实际情况要进行适当的调整修正.

师生活动(讨论阶段)：

教学与评价是促进学生有效学习的“双通道”.因此，在实施实地测量之前，每个小组需委派一名发言人对本小组的测量方案进行必要的说明，其他小组成员以及任课教师根据该组成员的汇报情况对其进行评分(见表3).

模型建立环节是十分重要的一个步骤，关乎着整个建模活动是否能够正常进行.小组汇报与互评工作，首要目标是让所有参与数学建模活动的成员明确自己的分工，明晰建模研究的方向.其次，教师和小“评委”可以大致了解整个大团队会涉及哪些模型来测量高度，通过聆听汇报，准确依据评价方案给予评分，并结合“满意原则”和“加分原则”适当调整分数.例如，某团队在汇报过程中，给出了3种解决方案，且有明确的符号说明，并给出了合理的解释，但未提前预设操作过程可能会遇到的各类问题.根据满意原则，学生已经达到了理想情况，评分属于8～10分档，但学生并没有对模型进行比较，也未提出操作过程中可能存在的问题，因此它不满足加分原则，最终教师评分判定为8分.最后，这种“互掐”式的互评模式必然会让所有同学的思路更为开阔，思维更加严谨.

4.2 确定参数 计算求解

小组合作(测量阶段)：

在测量过程中，通过有效的测量策略减少系统误差是非常必要的.系统误差可分为：方法误差、仪器误差以及操作误差等.其中仪器误差是不可控的，但是方法误差和操作误差却可以通过理性分析与多次测量，以达到降低误差的效果.

小组合作(计算阶段)：

利用小组构建的模型，完成测量报告，并用多种形式展示小组的成果和创意.通过实践观察与询问，发现某小组成员在测量过程中，没有考虑到测量误差，但给出了相应的测算结果，故其满足满意原则；在实际测量过程中，学生能根据实际情况进行有效的模型与方法选择，故其满足加分原则.因此，教师对该组评分判定为6分.

4.3 检验结果 评估模型

旗杆的实际测量高度为16.81 m，某团队对方案二、三进行计算及稳定性分析，其中ΔH表示通过模型计算获得的旗杆高度与实际高度的绝对误差，ΔH*表示当测量数据发生变化时高度的相对变化量(取正)，观察模型的稳定性，如表4.

表4 模型二、三的稳定性分析

通过后续的讨论，该小组学生得到如下结论：(1)在测量过程中，测量长度所带来的误差要小于量角器所带来的误差.这是由于学生的操作不规范以及仪器的精度不够导致的，建议减少引入角度变量或选用精度较高的量角仪器.(2)通过二个方案的测算结果，方案三更接近真实值，且该模型的稳定性明显优于方案二.该组成员对自身建立的模型不仅给出了稳定性分析，还从分析的结论中得出一些有用的信息,但不足之处是未说明模型的适用范围，因此教师评分可判定为9分.

5 教学思考

5.1 形成性评价帮助学生的目标设定

学生在学习过程中不断接近或突破自己预设的学习目标时，他们的自我效能感和内在兴趣都将得以激发，从而进一步增强其学好数学的信心.因此，目标设定是决定学习表现和结果的关键环节.在本次数学建模活动过程中，学生一直围绕评价方案表，有目的性地开展活动，操作起来也就更为顺畅了.在数学建模活动开展的过程中，若不事先设定好目标，大部分学生会迷失方向，这样数学建模活动的效果就大打折扣，而且容易挫伤学生的积极性.当然教师和学生理解的目标应当是匹配和重合的，这样学生才能够主动将来自同伴和教师的反馈信息与自己的目标联系起来.

5.2 形成性评价增强学生的自我监控

自我监控是指记录或评价自己的行为，通过记录和评价等手段影响未来行为上的一系列变化.形成性评价过程中发现的问题，更能引起学生的注意力，进一步促使学生思考自身的学习行为以及策略方法是否得当.在本次数学建模活动中，当团队完成自己的评价方案时，会将当前自身的表现水平与标准进行比较，通过采取适当的行动来缩小两者之间的差距.同伴间的相似性，能够用更同质化的语言进行解释和建议，让学生看到不同的看法和策略，共同探讨策略的运用与问题的解决，还能将同伴的理解转化为自己学习的评价，进而对自己的学习方式进行修正和补充.

5.3 形成性评价发展学生的高阶思维

高阶学习过程表现为学生在基于真实任务或复杂问题的情境中，为达到高层次的学习目标，积极主动、坚持不懈开展建构性学习活动，与同伴建立情感支持，进行协作、交流、分享，不断地反思和调节自己的学习，经历分析、发现、构想、归纳、评价、创造等思维经验积累的过程.在解决问题的过程中，不管是建模、解模、验模的任何一个环节，都需要同学们积极地合作，通过深度的思考、严谨的探讨、精确的测量、精准的计算才能最终有所收获.在自评与互评的过程中，发展学生的批判性思维、创新性思维与反思性评价思维.