增强轨迹意识，构建相对运动转换——以2021年盐城市中考探究题为例

⦿江苏省溧阳市实验初级中学 王丽洁

2021年江苏盐城市中考数学试卷的函数压轴题以知识探究的形式呈现，并将函数曲线与几何旋转相结合，侧重对轨迹意识、相对运动的考查.把握动静联系，确定相对转换是突破的关键，下面对其进行深入探究.

1 问题呈现

考题(2021年江苏省盐城市中考数学试卷第27题)学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形.

试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题.

【初步感知】

如图1所示，设A(1，1)，α=90°，点P是一次函数y=kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1(-1，1).

图1

(1)点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为；

(2)若点P1′的运动轨迹经过点P2′(2，1)，求原一次函数的表达式.

【深入感悟】

图2

【灵活运用】

图3

2 解析探究

此题为探究性问题，题干首先给出了相应的探究背景：点P绕着点A顺时针旋转角度α，可得P′，当点P在某一函数图象上运动时，点P′的运动轨迹可形成新图形.显然问题探究的核心是动点关联，以及动点轨迹.问题探究共分三环节，下面逐问探究.

环节一:初步感知

该环节以一次函数图象为背景，点P位于一次函数y=kx+b图象上，旋转过程为点P1(-1，1)绕着点A(1，1)顺时针旋转α=90°得到了点P1′.根据旋转特性可得两大条件：①P1A=P1′A=2(旋转前后的点到旋转中心的距离相等)；②∠P1AP1′=90°.

(1)根据点A和P1的坐标可知两点位于平行于x轴的直线y=1上，故旋转后的点P1′与点A位于平行于y轴的直线x=1上，从而可确定点P1′(1,3).

评析：该环节是对几何旋转知识的强化，引导学生把握旋转过程，提取其中的旋转特性，掌握旋转逆向推导的方法.

环节二:深入感悟

该环节以位于反比例函数图象上点的旋转为背景，且旋转角度变为45°，即点P绕着点A顺时针旋转45°.

根据相对运动，可将P视为固定点，将二、四象限角平分线绕着点A逆时针旋转45°后与x轴相重合.如图4,过点P作x轴垂线，设垂足为B，连接PO.可证△PBO≌△P′MO，理由如下.

图4

评析：上述对位于双曲线上的点进行旋转，其中旋转中心和旋转角作了变更，探究三角形的面积时采用了相对运动的策略，即将点的旋转转换为直线的旋转，在旋转过程中，点的相对位置是不变的，因此可将△P′MO视为是△PBO旋转所得.

环节三:灵活运用

图5

图6

3 评析思考

上述对一道探究性问题进行了解析，其问题的特征及破解方法均具有一定的参考价值，下面深入反思.

3.1 关于问题特点的评析

本考题为探究性问题，共分“初步感知”“深入感悟”“灵活运用”三个环节.问题构建有两大特点：一是三个环节紧密相扣，步步深入，引导学生从简单的一次函数深入到复杂的二次函数；二是环节设计针对性强，符合探究的思维过程.环节一注重基础知识的强化，引出旋转特性；环节二侧重图形旋转，初步构建相对运动转换，具有一定的特殊性；环节三则上升到抛物线中，引出面积最值问题，具有极强的应用性.问题设计思维连续性强，可帮助学生强化基础，总结方法，增强应用，是函数与几何相融合的典型代表.

3.2 关于问题解法的思考

动点轨迹、相对运动转换是上述探究性问题重要的破题策略，尤其是相对运动转换实现了“动点”与“定点”的互换，构建了条件之间的联系，简化了解题思路.相对运动是物理上重要的思想，即把原动点作为参照标准，将“动点”变为“定点”，将“定点”变为“动点”.相对运动转换的使用需满足两大条件：一是运动的点多于定点，如上述问题中绕着定点旋转，显然动点较多；二是动点关联，具有一定的联动性，如上述旋转过程中动点位于同一直线或曲线上，则动点坐标满足对应的函数关系.从几何视角来看，动点围成的图形形状和大小不发生改变，也是几何旋转的核心内容.

4 方法拓展

上述考题采用相对运动转换的方法，主要目的是为了串联条件，构建旋转前后图形之间的联系，利用原条件来求解.如环节二构建S△OMP′=S△PBO关系，环节三利用原抛物线构建面积最值模型.实际上通过相对运动转换还可减少动点，使问题简单化.

例题在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，已知点A(5,0)，B(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，可得矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F.

(1)如图7所示，当点D落在BC上时，求点D的坐标；

图7

(2)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围.

解析：(1)根据旋转特性，并在Rt△ADC中使用勾股定理即可求得BD=1，所以点D(1,3).

(2)求△KDE面积的取值范围，只需考虑K，D，E三点即可，如图8所示.但D和E两点为动点，仅K为定点，三角形的面积不容易确定.

图8

此时就可采用相对运动转换来减少动点个数，即固定点D和点E，让其回到初始位置，即点O和点B处，则可视为点K绕着点A逆时针旋转，对应的运动轨迹如图9所示.

图9

评析：上述求解动态三角形的面积，采用相对运动转换的方法构建了“一动两定”面积模型，实现了复杂问题简化作答.

5 写在最后

几何旋转是图形运动的一种方式，其中隐含着不变的规律.对于融合图形旋转的几何探究题，可采用相对运动转换的方法来分析其中的动静关系，构建旋转前后的条件联系.相对运动转换的思维难点是视角变换，具体探究可从物理视角思考，分析动静条件以及条件之间的联系，如点的对应关系、运动参照系等.

教学中要注意引导学生用相对运动的观念看待问题，关注运动过程，提取运动规律，绘制动点轨迹，同时充分理解相对运动转换的目的.通过运动转换、图形变换来增强学生的轨迹意识，提升数学思维.