工程力学中的“虚实结合”科学思维的培养

刘小妹 李培超 范志毅

上海工程技术大学机械与汽车工程学院 上海 201620

科学思维能力是培养学生学习能力和应用能力的先决条件[1]。对于理工科学生，具备科学思维方法至关重要。尤其在遇到难题时，如果思维对了，解决问题的基本方向也就正确了。工程力学，作为专业基础课，对于后续专业课的开展及学生科学思维能力的前期培养具有深远的影响。

纵观工程力学的教学过程，不难发现很多的教学内容中都体现了虚实结合的科学思维方法。在教学过程中，从具体的教学内容出发，潜移默化地介绍这种科学思维方法的巧妙运用，让学生从中领悟和体会其中的哲学思想，对于培养科学思维方法有重要的实践教育作用，也说明了力学课程有助于对学生进行科学思维和科学方法的培养[2]。

一、理想力学模型的建立和假想面的引用

理论力学中的“刚体”“质点”和“二力构件”都是一些假想的重要的理想模型，在实际中是不存在的，听起来有点虚无缥缈的感觉，但很有必要。它们抓住事物的主要特征，忽略了一些次要因素，比如刚体忽略其变形，质点忽略其形状和大小，而二力构件忽略其质量等。这样，可以把实际的复杂问题简化，具有重要的意义，也是实际工程建模的重要思想。力学模型的建立要实事求是，但也不能眉毛胡子一把抓。由此可见，力学的很多理想模型是基于实际情况虚构的，为解决实际问题提供了重要的可能性。

材料力学中为了表示点的应力状态，引入了一种“单元体”方法，用一个假想的微小六面体来表示一点的应力状态，“单元体”也是一个虚构的力学模型。单元体的构造，是围绕研究点所截取的微小六面体，当微小六面体尺寸趋于零时，单元体就退化为一个实在的点。它为纯剪切以及三向应力状态斜截面上的应力公式提供了很大的方便，并且在此基础上，适当地选取不同方位面所构成的微段，可以进行一些更深入的应力研究。例如，研究弯曲切应力和承受内压薄壁容器的应力状态，恰当地合理地选择微段或是单元体的面所在方位，非常重要。如下图所示，利用薄壁截面杆件研究弯曲剪应力时，教材[3]中，先是按照惯例从梁上选取dx微段，但是接下来再在该微段局部截取时，并不是常规地横平竖直地规则选取单元体。而是特别地从没有外力的纵向表面开始、沿横截面边界方向截取有限长度s，到所要求剪应力的点选取微元。我们不得不感叹这种虚实结合的强大力量，尤其是虚的事物的多变灵活性，其中体现了科学的无穷智慧。当实际的研究对象为点，无法表达其应力(特别是与面平行的切应力，用一个点无法表示)时，可以虚构一个与之有关的六面体，把“不可能”变成了“可能”。

薄壁截面杆件弯曲微元选取示意图

再如用叠加法求弯曲变形，有载荷叠加和结构叠加。所谓的结构叠加指的是逐段刚化法，也可以看作虚实结合，逐步将各段梁假想为刚体，再根据未刚化部分的弹性位移与刚化部分的刚体位移之间的关系，最终确定要求点的挠度和转角。当结构比较复杂时，我们可以逐个虚化，各个击破，最终解决。

理论力学求桁架内力的截面法，然而截面不是真实的，而是一个假想的截面。既然是一个假想的，在截的时候就可以根据所需要求解的杆子的内力来确定截面的方向，从而为解题带来方便。假想面的方位也是灵活多变的，可以是水平面，可以是倾斜面，甚至也可以是曲面。实际的事物是确定的、不变的，但是虚构的事物可以是不确定的、多变的。在多变的外在表现下，截面法的内在实质是截开的两部分在内力和外力的作用下处于平衡状态，从而建立了外力与内力的关系。在材料力学中，在求拉压、扭转和弯曲横截面上的内力时用截面法同样的思路，也是通过一个假想的截面把变形杆一分为二，利用外力和内力的平衡来求解内力。而且对于任意的组合变形，也同样适用截面法求内力。

从上述的理想力学虚构模型和虚构假想面，以实际存在为基础，目的为了解决实际问题，“虚”离不开“实”，服务于“实”，“虚”具有不确定性、多变性从而具有灵活性，为虚实完美结合提供了无穷的可能性。

二、材料力学的一些重要假设和假说

材料力学中，虚设了一些重要的假设和假说。科学假说法是指在大量观测数据或大量反复试验基础上，用以前的理论已经无法解释观察的现象、数据，必须提出一种全新的、前所未有的理论框架，恰到好处地解释所观测到的现象、数据，且被之后的实验所验证的方法[4]。

材料力学中的一个重要的分析方法就是，为便于进行强度、刚度与稳定性有关的理论分析，需要对变形固体进行一些必要的简化，即通常对其作如下假设：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设以及小变形的前提条件。这些假设都是非常理想的情况，在实际中忽略了一些影响因素。同时实际构件的变形、应变以及由变形引起的位移，一般是极其微小的。在小变形前提下，计算构件平衡问题时，可忽略其变形，而直接采用构件变形前的原始尺寸，可使计算得到相当简化。真实的材料在显微镜下观察，一般不均匀，不连续，不各向同性(各向异性)。但宏观上，我们近似地假定，材料均匀、连续、各向同性。材料满足连续性，则材料力学就可以被奠定在微积分这个强大的数学基础之上。材料满足均匀性和各向同性，材料力学的理论才最简单[3]。

分析联结件的剪切强度和挤压强度，在实用计算中，假设切应力在剪切面上为均匀分布，并且由于挤压应力在挤压面上的分布一般比较复杂，它与接触的方式、接触面的形状等因素有关。在实用计算中，也假设挤压应力是均匀分布的。基于应力均匀分布的假设，联结件的挤压和剪切的应力公式比较简单，都是用剪力或挤压力直接除以剪切面或挤压面的面积，方便解决了实际的工程问题。

在拉压、扭转和弯曲时，为了寻找应力分布规律，通过实验观察、分析，引入了平面假说。认为拉压杆件的横截面在变形后仍保持为垂直于轴线的平面；圆轴扭转变形后，其横截面仍保持为平面，且其形状与大小以及相邻两横截面间的距离均不改变；弯曲梁的所有横截面在变形过程中都要发生转动，但变形前原为平面的横截面变形后仍保持为平面，并且和变形后的梁轴线垂直。平面假设在材料力学关于杆件应力和变形公式的推导中，起着十分重要的作用，通过这些平面假说，为理论推导提供了依据和方便。这些平面假设也不是凭空想象的，它们也是依据观察到的实验现象提出来的。

另外，利用开口薄壁截面推导弯曲剪应力时，虽然由于横截面上的剪应力破坏了上述的平面假设，但仍然可以假定横截面上的剪应力沿着厚度方向均匀分布，这是因为开口薄壁截面梁壁非常薄的缘故。除此之外，还假定了由纯弯曲分析得到正应力公式在横弯曲时仍然是可用的。

特别当现实不容易实现时，可以借助于一些虚的方法，比如组合变形强度条件的建立，实际构件或元件受力多种多样，其主应力比值也因此而异。如果仅仅通过实验建立失效判据，势必需要对每一种材料在每一种主应力比值的应力状态下进行实验，以确定每一种主应力比值下失效时的主应力值，这显然实际上是不现实的。但是我们可以对失效的原因作一些假说，但不是凭空假说，在有限的实验结果的基础上，对失效的现象加以归纳，寻找失效规律。比如特雷斯卡通过挤压实验研究屈服现象，而德国的洛德通过薄壁圆管同时承受轴向拉压和内压，验证了第四强度理论[3]。四个经典的强度理论实质上就是四个假说，假设某一个参数作为强度破坏的依据。

由此可见，依据有限的“实”的实验，大胆提出一些“虚”的假说，最终可以推广解决更一般的“实”的实际问题。

三、虚位移、虚力、惯性力和惯性力矩等虚拟参数

在材料力学的能量方法里面，有虚位移与虚位移原理、虚力和虚力原理。范钦珊教授在报告《弹性杆件的能量原理——虚位移原理与虚力原理》中指出：虚位移原理与虚力原理功能原理是一个古老而传统的命题。广义的能量原理不仅是分析静力学与分析动力学的基础，而且也是现代结构分析(例如有限元分析)的基础。进入AI时代，传统的基础力学教学内容如何更新，有很多问题需要思考，引入能量原理是很重要的一个方面。范钦珊教授认为虚位移系列原理基本思想就是“保持力(应力)不变，变分位移(应变)”；虚力系列原理基本思想就是“保持位移(应变)不变，变分力(应力)”，从而形成了完整的能量原理体系。虚位移，力学词典给出的简明定义是“在一定未知上，为约束所允许的假象的无限小位移”[5-6]。

对于处于平衡状态的弹性体，真实作用于弹性体上的外力在假想的虚位移上做的虚功等于弹性体内力在相应的虚位移上所做的功，虚实结合可以确定弹性体杆件的内力。与之对应的有虚力和虚力原理，满足平衡条件虚设的力或力系在真实位移上所做的功等于虚力引起的内力(虚内力)在真实位移上所做的功，如果虚力是单位虚力则就是单位载荷法。利用单位载荷法，可以确定结构上任意一点沿任意方向上的位移[4]。在这里，“虚实”真正地发生了数量的关系，而且似乎有点错综复杂。当然虚位移或是虚力可以是任意的，但又并不是完全虚，仍然与实际有着千丝万缕的联系，比如虚位移必须满足实际的约束条件和连续条件，可以是真实位移的变分，即虚速度。对应的虚力必须满足平衡条件，可以是真实力的变分。虚实结合的最终极目标，还是方便地求解实际的问题，也就是求真实存在的力或是真实产生的位移。

在理论力学中，达朗贝尔原理也称为动静法，它的核心思想是把动力学问题转化为静力学问题，而静力学是利用平衡来求解问题的。为了能够利用平衡来求解问题，需要在刚体上根据刚体所作何种运动，相应地虚拟地加上惯性力和惯性力矩。静力学中构成的平衡力系的都是外界物体对质点的作用力，而惯性力并不是外加的。所以惯性力是一种为了便于解决问题而假设的“虚拟力”[7]。这些虚拟的惯性力和惯性力矩也是实际不存在的，但是需要根据刚体实际的运动合理虚拟地加载在刚体上。惯性力的大小等于刚体的质量乘以质心的加速度，惯性力矩的大小等于刚体的转动惯量乘以角加速度。由此可见，虚拟的惯性力和惯性力矩是与实际运动的加速度和角加速度有关的，利用这些虚拟的参数可以把刚体或刚体系统看作是形式上的平衡，把复杂的动力学问题简单化，求解出实际的动力学问题，不仅虚实结合，也实现了“动”与“静”的相通[7]。

四、仿真软件与力学实验有机融入

材料力学课程有三个基本的实验：拉压、扭转和弯曲。对于弯曲实验，可以把理论、实验和数值分析有机结合，例如对于同一个矩形梁的纯弯曲实验，我们可以用三种不同方法获得不同的结果：理论计算值，虚拟仿真值和实验真实值。通过比较加深对弯曲正应力公式的理解和掌握，同时通过仿真数值模拟加深对应力的分布的直观感性认识[8]。

力学实验也有“虚”“实”两种，可分为虚拟仿真实验和实物实验。虚拟仿真实验，打破传统的实验教学在时间和空间上的限制，充分发挥虚拟实验所具备的低消耗、操作可逆、可完成综合实验等优势。但是，实物实验具有虚拟实验不可替代的地位，因此，需要将虚拟仿真实验与实物实验综合进行[9]。

另外，材料力学中内力和应力是不可见的，而变形和应变是可见的、可以测量的，于是使得通过实验的方法观察变形的规律，从而得到应力的分布规律的这一方法得以应用，虚实结合，依实知虚。

结语

科学的思维方法对于专业课程的学习有重要意义。把科学思维方法融入课程教学，在不影响教学时间和教学质量的前提下，通过具体内容知识点的传授、典型案例的讲解，引导学生，科学思维，不仅可以提高学习的兴趣，还可以提高学生的思维能力和创新能力，为将来的工作和进一步学习打下良好基础。