掌握数学理性思维,发展学生创新意识*

广东省清远市佛冈县第一中学(511600)李 毅

在著名的《什么是数学》一书中提到:“数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求.创造性的思维不顾某些教条的哲学信仰而继续发展着,而如果思维屈从于这种信仰就会阻碍出现建设性的成就.”培养学生掌握数学理性思维是发展学生创新意识,创新能力的关键.下面将就此进行探讨.

1 训练优化学生思维品质

数学思维的广阔性、灵活性、敏捷性、深刻性、批判性和独创性是数学思维品质的智力特征.这些思维品质的优劣,反映了学生数学理性思维发展水平的高低.训练和优化学生的思维品质,能提高学生的理性思维能力,使学生理性分析和思考数学问题.

例1若关于x 的方程|x2-1|+x2+kx = 0 在区间(0,2)上有两个解,求实数k 的取值范围.

初次接触此类问题的学生,较容易想到通过分类讨论去掉绝对值,然后转化为研究如下两种情形: (I)当x ≤-1 或x ≥1 时,方程2x2+kx-1=0 在区间(0,2)上有两解;(II)当-1 ≤x ≤1 时,方程kx+1 = 0 在区间(0,2)上有两解:对于(I)学生可以写出满足的三个条件:然后利用韦达定理得到这里出现了多处失误,没有考虑前提条件x ≤-1 或x ≥1 的影响,没有考虑充要性,表现出学生思维肤浅而不深刻,且缺乏批判性.

此时教师问学生: 反过来是否成立? 让学生举例说明,使学生认识到错误的根源,从而培养学生思维的深刻性和批判性.然后教师继续发问: 此路不通怎么办? 教师启示学生,从“数”的角度考虑非常困难时,应该转向从“形”上思考,从数和形的两个角度观察事物是理性思维的主要表现.

教师: 函数方程是一家,方程问题可用函数思想去处理,通过构造函数,画出函数图像,可把抽象隐晦的问题转化为形象直观.请同学们尝试探究.

学生1: 当-1 ≤x ≤1 时, 令f(x)= kx+1, 它是过定点(0,1), 斜率变化的线段; 当x ≤-1 或x ≥1 时, 令f(x)=2x2+kx-1,它是对称轴变化的抛物线.

接下来学生就不知所措了.

为了培养学生的批判性思维,以后碰到类似问题能理性分析思考,教师让学生查找原因,通过争论,学生认为将方程左边设为一个函数,图象是运动变化的.这两个运动变化的图象与固定直线x 轴在区间(0,2)上的一段要有两个交点,情况复杂,很难处理.(这两个运动变化的图象称为动曲线.)

教师: 如果转换一下方向,让曲线固定,直线运动变化会如何呢? 我们只考虑如何出现固定曲线.

学生表现出很无奈的神情,教师点拨: 对于(I)将方程左边的三项2x2,kx,-1 任意组合, 能得到什么曲线或直线? 学生写出三组: y = 2x2与y = kx-1 与y =-1,y =2x2-1 与y =-kx.于是学生恍然大悟, 通过移项将方程的项分离到左右两边, 看成两个函数.要满足曲线固定, 直线变化, 学生选取了2x2- 1 = kx 与2x2= kx + 1 两种情况.教师提出: 当-1 ≤x ≤1 时,方程为kx+1=0,又要怎么处理? 学生写出1=-kx,这样便得到x ≤-1 或x ≥1 时,2x2-1=kx;当-1 ≤x ≤1 时,1=-kx,达到和谐统一.固定曲线是分段函数y =变化直线是y =-kx.

解析画出分段函数的图象(图1).因为y = -kx 是过原点斜率变化的直线系, 当直线过点A(1,1)和B(2,7)时,直线与图1 在区间(0,2)上只有一个交点,此时斜率-k =1和在此两直线之间,此直线与图1 在区间(0,2)上有两个交点,故即

图1

问题得到圆满解决,学生松了一口气.此时教师追问,能否将方程2x2+kx-1=0写成2x2= -kx + 1(-1 ≤x ≤ 1)? 学生松弛了的神经又紧张起来, 通过讨论, 学生给出了肯定回答, 将方程1+kx = 0(-1 ≤x ≤1)写成2=-kx+1(-1 ≤x ≤1)同样可以得解.紧接着,教师让学生再思考,能否变出其他什么函数来? 使动直接变得更加简单! 经过一番探究,学生将方程2x2-1 = -kx 写成将1 = -kx 写成得到分段函数y =和运动的常数函数y = -k,画出图2,方程解的情况一目了然,最后,师生一起探讨,求解参数方程的实根分布.

图2

问题的理性分析思考规律: 运用数形结合的思想方法,将其转化为函数图像有公共点问题.在操作过程中,要将方程再加工,使函数图象尽可能熟悉简单,原则上是变出动直线定曲线来.

本例的讲解,通过暴露解题思维过程,由不会到能从多角度思考,寻求通法与优法,训练和优化了学生思维的批判性,深刻性,灵活性,敏捷性,广阔性,让学生掌握了理性思维,发展了创新意识.

2 突破思维定式

数学解题的思维定式是指解题者在解决数学问题的过程中表现出来的思维的定向预备状态,他使人用以比较固定的方式去进行认知或作出反应,并影响着解法的专注性,趋向性,往往走进思维僵化呆板的封闭状态,使解题闯入死胡同.碰到这种情况,教师要引导学生理性分析思考问题,突破思维定式,根据具体情况及时换向,灵活调整思路.

例2设α ∈R,函数,

(1)若x = 2 是函数f(x)的极值点, 求α的值;f(x)=αx3-3x2.

(2)若函数g(x)=f(x)+f′(x),x ∈[0,2]在x=0 处取得最大值,求α 的取值范围.

一接触第(2)小题这类题型, 学生受思维定式的影响,会先求g(x)= f(x)+ f′(x)= αx3- 3(1 - α)x2- 6x的极值, 再与端点处的函数值比较大小, 求得最大值.学生一般会先求导, 然后令g′(x)= 3αx2- 6(1 - α)x -6 = 0, 再讨论α 是否为零? 当α 不为零时, 极值点又出现了含有参数的二次根式, 即可能的极值点x =此路难,难于上珠峰.如何让学生突破思维定式? 教师让学生回忆最大值概念,使学生意识到g(x),x ∈[0 , 2]在x = 0 处取得最大值,则g(0)不小于g(x)在相应区间上的所有函数值,所以g(0)≥g(2),求得可谓是一挥而就,正当学生高兴得意时,教师追问学生:是充分必要条件吗? 学生思维缺乏缜密性,以为求得就万事大吉,没有去考虑充要性.充要性问题是理性思维的重要内容,思维缜密性是理性思维的重要方面,提出充要性问题让学生研究,让学生在探究中掌握理性思维.(具体过程略)

应用概念解题,可以突破思维定式,凸显理性思维的巨大价值,获得简洁新颖的方法,发展学生的创新意识.

3 强化数学辩证思维

辩证思维是理性思维的重要表现,让学生掌握和运用数学思维辩证策略是培养和提高学生理性思维的重要一环.在数学解题的思维过程中,化归与转化的核心就是数学辩证策略的选取和运用.例题讲解要渗透和强化数学辩证思维,使学生在潜移默化中领悟,运用,从而掌握理性思维,发展创新意识.

例3A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:

①对任意的x ∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);

②存在常数L(0 ＜L ＜1), 使得对任意的x1,x2∈[1,2],都有|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1|.

试求解:

(1)设φ(x)∈A, 如果存在x0∈(1,2), 使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的;

(2)设φ(x)∈A, 任xn∈(1,2)取, 令xn+1=φ(2xn),n = 1,2,...,证明: 给定整数k,对任意的正整数P,不等式成立.

这是一道与高等数学紧密相关的考题,它以高等数学的概念,定理为依托融于初等数学中,体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法,难度较大,对学生数学理性思维的要求很高.

第(1)小题中的唯一性(还有存在性、不变形、充要性)问题只是理性思维的主要内容之一.使用正难则反的辩证思维策略,运用反证法是证明唯一性问题的简捷方法.

讲 解设存有两个x0, x0′∈ (1,2), x0x0′, 使得x0= φ(2x0), x0= φ(2x0), 则 由φ(x)∈ A, 有|φ(2x0)-φ(2x0′)|≤L|x0-x0′|,∴|x0-x0′|≤L|x0-x0′|,∴L ≤1,这与0 ＜L ＜1 矛盾,∴这样的x0是唯一的.

本题可以引导学生运用数形迁移的数学辩证思维策略去处理, 培养学生的理性思维, 发展学生的创新能力.教师可将条件|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1| 变形为≤L 后发问: 左边绝对值符号内的形式表示什么? 学生立即回答是直线的斜率.利用斜率推出矛盾,别具一格.

本小题从数和形的角度求解唯一性问题,突显数学理性思维的巨大价值.

对于第(2)小题,学生一看到这么复杂的绝对值不等式的证明,心里就畏惧了,连碰都不想碰.这是培养学生理性思维的好题,下面呈现笔者引导学生探索求解的过程.

教师: 仔细观察条件,你能得到什么有用的结论?

学生1: 由xn+1= φ(2xn)及条件②可得|xn+1-xn|=|φ(2xn)-φ(2xn-1)|≤L|xn-xn-1| (1).

教师: 观察待证不等式,生1 发现的结论(1)有作用吗?如果有,又要怎样运用,才能逼近目标?

学生2: 因为待证不等式的右边是|x2-x1|,因此,要将结论(1)递推至|x2-x1|.

如|xn- xn-1|=|φ(2xn-1)- φ(2xn-2)|≤L|xn-1-xn-2|...

师: 结论(1)的实质是什么?

学生: 后面相邻两项差的绝对值与其前面相邻的两项差的绝对值的不等关系.

师: 再观察待证式,你认为要怎样处理才能实现目标?

学生3: 因为结论(1)绝对值内的项数仅差一项,而待证式左边的绝对值内的项数相差P 项,所以要将P 项分拆为相邻两项.

问题的解决于是水到渠成.

以上的探索过程采用了倒顺相通的辩证思维,分析综合的方法;拆项是分合相辅的数学辩证思维策略.正确选择和运用辩证思维,使貌似很难的问题迎刃而解.

讲解

例1 运用了数形迁移,引参求变(构造函数)的数学辩证思维;例2 运用了以简驭繁的数学辩证思维;例3 运用了正难则反、倒顺想通、数形迁移、分合相辅的数学辩证思维.除此之外,常用的数学思维辩证策略还有进退互用、化生为熟、动静转换、以美启真等.在解题过程中,它们相互渗透交融,有时呈现出交错混合的有机结合状态.解题时,数学思维辩证策略的正确选择,正是数学理性思维的具体反映.掌握数学理性思维对促进学生深度学习,提升学生创新意识和创新能力是十分有效的.