围绕目标，活用教材，构建有层次的学习任务——以“比例的认识”为例

□孙伟娜

比例是小学数学中一个重要的概念，比例思维是学生思维发展的重要内容之一。研究表明，对学生来说学习比例存在着一定的困难。Elena等人发现，大多数学生在解决“比例”问题时遇到的障碍通常是不理解相关概念和相关问题的情境［1］。Abdullah等人通过测试发现，六年级学生会对“比例”概念产生误解［2］。因此，教师在教学中应该正视学生对比例概念的认知基础及学习障碍，精准把握教学目标，并围绕教学目标提供适合学生探索的问题情境，设计丰富而有层次的学习任务，帮助学生正确构建比例概念，发展比例推理能力。

一、目标分析：“比例的认识”认识什么？

学生在学习比的有关知识（如比的意义、化简比、求比值等）的基础上继续学习比例的意义、基本性质以及应用比例解决问题等知识。北师大版教材通过“图片像不像”“调制蜂蜜水”等活动，引导学生理解比例的意义、积累比例推理的经验。比例推理的概念最早由皮亚杰提出，指学生根据已有的数量信息，利用比例的相关性质，解决比例问题的过程。《义务教育数学课程标准（2022年版）》第三学段（5～6年级）关于比例的内容要求中提出：“在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。”第四学段（7～9年级）要求用函数建模解决问题，两个学段的要求跨跃大，学生认知经验容易出现断层。因此，教师在小学阶段教学“比例”概念时，应引导学生深刻认识比例概念的本质并发展比例推理能力。

学生对比例概念的认识与理解有哪些经验基础？在学习中可能会遇到哪些困难？研究团队对B市H区Z小学六年级40名学生进行了如下前测调研。

（1）想一想：哪两张图片像？说说你是怎样想的？

（2）仔细观察，你有哪些发现？写一写。

以上问题需要学生结合问题情境联想比的意义，比较两种量之间的关系做出分析与判断。教师通过对学生不同的表达情况的分析，了解学生在“多重角度比较关系”“量与量之间的对应关系”“量与量之间的协同共变关系”等比例推理能力的具体表现。调研结果如表1、表2所示。

表1 问题（1）作答情况

表2 问题（2）作答情况

从调研结果可知，大部分学生知道需要找到等值比较关系来判断，但几乎没有学生从不同角度构建等比关系，关注两个量协同共变规律的更是寥寥无几。学生在构建比例关系解决问题时，并没有对其本质进行深入分析与理解。“比例的认识”不应仅让学生知道“表示两个比相等的式子叫作比例”，还需要引导学生透过现象看本质，经历丰富情境中的多重比较，充分体会组成比例的量之间的对应及协同共变关系。基于此，笔者试图通过解析教材、改编问题情境、设计多层次任务来解决这些问题。

二、活用教材：教材资源如何转化为学习任务？

教材是执行课程标准与体现课改精神的载体，也是众多教育专家和一线教师智慧的结晶。［3］教师需要理解教材重难点，结合学情对教材资源进行有效的开发。“比例的认识”一课，通过学情调研了解到学生对“比例的本质认识不够”，教师进一步梳理教材资源，结合学情对情境进行改编，在尊重教材的同时充分利用教材。

通过对人教版、北师大版、浙教版、苏教版四个版本教材中例题主题图进行比较，发现各版本教材选取的情境素材不同，语意结构不同。但都结合学生生活实际，希望他们在丰富的现实情境中，经历观察比较、自主探究等活动认识比例，通过丰富的素材帮助学生更好地构建比例概念。对北师大版教材的纵向梳理发现，“比例关系”渗透于不同年级，如三年级基本数量关系、五年级分数问题、六年级“比的认识”中都存在比例关系。在量与量的比较中，学生初步感受了两种相关联的量协同共变。

进一步对“比例的认识”一课进行分析，北师大版教材以“图片像不像”这一情境为学生理解比例概念提供了实例支撑，引导学生在同一个情境中，通过不同角度分析两个量之间的关系并构建比例关系。学生既可以从两个长方形的“方度”（用长与宽的比来刻画长方形的形状）是否相同的角度构建关系，也可以从“图形的放大与缩小”（长方形的长与宽是否扩大或缩小相同的倍数）的角度构建关系，还可以依托此问题情境感悟两个量之间的对应及协同共变关系。基于以上分析，教师对北师大版教材提供的问题情境产生如下思考：图片A给出了长和宽数据，是否利于学生迅速聚焦倍比关系？问题情境是借助几何图形引导学生寻找比例关系，如何充分挖掘情境素材背后的多重设计意图，通过数形结合，让学生直观感受、具体分析说明，更好地理解比例的意义？

在上述分析基础上，对北师大版教材问题情境进行再加工，改编主题图问题情境（如图1），提供数形结合学习支架，帮助学生整体观察和思考。具体改编如下：①去除主题图中图片A数据信息，让学生整体观察图形，从不同角度寻找关系。②主题图中增加图片F，与图片A长、宽数据相同（水平与竖直方向上的数据刚好调换），图像不同，以帮助学生厘清“对应关系”。

图1

教师基于学情调研、教材分析和主题图问题情境改编，对“比例的认识”内容制订如下教学目标。

1.结合“图片像不像”问题情境，能对长方形中长和宽两种量从不同角度进行比较，找到相等的比组成比例；能说出比例各部分名称。

2.结合“调制蜂蜜水”问题情境，通过化简比或求比值的方法正确判断两个比能否组成比例。

3.通过具体问题情境解释比例的含义，在多重比较中，发现组成比例的量之间的对应关系及协同共变关系，发展比例推理能力。

三、任务设计：用有层次的任务促进学生理解

要让学生立体地理解所学知识、问题及任务设计就需要让他们经历一定的过程和层次。蔡金法教授提出“教学过程中问题提出的五个层次：经验层、感知层、理解层、情境层、应用层”［4］。本文设计的三大任务也遵从了这样的过程，对比任务中的问题依次实现经验层、感知层、理解层的发展过程；想象任务中的情境助力学生情境层的思维发展；延展任务使学生在情境层和应用层两方面应用比例概念解决问题。

（一）设计对比任务，理解对应关系

1.思考图片像不像，感受多重角度比较

（1）出示改编后的问题情境（如图1）。

师：请你想一想，怎样的两张图片像，怎样的两张图片不像？

生：A和D两张图片像，因为A和D长的比是1∶2，宽的比也是1∶2，所以这两张图片像。

师：不同方法之间有什么联系？

生：比值相等的两张图片像。

生：说明像不像，可以从不同角度写出相等的比。

师：观察图形F，它也可以写出6∶4，与图A的6∶4是相等的比，为什么这两张图片不像呢？

生：虽然都是6∶4，但图A是高6、宽4，图F是高4、宽6，所以这两张图片不像。

增加图片F与图片A的数、形对比观察分析，使学生感受到构建比例关系需要关注前后（量）之间的对应性。

（2）增设辅助问题“画出和原图像的图片”，继续感受多重角度比较及协同共变性。

师：你还能画出和它们像的图片吗？

生：我画了一个长24、宽16的长方形，以及一个长15、宽10的长方形，24∶16=6∶4；6∶15=4∶10，它们都和图A像。

师：你有什么发现？

生：和图A像的图片有很多，遵循长和宽同时扩大或缩小相同的倍数这个规律，新的图形才能和图A像。

通过解决问题，学生对正确构建比例关系有了整体感知。

2.讨论不像的照片，感受对应比较关系

在画新的相像图片的过程中，有的学生把长、宽数据比弄反了，出现了比较关系不对应的情况。不少执教六年级的教师也反映课堂教学中会出现比较关系不对应的情况因此，本过程教师应重点引导学生关注对应比较，从而正确构建比例关系。

师：如何判断其他图片与图A的关系？

生：图E和图C与图A不像，因为找不到相等的比。

师：图F里也有一组6∶4，为什么看起来和图A不像呢？

生：图F里的6是淘气的胖度，而图A里的6是淘气的高度，当然不像了！

师：想一想，除了完全找不到相等比的情况之外，还有什么情况下图片不像？

生：虽然比是相等的，但关系不对应时图片也不像。

教师引导学生关注不像的图片，尤其是图F与图A的对比分析，重点体会两种相关联的量之间的对应比较、协同共变关系。教师通过适当改编教材情境，增加对比图片的学习支架、辨析不像的图片与原图的关系等内容，使得学生对构建比例关系的要素有了更直观、深刻的认识。

（二）巧用想象任务，感悟协同共变

出示问题情境：观察表格（如表3），你能写出比例吗？

表3

“调制蜂蜜水”情境直接呈现了表格数据，让学生分析数据写出比例，解释含义。为充分利用问题情境引导学生进一步加深对比例概念的理解，本环节设计了一个想象任务，帮助学生更好地感悟协同共变关系。

师：你还能调制出一样甜的蜂蜜水吗？有什么发现？

生：蜂蜜是4，水是20；蜂蜜是5，水是25。如果水是5，蜂蜜就是1，还有很多种调法，都是一样甜。

生：蜂蜜和水同时扩大或者缩小相同的倍数，蜂蜜水就一样甜。

设计“想象如何调制一样甜的蜂蜜水”的学习任务，使学生进一步体会比例关系中两种相对应的量之间的协同共变，以发展学生的比例推理能力。

（三）构建延展任务，发展比例推理

1.丰富比例情境，体会不同情境的语义结构类型

“图片像不像”和“调配蜂蜜水”属于教学情境中的语意结构，教师要带领学生继续丰富比例情境，做出正确判断，才能更好地应用比例概念解决问题。教师利用延展性学习任务“你还能在其他情境中找到比例关系吗？举例说明”，引导学生寻找现实情境中的比例关系，丰富对语义结构情境的认识，为后续应用比例概念解决问题打好基础。

2.整体归纳、认识比例，聚焦多重比较、对应关系及协同共变

丰富的问题情境里可以找到很多比例关系，教师应该引导学生分析不同情境中能构建比例关系的量之间的联系与区别，从而发现共性并归纳出构建比例关系的关键要素。教师利用学习任务“概括归纳在哪些情况下能找到比例？”，使学生反思学习过程，对比例的概念有完整的认知。

教师要对教材进行全面细致的分析，理解概念的数学本质，结合学情设置合理的学习目标，用好、用活教材资源，并将其转化成能引导学生不断思考、不断进阶的学习任务，使学生理解“比例概念”，获得“比例推理能力”，为后续学习打下良好的基础。