APOS理论下高中数学概念教学的实践研究

摘要：概念教学是培养学生抽象思维、逻辑推理、数学建模等能力的基础，概念本身也是高中数学知识体系的重要组成部分.基于APOS理论展开高中数学概念教学，有利于促进学生自主进行概念知识的意义建构，并强化数学课堂上“教师为引导、学生为主体”的双边协同关系.基于APOS理论展开高中数学概念教学实践，应遵循“师生和谐”“连贯完整”“主动探究”的原则，结合本文中提出的“渐进-收敛”“中心-扩散”“并列-结合”三种高中数学概念教学模式，引导学生深入理解并掌握概念.

关键词：APOS理论；概念教学

1 引言

所谓“概念”，简单来说就是对客观事物、现象、规律等的理性描述，是人类认知思维体系中最小的构筑单位[1].具体到高中数学课程中，概念泛指一系列知识点，不同知识点的相关性、相似性要素可以组成一个数学概念的内涵与外延.其中，数学概念的内涵用来表明“概念是什么”，可以认为是概念在“性质”上的反映；而数学概念的外延用来表明“概念有哪些”，可以认为是概念在“数量”上的反映.

2 APOS理论及概念教学的实践原则

APOS理论是在建构主义理论基础上发展而来的，该理论同样强调在教学活动中突出学生的主体地位，但与建构主义理论提出的“情境-协作-会话-意义建构”实践机制不同，它将一个学习活动划分成四个步骤，即活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）和图式（Scheme），具有更强的可执行性.任何一个具体的高中数学概念教学，都可以采取以上四个步骤.其中，“活动”步骤具有具象性，例如教师在讲解一个概念之前，会先让学生运算一组数学题，“运算”这一实操活动本质上是刺激学生去感知要学习的知识点.“过程”步骤则是“具象→抽象”转化的过程，大量相同的活动内容、相同的行动模式，促使学生进入一种特定思维模式（如数形结合）[2].当高中数学概念教学进入“对象”步骤，学生所面对的是一种全新的静态结构关系，如集合概念的一种外延现象，它与学生此前接触的集合问题或集合现象有着明显差异，但由于其具有静态特点，便于直观想象与观察，学生容易完成概念性质的验证.最后进入“图式”步骤，即数学概念知识的“意义建构”阶段，学生不仅能够精准识别高中数学概念的符号、结构、定义等，还能够利用概念对问题进行分类，进而对概念的掌握也进入了高阶思维层次.

综上分析，将APOS理论应用到高中数学教学活动中，应遵循以下实践原则：（1）师生和谐.直观上讲，可以将APOS理论视为建构主义理论的“再发展”，两种理论都认同学生在教学活动中的主体地位，但数学概念毕竟过于抽象，教学期间离不开教师的精细引导，所以在APOS理论指导下构建的教学体系中，教师与学生的关系需要十分和谐，才能推动整个教学活动顺利展开.（2）连贯完整.不难发现，APOS理论下的四个步骤是高度连贯的，忽略任何一个步骤，或者打乱步骤顺序，都可能会影响到学生对数学概念的认知效果.例如，忽略“过程”直接跳到“图式”，即直接建立概念与数学问题之间的联系，这样学生就丧失了思考的机会，仍会停留在浅层思维模式下.（3）主动探究.相比传统概念教学，APOS理论否定了直接给出定义、通俗解释说明的做法，反映在教学模式上，则是倡导学生主动探究概念形成的过程，即从具象认知转入抽象理解.

3 APOS理论下高中数学概念教学的模式

3.1 “渐进-收敛”模式

“渐进—收敛”模式适用于“新概念比旧概念所包含的知识量更大、知识面更广”的情况，即新概念是旧概念的“上位概念”，学生对于数学概念的认知，则呈现为“由特殊到一般”的逻辑思维[3].在高中数学概念教学实践中，从“一般”开始到“特殊”结束的过程是渐进性的，而认识到概念从“一般情况”到“特殊情况”成立则表现出收敛性特征，具体教学模式为“情境活动—探究过程—生成对象—构建图式”.

以“函数的单调性”概念为例，首先在情境活动中，教师可先准备一些描述变化规律的成语，如“欣欣向荣”“起伏不定”“急转直下”等，让学生绘制对应的函数图象（图1）；其次，在探究过程中，引导学生将自然语言表述方式转化为符号化的数学语言表述方式，用来表示函数的单调性，如“单调递增”表述为“对区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）”，同理总结出“单调递减”的数学语言表述方式；再次，生成对象阶段，直接给出“函数单调性”的数学问题，让学生利用前期积累的经验，得出单调或不单调的结果，进一步增强对概念本身及特殊条件（如“任意”“区间I不能是数集”）的理解；最后，通过数形结合、观察、分解等方法，构建“函数单调性”的问题图式，即“取值、作差、变形、定号”.

3.2 “中心-扩散”模式

“中心-扩散”模式适用于“新概念属于旧概念的延伸、拓展”的情况，即高中数学概念的外延部分.该模式有利于学生更全面地掌握数学概念，更有效地利用数学概念[4].“中心-扩散”模式中的“中心”是指旧有概念，“扩展”的目的在于引出新的外延子集.例如，初中阶段学生已经了解角的概念，但所接触的“子概念”为锐角、钝角、直角，进入高中进一步拓展出了正角、负角、零角，它们都不符合“三角形”内涵，但又都属于角的下位概念.基于APOS理论，“中心-扩散”模式的四个步骤分别为“感性认知活动—拓展生成过程—归纳明确对象—扩散生成图式”.

以“任意角”的概念为例.首先，在感性认知阶段，教师通过举例阐述生活中许多角并不在0°～360°之间，如体操空翻720°、跳水外转体1 080°、秒针在5分钟转了1 800°等，以此打破学生对角的固有认识.其次，在拓展生成过程中，让学生建立起“角不仅有大小还有方向”的认识，以及“平面内射线旋转不受限制”的认识，这样一来就建立起“角无大小限制却又有正负之别”的概念.再次，在归纳明确对象的过程中，引入平面直角坐标系来区分正角、负角、零角，形成直观认识的同时，也就生成了具体的下位概念，如“零角是平面直角坐标系内射线没有旋转情况下的角.”最后，扩散生成图式.可利用思维导图工具，在“角”这一中心概念之下，扩散出多种具体的子概念，并建立彼此的相关性，如“锐角是第一象限内小于直角且大于零角的角”.

3.3 “并列-结合”模式

“并列-结合”该模式适用于“新旧概念无直接关系”的情况，但可以从旧概念的认识过程中，汲取一部分观点、规律等，用于减轻新概念的认识难度[5].在APOS理论下，“并列-结合”模式由复习活动、类比过程、提炼对象、并列图式四个步骤构成.

例如，在“函数的单调性”概念复习课上，为了帮助学生加深对这一概念的理解，在“复习活动”步骤，教师可以利用“数形结合”的方式展开，先提供直观、具体的函数图象，让学生根据图中标注的数据、图象走势，直接观察单调递增、单调递减的特点；进一步，在类比过程中，让学生注意观察数形变化的一致性，建立x，y和x，f（x）的对应关系.然后，在提炼对象的过程中，为学生提供一个非单调函数的图象，让学生自行判断某一段的单调特性，并从中提取影响函数单调性的要素，如x在某一个区间内函数图象呈现出单调递增趋势，在该区间以外呈现单调递减趋势，从而明确单调区间的概念.最后，在并列图式环节，建立函数图象与函数表达式之间的对应关系.

4 结语

综上所述，高中数学概念教学实践中，不能仅停留在概念的字面解读上，应从抽象与具象的统一、符号化与形式化的转换、系统性与逻辑性的关联等多个层面，引导学生深入理解概念、掌握概念，才能在数学解题与生活应用中举一反三.

参考文献：

[1]王越，何声清.数学教育领域APOS理论的应用研究：议题、方法与启示[J].中小学课堂教学研究，2022（6）：7-10，24.

[2]吴金华.基于APOS理论下高中数学概念教学的实践研究——以“三角函数的概念”为例[D].洛阳：洛阳师范学院，2022.

[3]张萌，张丹，刘文喆.APOS理论下渗透数学思想方法的应用分析——以高中函数概念的教学为例[J].成才，2021（17）：61-62.

[4]姜绍蕊.基于APOS理论的指数函数概念教学研究[D].天津：天津师范大学，2021.

[5]南迪.APOS理论指导下的数学几何概念教学[J].智库时代，2019（3）：222-223.