强化解题思路 凸显思维品质——“圆锥曲线习题分析课”的设计及反思

赵士元

(江苏省苏州市吴中区教学与教育科学研究室 215104)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自四星级重点高中，学习基础较好，学生的逻辑判断能力和运算能力普遍较强，但逻辑分析能力不足.

1.2 教材分析

《圆锥曲线》是高中数学选修二的主要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质，这些内容既是高中数学的重点又是高中数学的难点.由于三大圆锥曲线具有统一的定义，因此三者的性质之间必然具有高度的相似性，系统了解它们之间的相似性有利于学生从宏观上把握三大圆锥曲线，使碎片化的知识点形成系列化的知识体系.

解析几何的宗旨是代数法处理几何问题，突出体现了数形结合的思想，而圆锥曲线作为解析几何的主要内容，综合性比较强，对学生的运算要求比较高，是学生必须牢固掌握的内容.

教学重点 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、性质及其相互联系.

教学难点 以导问的形式引导学生分析思考数学问题.

2 教学过程

2.1 热身训练

(5)点P在焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上，则PF=，如何推算出来的？若过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB=.

2.2 例题讲解

(1)求椭圆C1以及抛物线C2的标准方程；

·教学设计

先解决第(1)题：

第一步 读题

出示题目后学生读题两分钟，而后教师逐步出示如下几个问题，供学生相互讨论交流：

问题1“M是椭圆与双曲线在第一象限内的交点”隐藏着什么样的信息？

问题3线段MF是什么？点M是椭圆和抛物线的交点，且它们有公共焦点，暗示了什么信息？

第二步 设计解题思路

①利用椭圆三个基本量本身的关系、椭圆和抛物线具有公共焦点、椭圆右焦半径等于抛物线的焦半径这三个条件列出关系式(可列三个)得到方程组；②求解这个方程组，求出a,b,c的值.

第三步 实施解题计划

接下来研究第(2)题.

第一步 读题

先弄清楚如下几个问题：

问题5“是否存在”这一类探究性问题通常的格式是怎样的？

留一定时间给学生思考并在草稿纸上书写，而后让学生明确应先求出A,B两点的横坐标的和与积.

第二步 设计解题计划

第三步 实施解题计划

2.3 课堂小结及作业布置(略)

3 教学反思

反思之一解决一个数学问题通常包含“审题”“设计解题计划”“实施解题计划”和“解题反思”这四个步骤[1].当然，对一个熟练的解题者而言并不一定要严格按这四个步骤执行，但在思考的潜意识里一定有这四个步骤.在平时解题教学中经常渗透这种思考模式，对提升学生数学学科素养和思维能力非常有用.

这一思路比较直观，从特例(或极端情形)出发找出答案再进行验证，于是将学生比较陌生的探究性问题转化为如下一个比较熟悉的证明题：

反思之四遇到一个综合性比较强的数学问题时，许多学生往往束手无策，这与平时的分析和训练有关，遇到有一定难度的数学问题时如何帮助学生在题设和目标之间通过导问的形式架设若干阶梯，将一个“大问题”分解为若干个“小问题”是教师在例题教学设计过程中必须用心思考的问题，这就是我们通常所说的“导问式教学设计”[2].或许有些教师会认为以导问的形式组织教学活动会影响教学进程，但是如果没有平时规范化的思维训练，怎么可能使我们的学生在考场上做到得心应手呢？有时，暂时的“慢”是为了更好的“快”.

反思之五课堂教学不能仅仅满足于让学生听懂，而要追求让学生从“学会”上升到“会学”，更要让学生实现从“不好”到“好”的转变.“听懂”是课堂教学最基本的要求，从“不好”到“好”是课堂教学的最高目标，采用导问式教学设计可以引导学生从常规策略入手追求最佳解决问题的途径，有利于活跃学生思维、提升思维品质.