让创新之花在数学课堂精彩绽放——基于对习题探究课的赏析有感

⦿江苏省如东县洋口镇初级中学 袁陈佳

随着新课程理念的深化，教师越发关注对学生创新能力的培养.当然，培养学生创新能力的方法很多，对于数学教学而言，最简单、最直接、最有效的方法莫过于提供丰富的学习素材，让学生解决丰富多彩的、具有创造性的数学问题.问题作为课堂教学的主要方式，对教学效果的影响直接而深远，恰到好处的问题可以引发学生的创新灵感，培养学生的思维能力[1].下面，笔者从习题探究课的视角出发，具体阐述如何让创新之花在数学课堂中精彩绽放.

1 以典型习题为载体，引发一题多解，收获层出不穷的成功喜悦

一些简单的常规题，学生在解决的过程中势必“胸有成竹”，对学生自信心的建立效果显著.而常规习题对培养学生的创新思维意义不大，相反会让越来越多的学优生丧失解题兴趣，对数学学习十分不利.一些具有创新色彩的典型习题，其神秘不仅体现在思路的隐蔽上，还表现在奇妙的构思上，更重要的是可以让学生在一题多解的过程中培养学生思维的灵活性和创造性.因此，教师需要以典型习题为载体，给足学生审题和思考的时空，为学生提供一题多解的情境，使其大胆提出想法并进一步勇敢尝试，从而在拾级而上的数学探索中收获层出不穷的成功喜悦.

例1已知正方形ABCD中，点E落在边BC上，且异于端点B,C，将EA绕着点E顺时针旋转90°至EF，连接CF.证明：CF为正方形ABCD的外角平分线.

师：请仔细审题，并说一说你准备怎么去解这道题.(学生陷入思考)

生1：如图1，过点F作FH⊥CG于点H，若能得出∠FCH=45°，即可证得CF为正方形ABCD的外角平分线.

图1

生2：由已知可得AE与EF相互垂直且相等，若是以AE，EF为边借助旋转构造全等三角形即可解决本题.

生3：如图1，连接AF，易得△AEF为等腰直角三角形，若能得出△FCH与△AEF间的关系即可解决本题.

生4：我觉得可以连接BD，并证明BD∥CF，就可以完成证明了.

生5：我认为本题若是过点F作∠DCG两边的垂线段，并证明这两条垂线段长度相等，那么问题就可以解决了.

师：你们都是有想法的好孩子！既然有了想法，何不来试一试呢？下面请大家选择一种方法来解决本题.(学生在教师的引导下进行解题尝试，由于时空充足，学生得出了以下多种多样的精彩证法.)

证法1：利用AAS，容易证明△ABE≌△EHF，从而得出AB=EH.因为AB=BC，所以EH=BC，故BE=CH.由△ABE≌△EHF，可得BE=FH，所以CH=FH.由此可得△FCH为等腰直角三角形，所以CF为正方形ABCD的外角平分线.

证法2：因为∠BAE=∠CEF，∠BAE=∠CAF，所以∠CEF=∠CAF，据此可得A,E,C,F四点共圆.因为∠AEF为直角，所以∠ACF为直角，从而∠DCF=90°-∠ACD=45°.故CF为正方形ABCD的外角平分线.

证法4：在边AB上取一点K，使AK=CE，不难证明△AKE≌△ECF.因为KB=BE，所以△KBE是一个等腰直角三角形，于是∠BKE=45°，则有∠AKE=∠ECF=135°，从而∠FCG=45°.故CF为正方形ABCD的外角平分线.

学生都是独具个性的个体，看待相同的问题由于角度不同，想法也会各不相同.对于例1，学生给出的各种证法中，不管是构造全等，还是寻求相似，又或是利用平行，都是从自身的解题经验中提取出来的.有想法就会有创新，教师基于学生的数学思考巧妙地进行“留白”，留给学生足够的思考与探索的时空，让学生表露自己的初步想法，引发更加深刻的思考，促进问题的正确解决.这里例1发挥了其典型效能，让学生在一题多解的过程中复习了三角形全等、相似以及圆等相关知识，在各种知识的融合贯通中学会了解决错综复杂的综合问题，很好地促进了创新思维的发展.

2 以错误为契机，因势利导，历练自由创新的思维

新课程理念为数学教学带来了勃勃生机，想要让学生能驾驭创新思维之舟，需要教师的适当引导和点拨[2].在数学课堂中，“犯错”并非偶然，可以说具有一定的必然性，错误是美丽的，是动态生成的.因此，我们要允许学生犯错，将学生的错误视为一种资源和契机因势利导，促进学生历练自由创新的思维.

图2

师：请在思考后说一说你打算尝试的解题思路.(学生思考，并很快有了想法.)

生1：如图3，可以过点A沿着水平与竖直方向各作出两条线，与BC分别交于点M和N.

图3

生2：如图4，可以过点A作AC的垂线，与BC相交于点H.

图4

生3：如图5，过点C作AB的垂线，与AB的延长线相交于点K.

图5

师：那么在添加辅助线之后，图中多出了哪些三角形，这些三角形对于解题有何作用？

生1：作出图3后，原三角形被切割为等腰三角形ACM，含有30°角的Rt△MAN及△ANB.但△ANB中有已知边长无特殊的角，Rt△MAN与等腰三角形ACM有特殊角却无已知边长，那么似乎这样作辅助线并不好用.

师：你们在解题中也有类似的困惑吗？

生2：我也有.作出图4，Rt△CAH含有30°角，但也一样没有已知边长.

生3：我也同样有困惑.作出图5，△CAK为等腰直角三角形，也同样没有已知边长，所以题中的已知条件一样无法灵活运用.

师：失败乃成功之母.通过刚才的尝试我们知道在三角形中求边长通常可将普通三角形转化为特殊三角形，再借助三角函数建立边与角之间的关系来探求边长.那么可以再深入思考一下，如何能利用转化思想得出我们需要的三角形呢？

生4：如图6，过点B作CA的垂线与其延长线交于点Q，构成的△AQB不仅为特殊三角形，也有一条边可知.

图6

师：从失败中吸取教训，进行深刻反思，在反思后进一步尝试，终于得出了符合要求的三角形，也探寻到了解题的入口，非常好！从前面几名学生添加辅助线失败的经历我们可以看出，正是因为都存在缺陷才导致了失败，那么现在再细致地思考一下，这些缺陷能否弥补呢？(学生又一次陷入深思，细细思量问题.)

生5：从生2所作的图4出发，如图7，进一步再过点B作AH的垂线，与AH的延长线交于点Q.因为△AQB是等腰直角三角形，AB=12，所以可得又Rt△BHQ中，∠HBQ=30°，则故从而

图7

师：非常好!事实上，若是从图3出发，如图8，进一步过点B作AN的垂线，交AN的延长线于点P，再借助勾股定理也可以让本题获解.只是在整个解析的过程中运算繁琐，一般我们不会选择这种解法，有兴趣的学生也可以在课余时间进行尝试……

图8

直觉与经验是学生创新思维的基石，在抛出例题后，教师引导学生凭借自身的已有经验和直觉水平进行尝试.学生在一番思索之后，生成了各种各样的想法，并循着想法进行尝试，由于作出的三角形无益于问题的解决从而从内心深处很快被否决掉.而此时，教师并没有一口否决学生的想法，而是循着其原生思维的脉络，鼓励其深度思考，从错误中探寻机遇，让错误绽放异样的光彩，这样一来，极好地训练了学生的创新思维，提高了学生的解题能力[3].

总之，问题的设计取决于教学目标，教师的引导关乎学生思维抵达的深度与广度，影响教学效果.因此，教师需精心设计问题并付诸课堂实践，以典型例题引发一题多解，以错误为契机因势利导，培养学生创新思维，让创新智慧之花在课堂绽放.我们有理由相信，以问题为载体，以追问为引导，必将让学生的创新思维迈上一个新台阶.