例析“双新”要求下高中数学教学策略的转变

广东省东莞中学(523005)陈楚云

“双新”(新课程、新教材)要求把对学生素养的培育放在“前端”,注重教学设计,注重学生对知识点的初次接受,给予其充分的探索余地.若脱离了最初的课堂教学之后,为了应试提分而反复拉扯同一知识点,不啻是走回老路,对学生和教师而言往往事倍功半.

比格斯(J.B.biggs)创设的“SOLO 分类理论”对高中数学教学启发意义较大.“SOLO”的中文名是“可视的学习成果的结构”(Structure of the Observed Learnning Outcome).比格斯认为,与其先入为主地评估学生的“总体认知结构”,不如着眼于他解决某一具体问题的能力, 从学习结果加以评估.对于任一具体问题,不同学生展现出的思维层次,或者说学习的层次都是不一样的.大体说来一个完整的学习结果有如下五个层次: (1)前结构层次.学生基本无法理解和解决问题;(2)单点结构层次.学生仅能找到一个解决问题的思路.(3)多点结构层次.学生找到多个解决问题的思路,但这些思路间欠缺整合.(4)关联结构层次.在多个思路之间,进一步发现他们的联系.(5)抽象拓展层次.学生能够从理论的高度概括和分析问题,使问题本身的意义得到拓展.这一理论对数学教学的启发是,倘若在教学设计中尽可能地创设问题解决的情境,并有意识地同时强化问题的基础性和可延展性,让不同层次的学生都能参与其中,那么课堂教学以及学生的课后自主学习有可能事半功倍.本文尝试以“SOLO 分类理论”为切入口,探讨“双新”要求下高中数学教学如何体现新时代立德树人的要求.

1 从“草木皆兵”到“庖丁解牛”: 基于SOLO 理论,拆解学习内容

强调问题导向,不代表忽视宏观知识体系的建构.但是以往教师在理解知识体系时可能会有“草木皆兵”的心态,没有根据学生的思维特点设计问题讲授次序,这就导致学生在初次学习时如坠五里雾中,不得其法.根据SOLO 理论,思维的发展有其客观规律,不能“一口吃成大胖子”.那么“庖丁解牛”的做法便很值得借鉴.正如牛的身体有联系紧密的骨架筋络,数学的知识结构、以及其对应的问题的类型也是一个有机联系体.因此,如何在教学过程中精心设点,让学生得以“小试牛刀”,建立“单点结构层次”,进而通过“一点”牵连到“多点”,最终做到“目无全牛”,是教学设计的重中之重.

例如,在求二次函数的最值课堂教学中,教师给出了如下问题组:

(1)求出下列函数的最值: ①y = (x-1)2+1, ②y =-(x+1)2+1, ③y =(x-4)2+1.

分析: 根据抛物线的图象,学生很快能得出函数的最大或最小值,接着教师又给出第二道题.

(2)求出下列函数的最值: ①y = x2-2x+2, ②y =-x2-2x, ③y =x2-8x+17.

学生掌握了要通过配方才能够求出二次函数的最值,实际上第(2)题与第(1)题的各小题分别都是相同的题目,在这里让学生认识到求二次函数的最值关键是对解析式进行配方,题目在递进中.趁热打铁,教师分别对上面的题目加上限制条件,要求在相应区间求出函数的最值.

(3)求出下列函数的最值: ①y = x2-2x+2,x ∈[2,3]和x ∈[0,3], ②y = -x2- 2x, x ∈[-2,3] 和x ∈[0,3],③y =x2-8x+17,x ∈[5,6]和x ∈[2,6].

给出的区间分别是包括对称轴和不包括对称轴,函数的最值需考虑函数在该区间的单调性,问题更进一步递进.此时,教师并没有停止,而继续给出题目.

(4)求函数y =x2-2ax+a2+2,x ∈[0,3]时的最小值.

(5)求函数y =x2-2x+2,x ∈[t,t+1]的最小值.

第(4)题的特点是“轴变区间定”,第(5)题的特点是“轴定区间变”.上述设计层层递进,每做完一题,适时指出解决这类问题的要点,大大地调动了学生学习的积极性,提高了课堂效率,也遵循学生认知发展的阶段性特点.因此,给出的题目要循序渐进,从基础到中等再到高层次,层层递进,这样才能照顾到学生认知水平的个性差异,使学生有一种“跳一跳,就能摸到”的感觉,使学生的思维活动处于最佳状态.

2 从“纸上谈兵”到“格物致知”: 深挖学科特质,建立教学情境

数学是一门实践的学问.近年来有学者指出要重视科学史的教学.所谓科学史,就是既有知识得以产生的来龙去脉.通过再次“成为发现真理的人”,设身处地地领悟知识创生的情境,学生将知识“据为己有”.对高中数学教学而言,各种定理、法则和解题模式亦自有其来路,或出于解决某一前置问题的需要,或受到某一繁琐思路的刺激而亟需“另辟蹊径”.教师可尝试搭建一个知识创生的情境,从知识的灌输者变为知识创生的引路人,力图使得每一个知识点、每一种解题思路都是学生自主创生的成果而非老师的“给予”.

例如,在高二复习圆锥曲线时,教师在课堂上提出问题:通过前面的学习,能否说出椭圆的定义?

学生A(学力水平低的同学): 在平面内,到两个定点的距离等于定长的点的集合叫椭圆.

学生B(学力水平高的同学): 课本椭圆的定义就这一个,但是我发现课本有三处的轨迹求出后都是椭圆,但是不知它们是否有一般性.如果有一般性,则我们可以把它归纳为: (1)平面内与两定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹;(2)与两定点连线斜率的积为常数;(3)平面内到一定点F 的距离和到定直线l(F 不在l 上)的距离的比是一个常数的点的轨迹.

教师感到“惊讶”,就连其他同学都把“异样”的眼光投向该同学,他们开始议论纷纷,上面的结论是真的吗? 有没有什么限制条件? 三个是相互独立呢还是能够联系在一起? 学生的探究活动就在这样的问题情境下展开了.

学生C(学力水平低的同学): 第一种情况是课本的定义,轨迹是椭圆,不过要注意定长要大于两定点的距离.(教师给予肯定和表扬)

学生D(学力水平中等的同学): 第二种情况只有在常数为负数时才是椭圆.

教师: 请你说说原因.

学生D:我从课本(P35 和P48)中椭圆和双曲线的两个例题归纳出来的.

同学们笑了.显然,学生D 的归纳有一定的道理,但是我们对待知识不能只停留在表面上,一定要掌握它的实质.教师继续让他们探究.

学生E(学力水平中等的同学): 可以建立直角坐标系,设两定点为A、B, 它们所在直线为轴, 它们的中点为原点.可设A(-a,0),B(a,0), 常数为m, 动点P(x,y), 根据题意kPA·kPB= m,代入坐标得= m 化简可得:-mx2+y2= -ma2(x±a),这个方程要表示椭圆(除去椭圆长轴上的两个顶点),只有m ＜0 且m-1.

学生F(学力水平高的同学): 老师, 我还发现当常数为-1 时,轨迹是圆去掉两个点;当m ＞0 时,轨迹是双曲线去掉顶点,常数为零时是一条直线挖掉两个点.

教师: 太棒了! 看看大家还有没有其他发现?

学生G(学力水平高的同学): 对于第三种情况,设定点为原点,定直线x = d,常数为e,则有= e,化简为(1-e2)x2+2e2dx+y2-e2d2=0,当0 ＜e ＜1 时,表示椭圆;当e ＞1 时,表示双曲线;当e=1 时,表示抛物线.

教师: 很好! 三种情况是统一的,它们的联系可从推导椭圆标准方程式子探讨.

学生反响热烈,有茅塞顿开、趣味盎然之感.

学生课堂上最好能有可见可测的学习成果的呈现,比如完成一个回答、一个结论、建构一个内容结构图等.它们最好是思考、探讨的成果,是“创生”的,而不是老师“给”的,而不是哪里“抄”的.上述案例的教学过程全部由一个一个的问题向前推进,学生不是被动地接受,而是沿着问题的线索自主学习、自主探究、自主发现,学生亲历知识形成的全过程,学会了怎样学习、怎样发现问题和解决问题这一程序性知识,而这也是核心素养熏陶的题中之义.

3 从“授人以鱼”到“授人以渔”: 陶冶核心素养,锻炼自主学习

以上两个部分其实主要重在SOLO 理论前三个层次(前结构—单点结构—多点结构)的渐进式熏陶.在教师的隐性期待下,学生通过独立思考而非被动接受达到教学既定目标.更进一步的育人,是在教师的期待之外取得意想不到的突破,从而进入SOLO 理论的后两个层次——自主探索和发覆问题,它是知识学习的必然延伸,也是立德树人的必然要求.那么在这一解决问题的高级阶段,教师应该发挥怎样的作用?具体到高中数学教与学,应要在学生脑海里“种树”.当学生希望“扶摇直上九万里”,探索新的具体问题时,要适时提醒学生不要舍弃“老问题”,反复从根深叶茂的“旧知”中,汲取求索“新知”的养分,不断回到问题的概念层面、联系最基础的知识,作螺旋式上升的循环思考.

例如,在求轨迹方程中,会碰到这几个题目:

(1)已知动圆C 和定圆C1:x2+(y-4)2=64 内切,而和定圆C2:x2+(y+4)2=4 外切,求动圆圆心的轨迹方程;

(2)已知动圆C 和定圆C1:x2+(y-4)2=64 外切,和定圆C2:x2+(y+4)2=4 也外切,求动圆圆心的轨迹方程;(类似可得|PC1|-|PC2|=6,方程是=1(y ＜0)).

(3)若动圆过定点A(0,4)和定圆C2:x2+(y+4)2=4外切,求动圆圆心P 的轨迹方程;(类似可得|PC2|-|PA|=2,方程是=1(y ＜0)).

(4)若动圆过定点A(0,-4)和定圆C2:x2+(y-4)2=100 内切,求动圆圆心P 的轨迹方程;(轨迹方程为椭圆方程

(5)求与圆(x-3)2+y2= 9 外切,且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程;(结果圆心的轨迹是以(3,0)为焦点,开口向右的抛物线)

奥苏伯尔认为: 学生是否能吸取到新的信息与学生认知结构中已有的有关概念和经验有很大关系.因此教师要注重把着力点放在引导学生应用先前学过的知识去探索新知,通过提问、启发、点拨的方法,引导学生认真观察、思考,紧紧抓住新旧知识的连接点,引导学生积极利用新旧知识之间的联系,找出问题的共同点,回到问题的根基.

总而言之,“双新”归根结底是教学理念的更新、教学策略的改变.通过在实践中运用SOLO 理念,教师从灌输者变为引导者,首先在系统理解知识的内在联系后,寻找引导式教学的切入口,牵一发而动全身,为有机的知识讲授铺路;其次应该创设问题解决的情境,让学生在探索之中领悟知识;最后,要在鼓励学生自主探索的同时,引导他们多对问题作理论思考,构建新的数学知识同原有认知结构的联系,进而形成属于自己的知识系谱和问题解决模式,为终身发展奠定良好基础.