数形结合方法在小学数学高段问题解决教学中的运用

【摘要】在小学数学高段问题解决教学中，不论是在新授课，还是在练习课，都离不开数形结合方法的运用。数形结合方法的运用价值在于能基于数学现象或事实进行合理猜想;增加合情推理结果的可靠性;利用直观描述，让问题解决的方法更明了;遵循探究轨迹，让问题意识得以增强;与生活相联系，让问题解决更具现实意义。因此，在教学中，教师要在钻研教材、探究体验、知识迁移、练习训练、归纳总结等过程中运用数形结合方法，以发挥数形结合方法对问题解决教学的作用。

【关键词】数形结合方法;问题解决;小学数学

作者简介：曹飞（1988—），女，江苏省南京市琅琊路小学柳洲东路分校。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括”“学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。”[1]数形结合方法在小学数学高段教学中应用广泛，具有诸多价值。教师要让学生适时、灵活地运用这种方法去解决问题。

一、数形结合方法在小学数学高段问题解决教学中的运用价值

（一）基于数学现象或事实进行合理猜想

数学猜想的提出常常是从观察开始的。运用数形结合方法有利于学生进行观察，提出合理的猜想。

例如，在学习“钉子板上的多边形”一课时，学生通过观察教材中的钉子板上的图形，发现多边形边上的钉子数与多边形的面积之间存在2倍的关系。由此，有的学生猜想所有多边形边上的钉子数均是多边形面积的2倍。为了验证学生的猜想，教师拿出1块钉子板，上面分别用橡皮筋围成了1个内部没有钉子的三角形、1个内部有1枚钉子的四边形和1个内部有2枚钉子的梯形。这时，学生很快就发现了问题，只有第2个图形符合之前的猜想，其他2个图形均不符合。学生将这块钉子板上的图形与教材中的钉子板上的图形进行比较，发现多边形的面积除了与多边形边上的钉子数有关，还与多边形内部的钉子数有关。学生随即将猜想的内容进行完善，在之前的猜想的基础上加了“当多边形内部只有1枚钉子时”这个前提。学生通过不断的举例和寻找反例来验证完善之后的猜想，最终认定这一猜想是合理的。

上述探究和反思的过程中，数与形交替出现。教师引导学生先根据形探究数之间的关系，提出猜想，再根据形反思猜想的合理性，通过比较2块钉子板上的图形及相关数值，让学生猜想的内容更加完善，例证的结果更加合理。由此可见，数形结合方法在猜想环节的作用不可小觑。

（二）增加合情推理结果的可靠性

由于受思维水平和所掌握的知识的限制，学生推理得出的结果不一定可靠，因此在条件允许的情况下，教师仍然要引导学生利用已有的数学结论或规律来说明推理的结果，并且至少要通过计算、画图、实验等方式增加结果的可靠性。

例如，在学习“解决问题的策略—列举”一课时，有的学生探究了关于“找出面积最大的长方形花圃”的问题之后，得出的结果是：解决这类问题，一般可以采用2种策略，1种是列算式，另1种是列表。这属于合情推理的结果。不过，也有一些学生会通过数形结合的方式去解决这类问题，即用图形来代替题目中花圃的木条，试着围一围。这种数学抽象的方法更符合情境的要求，也更容易被学生理解和掌握。这些学生在解题的过程中能够直观感知围出来的图形的大小，同时也能例证列算式、列表这2种策略的合理性。

在上述过程中，学生可以学会运用多种方法来解决问题。但是在这些方法中，学生比较愿意接受或者了解的往往是数形结合的方法。这是由学生的思维特点决定的。在学生经历合情推理的过程之后，数形结合方法可以为问题的解决提供另1个途径。采用这种方法，可以增加合情推理结果的可靠性。

（三）利用直观描述，让问题解决的方法更明了

教师要充分发挥几何直观在问题解决过程中的作用，让学生利用几何直观把复杂问题转化成简单问题，并从中找到解题的思路，或直接利用直观的手段求解问题[2]。把数与形相结合，能够展示直观描述的结果，让学生找到1类问题的一般解决方法。

例如，在教学“解决问题的策略—转化”一课时，教师让学生算出 + + + 的结果。在计算这个式子时，大部分学生会采用通分的方法，小部分学生会先把分数转化成小数再计算。只要花一定的时间，学生是可以解决这个问题的。但如果类似的分数的个数越来越多，分数的分母越来越大，学生可能会觉得解决问题的难度越来越大，并且希望找到1种可以更快解决这类问题的方法。此时，教师可以引入1个正方形，把它看作单位“1”，让学生找一找它的

、、和分别是多少。学生在找的过程中能够发现，要想求这几个分数的和，可以用单位“1”减去式子中的最后1个分数（）。之后，教师可以引导学生用类推的方法，总结出解决这类问题的一般步骤。

学生探究上述问题的解决方法的过程，是把数与形相结合的过程。他们需要在数中想形，在形中找数，利用直观描述，探究出计算算式的简便方法。这样，问题解决起来会更简单，问题解决的方法会更明了。

（四）遵循探究轨迹，让问题意识得以增强

运用数形结合方法，不仅可以展现平面上的内容，还可以让学生拓展思维，想象立体空间的属性。这离不开学生深入探究的轨迹。遵循这样的轨迹，能够让学生发现问题和提出问题的意识不断增强。

例如，在学习“确定位置”一课时，学生在解决“灯塔1在轮船的什么方向？”的问题的过程中，需要以轮船为观测点，先找到灯塔1的位置，再从已有的经验出发，确定灯塔1的方向;要想精确地确定灯塔1的位置，需要知道对应的角度;在确定了角度之后，还需要量出灯塔1与观测点之间的距离。为了确定灯塔1的位置，学生要经历探究的过程，通过数形结合的方式，掌握确定位置的方法。

此外，当教师提出“同学们对于这节课的内容还有什么想问的？”的问题时，有的学生说：“我想知道天空中和海洋中的物体的位置该怎么确定呢？”这样的思维拓展很有意义。首先，有利于学生发现并提出问题。他们能够基于平面的问题，提出立体空间的问题，激发自己探究的欲望，体会到要想解决这类问题，还需要积累更多的知识。其次，有利于开阔学生的视野。他们的思维不再局限于点、线、面，而逐步向三维空间拓展。

（五）与生活相联系，让问题解决更具现实意义

统计现实生活中的数据，根据数据绘制相应的统计图，也是1种数形结合的方式。教师通过这样的方式，不仅有助于学生提高数据分析能力，而且有助于学生解决问题，积累生活常识。

例如，在教学“复式折线统计图”的有关内容时，教师要求学生依据教材中所给的不锈钢保温杯和陶瓷保温杯保温时间的数据来绘制折线统计图。从画好的统计图中，学生不仅可以知道在相同的时间内，2种保温杯的水温相差多少，而且可以知道哪种保温杯的保温性能更好，为自己在实际生活中选择保温杯提供数据支撑。

教材中列举的很多实例，都是以数形结合的方式展现在学生面前的。虽然学生在学习的过程中不需要记忆关于数形结合的理论知识，但是这种方法的运用会在潜移默化中影响学生的思维，影响他们对生活的认知，也会让问题解决更具现实意义。

二、数形结合方法在小学数学高段问题解决教学中的实践策略

（一）在钻研教材时，挖掘数形结合方法

小学数学高段教材中很多关于计算的内容都用到了数形结合的方法，旨在帮助学生理解算理和算法;但有的课时中并没有运用。这就需要教师认真钻研教材，挖掘数形结合的方法。

以“小数乘整数”的教学为例，对于“买3千克单价为0.8元的西瓜要多少元？”的题目，学生一般会先把0.8元转化成8角再进行乘法计算，或者把3个0.8相加。笔者认为，如果教师在学生采用上述两种方法算出结果之后，直接向他们介绍乘法竖式计算的方法，他们可能难以理解这种方法的算理。教师在教学之前需要钻研教材，思考如果把1个正方形看作单位“1”，将它平均分成10份，那么0.8就是其中的8份;在教学时可以展示3个正方形，将每个正方形都平均分成10份，让学生用自己喜欢的方式在正方形上表示“0.8×3”。如，有的学生则在每个正方形中各数出了8份;有的学生则在圈出2个正方形的基础上，再数出剩下的正方形中的4份。采用这2种不同的表示方法，都能让学生对算理有深入的了解。

笔者wS9otjtV4B7UgY4dr4EcwA==在钻研教材的过程中发现，教材编者只预设了学生可能会采用的2种解题方法。于是，笔者尝试利用数形结合的方式，为学生提供更多探究和解决问题的思路，让学生选择适合自己的方法，加深对算理和算法的理解。

（二）在探究体验中，感悟数形结合方法

教材中的某些例题运用的是数形结合的方法。在探究环节，教师可以借助这些例题，让学生感悟数形结合方法。

以“解决问题的策略—假设”的教学为例，对于不少学生来说，“计算小杯和大杯的容量”这道题有一定的难度。因此，教师设计了如下探究任务：1.想一想题目中的数量关系是什么;2.用写一写、画一画的方法，把数量关系表示出来;3.根据自己的想法列式解答。在解决问题的过程中，学生借助线段图或示意图探究大杯与小杯之间的关系，进而体会到运用数形结合方法有助于厘清数量关系。

学生只有经历了探究和体验的过程，才能感受到数形结合方法为我们明确解决问题的思路提供了指引;在遇到难度较大的问题时，能够自然而然地想到运用数形结合思想，理解问题的解决策略。

（三）在知识迁移中，运用数形结合方法

在学习的过程中，学生不仅可以迁移知识，还可以迁移方法。运用数形结合方法可以提升学生的学习效果。

例如，在学习“圆的面积”这节课时，学生亲自动手，把教材附页中的圆按16等份、32等份剪开，试着将其拼起来，进而发现拼成的图形近似长方形，并且长方形的宽是圆的半径，长方形的长是圆周长的一半。若把这部分知识迁移到“圆柱的体积”这节课，学生则会思考如果把圆柱的底面平均分成16份、32份，那么切开后拼成的物体会不会近似长方体。学生借助学具进行探究，发现这个物体接近1个长方体，而且圆柱的底面与长方体的底面类似，圆柱的底面积等于长方体的底面积，两者的高相等。

把探究圆的面积时所运用的数形结合方法迁移到探究圆柱的体积的教学中，可以让学生发现知识之间的内在联系，感受到数形结合方法在表现物体之间的外在特征时所发挥的独特优势。

（四）在练习训练时，掌握数形结合方法

数形结合方法是学生解决问题的利器。在练习训练时，学生常常会运用这种方法，把抽象的问题具体化，把复杂的问题简单化，让问题解决起来更容易。

例如，在“圆柱和圆锥”的练习课中，多数学生通常会借助图形，把某些物体抽象成数学模型，再结合所学知识解决问题。如对于“1个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长15米，横截面是1个半径2米的半圆形。搭建这个大棚大约要用多少平方米的塑料薄膜？大棚内的空间有多大？”这道题，学生在解题时，能够根据已知条件画出相应的图形，在图形上标注数据，并且发现第1小题实际上要求的是圆柱侧面积的一半与1个底面积的和，第2小题则需要求半个圆柱的体积。

在学生完成这道题的解题过程后，教师除了让他们说出在解决问题时需要注意什么，还应告诉学生，这道题的有效解决离不开数形结合的方法，帮助学生掌握这种方法。

（五）在归纳总结时，提炼数形结合方法

在平时的教学中，教师会发现“以形助数”的实例较多，而“以数解形”的实例相对较少。为此，教师要及时归纳总结，提炼数形结合方法。

例如，在引导学生复习“图形和几何”这部分内容时，教师可以让学生整理学过的平面图形的面积公式，并写出它们的推导过程。学生构建出知识结构图之后，可以总结出“正方形、平行四边形和圆都可以先转化成长方形，再求面积”“三角形和梯形都可以转化成平行四边形来求面积”等。

教师在引导学生观察知识结构图时，应该让学生明白，当我们不清楚数时，可以借助形来解释数;当图形蕴含的信息较少时，我们可以给它赋值，然后找到图形之间的联系，进而提炼出数形结合方法的内涵。可见，利用数形结合方法，可以让学生学会将不同图形的面积进行转化。

结语

数形结合方法是解决问题的常用方法。在小学数学高段教学中运用数形结合方法，不仅有利于提高学生发现、提出、分析和解决问题的能力，还有利于激发学生探究的潜能，让问题解决的方法更多样，让学生的思维更开阔，从而提升学生的数学素养。

【参考文献】

[1]肖川，欧阳新龙.义务教育数学课程标准

（2011年版）解读[M].武汉：湖北教育出版社，2012.

[2]王林.小学数学课程标准研究与实践[M].南京：江苏教育出版社，2011.