量子纠缠之路：从爱因斯坦到2022年诺贝尔物理学奖

2022-12-22 04:12施郁

自然杂志 2022年6期

施郁

复旦大学物理学系，上海 200433

2022年诺贝尔物理学奖授予阿兰·阿斯佩(Alain Aspect)、约翰·克劳泽(John F. Clauser)和蔡林格(Anton Zeilinger)，奖励他们通过纠缠光子的实验，验证了贝尔不等式的违反，也开创了量子信息科学[1]。阿兰·阿斯佩是法国巴黎-萨克雷大学(Paris-Saclay University)光学研究所研究生院(Institut d'optique Graduate School)以及巴黎综合理工学院(École Polytechnique)教授，克劳泽在克劳泽与伙伴(J. F. Clauser and Associates)公司，蔡林格是维也纳大学教授。他们的开创性实验使量子纠缠成为“有力的工具”，为量子科技的新纪元打下基础。这代表了量子革命的新阶段[2]，或者说是第二次量子革命[3]。

整整100年前的1922年，爱因斯坦在上海收到通知，他获得1921年的诺贝尔物理学奖(1921年该奖项曾空缺)[4]。诺贝尔奖的颁奖词是：“奖励他对理论物理的贡献，特别是他做出的光电效应定律的发现。”[5]作为光量子假说的应用，“光电效应定律”是他1905年光量子论文的一部分[6]。

爱因斯坦说过：“我思考量子问题的时间是相对论的一百倍。”[7]获得2022年诺贝尔物理学奖的量子纠缠研究是由爱因斯坦在1935年开创的[8]。本文解读2022年诺贝尔物理学奖的成就，并梳理贝尔不等式研究的主要概念和里程碑。我们强调是爱因斯坦开创了量子纠缠之路，这个伟大成绩是第一位的。

1 量子力学、量子态与光子偏振

量子纠缠是量子力学中的一个概念。量子力学是电子、光子、原子核等微观粒子所服从的基本物理规律，而宏观物体通常服从经典物理。

量子力学起源于20世纪初。自20世纪20年代以来，量子力学成为整个微观物理学的基本理论框架，并且取得巨大的成功。在量子力学之前已经建立的物理学框架被称作经典物理。量子力学的数学工具并不比经典物理的更复杂，但是量子力学的概念框架却与之截然不同。玻尔说：“没被量子理论震撼就没懂。”在人类思想史上，量子力学改变了实在观，是最重大的革命之一。

量子力学的中心概念是量子态[9]。顾名思义，“量子态”即“量子状态”。量子态并不是像质量、速度那样的物理量，而是一个类似概率那样的描述，从它可以计算出概率分布，但是又比概率的信息更多。通过量子态，可以计算出很多物理性质。当测量量子系统的某个属性时，量子态就以一定的概率(原来的量子态决定这个概率大小)随机变为明确具有这个属性的量子态之一。所以量子态包含了各种可能性。

比如，量子粒子在空间中的运动由一个量子态描述。它可以确定处于一个位置，也就是说，它的空间量子态代表它处于某个确定位置，叫作位置本征态。但是一般来说，描述空间运动的量子态是不同的位置本征态的叠加。也就是说，测量它的位置时，有一定的概率得到各种位置，从而量子态塌缩为相应的位置本征态。这个概率等于“位置波函数”的大小的平方。

用数学符号表示，空间量子态可以写成

量子粒子也可以具有确定的动量，这时的量子态是动量本征态。一般情况下，描述空间运动的量子态，同一个｜ψ〉，也可以看成不同的动量本征态的叠加。因此，测量动量时有一定的概率得到各种动量，从而量子态塌缩为相应的动量本征态。这个概率等于“动量波函数”大小的平方。

用数学符号表示：

其中｜p〉是动量本征态，对p积分代表动量本征态的叠加，φ ( p)是动量波函数，｜φ ( p)｜2是测量动量得到p的概率。

用来叠加出原来的量子态｜ψ〉的一套量子态叫作基矢态，统称基。采取测量哪个物理量(位置或动量)的测量方式，测量之后就得到哪个物理量的某个本征态。

再比如，光有个内部性质叫偏振，代表了电场振动方向，总是位于与光的传播方向垂直的平面上。在此平面中，我们总可以任意建立一个直角坐标系，用从原点出发的单位长度的箭头(叫作矢量)代表偏振，箭头末端的坐标就确定了偏振方向。偏振太阳镜只允许太阳光中偏振方向与镜片透光轴一致的线偏振光通过。

光是由光量子组成的(这是爱因斯坦在1905年提出的，如上所述，他获得诺贝尔奖的工作就是这个假说的应用)。光量子后来也被称为光子。作为一种量子粒子，每个光子有一个偏振量子态，对应于宏观的光偏振。任意两个互相正交的方向(比如沿着两个位置轴)所对应的线偏振量子态也是互相正交的，由它们可以叠加成任何偏振量子态。

当一个光子到达一个透光方向沿着某方向的偏振片，光子要么完全穿透，要么完全不能穿透，而且是随机的。穿透的概率就是它原来的偏振量子态在透光方向的分量大小的平方，穿透后，光子偏振量子态就“塌缩”成沿着透光方向的态。如果光子没有穿透，那么偏振量子态就“塌缩”成垂直于偏振片透光方向的态，被吸收。后者的概率是1减去前者。当然，光子原来的偏振方向也可能正好沿着偏振片透光方向，在此特殊情况下偏振量子态不发生变化。

偏振分束器(PBS)不存在偏振片的光子吸收问题。它利用双折射效应，将入射偏振态分解为互相正交的两个线偏振态，而且分别沿互相垂直的两个方向出射。将一个双折射立方体晶体沿着对角面切开，得到半立方体，再将两个这样的半立方体拼回立方体(接触面涂上合适的介电涂层)，得到偏振分束器。光垂直入射后，分成正常光和反常光。正常光偏振垂直于晶体光轴方向(当然也垂直于光传播方向)，穿透过对角面，再沿原来的传播方向离开偏振分束器；反常光偏振方向垂直于正常光的偏振方向(当然也垂直于自己的传播方向)，在对角面反射，所以传播方向改为垂直于原来方向离开偏振分束器。

单个光子垂直进入偏振分束器后，随机地从两个可能的出口出来。如果是沿着原来的运动方向，那么偏振方向垂直于原来的运动方向，而且平行于两个拼接的半立方体的接触面；如果垂直于原来的运动方向，那么偏振方向就沿着原来的运动方向。

比如我们可以以水平和竖直方向的偏振态｜→〉和｜↑〉作为基矢态，也可以以45°和135°方向的偏振态｜↗〉和｜↖〉作为基矢态，即

其中θ是相对于水平方向的角度，θ'是相对于45°方向的角度。我们也可以以圆偏振态｜±〉作为基矢态。相对于运动方向，｜+〉是右旋，｜-〉是左旋。也有个说法，它们的螺旋度分别是1和-1。可以得到

光子偏振与宏观电磁波的偏振既不一样，又有联系。大量处于同样偏振态的光子到达偏振片后，它们穿透偏振片的比例就是单个光子穿透的概率。所以宏观电磁波到达偏振片后，一部分沿着透光方向穿透过去。比如，如果偏振态由(3)式给出，透光方向沿水平方向，那么穿透光强与入射光强之比就是cos2(θ)。这叫马吕斯定律。相应地，单个光子的穿透概率也是cos2(θ)。方便起见，这也可以叫马吕斯定律。能量占原电磁波能量的比例(正比于电场大小平方之比)就是单个光子穿透的概率。本次诺贝尔物理学奖的获奖工作都使用光子偏振。

2 量子纠缠与爱因斯坦

量子纠缠是复合系统的量子态的一种性质。复合系统是指由若干子系统构成的系统。如果至少有一个子系统没有独立量子态(严格来说，这里所谓的独立量子态指量子纯态，即它不包含经典概率意义上的混合)，那么就说这个子系统与其他子系统之间存在量子纠缠，这个量子态叫作量子纠缠态。也就是说，量子纠缠是由两个或两个以上子系统构成的整体的量子态性质，这个量子态叫作量子纠缠态。在数学和量子理论形式上，量子纠缠的概念很清楚。事实上，绝大多数量子态都是纠缠的。

最早对量子纠缠的研究是在1935年5月，由爱因斯坦以及两位年轻同事波多尔斯基(Boris Podolsky)和罗森(Nathan Rosen)进行的讨论[8]。他们没有使用“量子纠缠”这个名词，但是发现量子纠缠是一个有特别涵义的性质。事实上，量子纠缠也被称为爱因斯坦-波多尔斯基-罗森(EPR)关联。

爱因斯坦是量子力学的先驱，但是对量子力学的概率性框架不满意，提出过很多质疑。逐渐地，他的质疑聚焦于量子力学的完备性。也就是说，他认为客观实在的某些元素可能在量子力学没有描述。而他的理论武器就是量子纠缠。

EPR考虑一对粒子从同一源出发，向相反方向运动，保持总动量为0，离源距离相同，也就是位移相反。这里我给出一个简单形式，将源的位置设为0，将两个粒子的量子态表示为

L代表某个空间范围。

这对粒子的动量和位置有很多可能性，测量第一个粒子，等概率随机得到一个x值，可以立即预测第二个粒子的位置这时肯定是-x。而这个量子态｜ψ〉也可以写成

因此如果测量第一个粒子的动量得到一个p值，那么就可以立即预测第二个粒子的动量肯定是-p。

EPR说，离开源后，这两个粒子再也没有相互作用，因此对第一个粒子的测量不可能改变第二个粒子。上面的论证说明，第二个粒子在不被干扰的情况下，位置和动量都可以确定地预测，因此它们都是第二个粒子的固有属性，都是客观实在的元素。

以上论证基于假设量子力学的描述是完备的，推导出位置和动量同时是客观实在的元素。但是量子力学中，位置和动量算符不对易，不可能同时有明确的值，所以不可能都是客观实在的元素，因此有矛盾。据此，EPR认为量子力学不完备。

EPR也预见到一种反对意见，就是有人可能提出，两个或多个物理量只有可以同时测量或预测时，才能说它们同时是客观实在元素。而位置和动量不是同时测量的，这个情况现在称为反事实 (counterfactual)。但是EPR认为这不合理。

EPR论文的标题是《物理实在的量子力学描述能被认为是完备的吗？》，摘要是：

“在一个完备的理论中，对应于每个客观实在的元素，都有一个理论元素。物理量实在性的一个充分条件是在系统不受扰动的情况下，这个物理量能被确定预言。量子力学中，由非对易算符描写的两个物理量的情况里，一个物理量的知识排斥另一个。所以要么①量子力学中的波函数所给出的实在的描述是不完备的，要么②这两个物理量不能同时具有实在性。考虑基于对某个系统的测量，对曾经与之作用过的另一个系统做出确定预言，导致的结果是，如果①是错的，那么②也是错的。因此结论是，波函数对实在的描述是不完备的。”

需要注意的是，测量第一个粒子后，只有测量者可以对第二个粒子作出预言，控制第二个粒子的人是不知道的，除非第一个粒子的测量者将信息传递给他，而这个信息传递是受到相对论等物理定律制约的。这一点在讨论量子信息时尤为重要。

3 早期的后续工作与偏振版本

EPR的工作引起薛定谔的巨大兴趣，他与爱因斯坦有多次书信讨论，并于1935年发表了几篇论文。其中一篇《关于分离系统的概率关系的讨论》中写道[10]：

“对于两个系统，我们通过它们各自的表示，知道它们的状态。当它们进入由它们之间已知力所导致的暂时的物理相互作用，经过一段时间相互影响之后，两个系统再分离，那么它们再也不能按照以前的方式，用各自的表示来描述。我不将此情况称作量子力学的一个特征，而称作特征(没有之一)，它导致与经典思路的完全背离。通过相互作用，这两个表示(或者ψ-函数)纠缠起来。”

薛定谔在另一篇文章里还讨论了后来变得很著名的“薛定谔猫”佯谬，基于原子核衰变与否与猫的死活之间的量子纠缠[11]。

同年10月，玻尔用他的互补原理也对EPR作了回应[12]。互补原理是说，测量两个不对易的物理量，需要不同的测量仪器。玻尔认为，因为物体与测量仪器的相互作用，物体对测量仪器的反作用无法控制，经典因果律要抛弃；而对于EPR讨论的情况，不确定关系和互补原理依然适用，互补原理使得量子力学描述满足所有合理的完备性要求。玻尔特别指出，EPR的客观实在判据中，“对系统没有扰动”一说含义模糊。他说，虽然对一个粒子的测量对于另一个粒子没有力学相互作用，但还是对相应物理量赖以定义的情况有本质的影响。

可见，爱因斯坦试图进行更深层次的讨论，揭示了量子纠缠与局域实在论(即局域性和实在论共同成立)的冲突。局域性是指，如果两个事件的空间距离大于光速乘以时间间隔，即所谓类空间隔，那么这两个事件不可能有因果关联，这是狭义相对论的要求。实在论是指，观测量在被观测之前就已经确定了，与测量无关。EPR提出，基于对第一个粒子的测量，对第二个粒子没有扰动而确定预言的物理量是一个客观实在的元素。这与量子力学冲突。

所以量子纠缠的研究应该溯源归功于爱因斯坦。虽然后来实验上否定了局域实在论，但是爱因斯坦开辟了这个研究领域。量子纠缠研究最大的功臣就是爱因斯坦，正如他在别处所说，提出问题往往比解决问题更重要。

玻尔坚持，量子力学就是理论的一切，认为客观实在就是这样，而无视局域性和实在性的概念。他的意思是，测量第一个粒子时，虽然对第二个粒子没有物理作用，但是第二个粒子依然受到影响。这只是复述量子力学的规则，没有回答EPR的质疑。很多物理学家根据玻尔的结论，以为问题已经解决，而不去深究里面的细节。

今天人们将这两个纠缠态与另外两个纠缠态

统称为贝尔态。在此4个态组成的基上的测量叫作贝尔测量。

对于光子偏振态，考虑一个纠缠态例子：

如果测量第一个光子偏振，看它是水平｜→〉还是竖直｜↑〉，那么结果当然是二者之一。如果第一个光子偏振被测到是水平，就可以预言第二个光子的偏振量子态也塌缩为水平；如果第一个光子偏振被测到是竖直，就可以预言第二个光子的偏振量子态也塌缩为竖直。如果测量第一个光子是｜↗ 〉还是｜↖〉，或者测量是｜+〉还是｜-〉，情况也类似。

偏振是内部性质，与空间距离无关，因此两个纠缠的光子是可能相距很远的。但是相距很远意味着在分开的过程中，更容易受到外界扰动，所以纠缠也更容易受到破坏。

我们再用这个纠缠态给出EPR论证的偏振版本。测量第一个光子的偏振是水平还是竖直。如果测到是水平(竖直)，可以明确(100%概率)预言另一个光子的偏振也是水平(竖直)。因为两个光子相距类空距离(没有物理信号传递)，对一个光子的测量不会影响到第二个光子。因此第二个光子的水平-竖直偏振性质是一个客观实在元素(事先就确定了)。

类似地，测量第一个光子的偏振是45°还是135°。如果测到是45°(135°)，可以明确(100%概率)预言另一个光子的偏振是135°(45°)。因为两个光子相距类空距离(没有物理信号传递)，对一个光子的测量不会影响到第二个光子。因此第二个光子的45°-135°偏振性质是一个客观实在元素(事先就确定了)。

而在量子力学中，光子偏振量子态是水平或竖直时，测量到45°或135°都有可能，反过来也如此(相应的算符不对易，不能同时有确定的值)。因此水平-竖直和45°-135°这两对性质不能同时是客观实在元素。所以参照EPR的论证，局域实在论与量子力学完备性矛盾。EPR认为局域实在论是无可动摇的，所以量子力学不完备。

1957年，玻姆和阿哈罗洛夫(Aharonov)指出[14]，1950年吴健雄和萨克诺夫(Shaknov)实现了光子偏振关联(Bohm-Aharonov不用“纠缠”一词)[15]。吴健雄和萨克诺夫测量正负电子湮灭产生的光子对的康普顿散射，准确验证了量子电动力学。正负电子湮灭产生2个光子，偏振总是正交，分别被电子散射。对于不同散射角，测量这2个光子运动方向垂直和平行两种情况下，符合概率的非对称性，也就是这两种情况的概率的差别。吴健雄与萨克诺夫的γ探测器敏感度是前人的10倍，测到非对称性是，非常符合理论值2.00。

4 局域实在论与贝尔不等式

EPR认为，量子力学不完备。意思是，除了量子力学中的量子态之外，物理系统还存在额外的变量，可以刻画系统的准确状态。这些额外的变量叫作隐变量，它们代表了所谓的实在论。如果一个代替量子力学的理论包含隐变量，它就叫作隐变量理论。如果这个理论还满足局域性，就叫局域隐变量理论，或者局域实在论。

1931年，冯·诺伊曼(von Neumann)就在数学上证明过隐变量不存在[16]。20世纪50～60年代有一些关于隐变量理论的讨论，特别是玻姆的一系列工作。1964年(1966发表)，贝尔(John Bell)指出，冯·诺伊曼的证明并不成立[17]。

1964年，贝尔又提出，局域实在论与量子力学是矛盾的。他发表了一个不等式，是局域隐变量理论都应该满足的不等式[18]。后来所有这一类的不等式都叫贝尔不等式，是关于两个子系统的测量结果的关联，每个子系统由一个局域的观察者对之进行测量。用局域隐变量理论计算各种测量结果的关联，其结果满足贝尔不等式。而在量子力学中，如果这两个子系统用某些量子纠缠态描述，那么根据量子力学计算的结果是违反贝尔不等式的。

量子力学基本问题曾被视为“只是哲学”，贝尔不等式证明这是有理论有实验的物理，将原来带有形而上学味道的讨论转变为可以用实验定量决定的判定，将哲学问题转化为定量的科学问题。

检验大自然是否满足贝尔不等式的实验叫作贝尔测试。进行贝尔测试需要使用分居两地又处于量子纠缠态的子系统，也需要迅速高效的探测，以及事先不可预测地对于每个测量装置的独立安排。所有有关贝尔不等式违反(或称贝尔定理)的工作都是在贝尔的开创性工作基础之上进行的。

实验判定量子力学胜利，局域实在论失败。但是长期以来，实验判定上存在逻辑漏洞或额外假设，直到近年来才消除。贝尔不等式的提出和验证又与量子信息学的兴起密切相关，包括概念和实验技术。荣获2022年诺贝尔物理学奖的工作就是对这两方面的重大贡献。

5 Bell-CHSH不等式与实验

5.1 CHSH不等式

贝尔最初的不等式具体形式所依赖的假设过于理想化，比如严格关联，无法在实际实验中核实，因此不适合真实的实验。1969年，克劳泽(John Clauser)、Michael Horn、Abner Shimony和Richard Holt推广了贝尔的不等式，通常称为CHSH或者Bell-CHSH不等式[19]，使其更适合实际情况，可以在现实的实验中检验。

延续上面我们对贝尔不等式的讨论。考虑A(a,λ)[B(b,λ)+ B(b',λ)]+ A(a',λ)[B(b,λ)-B(b',λ)]，它肯定等于±2，因为B(b,λ)+B(b',λ)与B(b,λ)-B(b',λ)中必然有一个等于±1，一个等于0。由此得到S=P(a,b)+P(a,b')+P(a',b)-P(a',b') 满足-2≤S≤2。

因此只要有局域实在性，Bell-CHSH不等式即可成立，而且可以在实验上检验。量子力学违反它，所以量子力学与局域实在论哪个正确，就要看哪个与实验符合。

另外，1989年，塞林格曾经与丹尼尔·格林伯格(Daniel Greenberg)和迈克尔·霍恩(Michael Horne)发现一种三粒子量子纠缠态具有特别的性质，不需要统计平均，就与局域实在论存在冲突[20]。

5.2 弗里德曼-克劳泽(Freedman-Clauser)实验

克劳泽当时是分子天体物理专业博士生。1970年获博士学位后，他来到加州大学伯克利分校，成为查尔斯·汤斯(Charles Townes)的博士后，被允许自主研究贝尔不等式。在伯克利，1967年，尤金·康明斯(Eugene Commins)的学生卡尔·考克尔(Carl Kocher)的博士论文工作是研究来自同一个原子源的光子对的时间关联[21]。

克劳泽和尤金·康明斯的博士生弗里德曼(Freedman)改造了这个实验装置，改进了偏振片的效率。这个系统中，CHSH不等式给出

其中R0是没有偏振片时的符合率。

克劳泽和弗里德曼得到的实验中，上式左边是0.050±0.008，违反贝尔不等式，精度是有6个标准偏差[22]。

这个初步的实验尝试有漏洞和局限。因为产生和探测粒子的效率低，测量也是事先设置好，所以在逻辑上，有可能隐变量使得对粒子的探测有选择性，从而导致贝尔不等式的违反，而且不满足局域性要求。

局域性是贝尔不等式的一个关键前提假设。相互分离的两个子系统的测量必须相互独立，包括选择做哪种测量，比如位置还是动量，横向的磁矩还是纵向的磁矩(磁矩正比于自旋)，或者偏振片的透光方向。因此必须保证二者的测量时间差足够小，以至于不可能有物理信号从一方传到另一方。因为所有的信号速度不超过光速，实验上必须保证双方测量的时间差小于距离除以光速。弗里德曼-克劳泽实验的固定设置不满足局域性要求。

5.3 阿斯佩实验

1981—1982年，阿斯佩(Alain Aspect)与合作者Phillipe Grangier、Gerard Roger和Jean Dalibard做了3个实验，以高精度观察到了对Bell-CHSH不等式的违反，在很大程度上实现局域性。

在第一个实验中[23]，在发生级联过程前，通过两套激光，用双光子吸收直接将电子激发到61S0，这比以前通过61P1有效得多。

在第二个实验中[24]，用双通道偏振片进行测量，得到很好的统计和很大的对贝尔不等式的违反，精度是几十个标准偏差。

第三个实验最重要[25]。从钙原子到偏振片距离6 m，光子飞行只有20 ns，在光子飞行过程中旋转偏振片是来不及的。他们用了阿斯佩早些年设计的巧妙方法[26]。一对光子在到达一对偏振片之前，经过一个声光开关，被导向两对偏振片中的一对。声光开关每10 ns切换一次。所使用的CHSH不等式给出-1≤S≤0，量子力学给出0.112。

实验得到0.101±0.020，与量子力学一致，违反不等式。精度是5个标准偏差。

这些实验以及后来的很多贝尔测试实验都判定量子力学胜利，局域实在论失败，但是这些工作中仍然存在技术性的逻辑漏洞，如在探测器效率或局域性上。在阿斯佩的第三个实验中，两个仪器之间距离很短，由于技术的局限性，测量装置的改变不是随机的，而是周期性的，因此没有关闭局域性漏洞。

5.4 1997年塞林格组补上局域性漏洞

1997年，塞林格研究组的实验终于补上了局域性漏洞[27]。在他们的实验中，分析纠缠光子对的装置相距400 m，以光速飞行，需要光1 300 ns。纠缠光子对通过光纤传到偏振片。每个光子的偏振分析装置的方向快速随机改变，用随机数产生器控制，用原子钟计时。

在这个实验中各种技术改进很多。值得指出，这里用第2类参量下转换(type-II parametric down conversion)方法产生纠缠光子对。这是一个非线性光学过程，用偏硼酸钡(β-BBO)晶体实现。β-BBO晶体是由中国科学院福建物质结构研究所首次发现和研制的紫外倍频晶体。此前塞林格组与史砚华的一个合作工作中，用了这个产生纠缠对的方法[28]。这个方法最早由欧泽宇和L.Mandel，以及史砚华和C. O. Alley于20世纪80年代提出[29-30]。

5.5 后续工作

在关于贝尔不等式的实验中，还长期存在“探测漏洞”。因为被探测到的纠缠粒子只是最初产生的纠缠对中的一部分，有多少被探测到与实验装置有关。在公平取样的前提下，实验上得到的统计分析可以用来检验贝尔不等式。但是如果探测效率不够高，就可能做不到公平取样。这就是探测漏洞。要补上探测漏洞，保证公平取样，必须满足这样的条件：当一边测量到光子时，另一边也探测到光子的概率大于2/3[31]。2001年和2008年研究人员在离子实验中补上了探测漏洞[32-33]。2013年，塞林格组[34]和Kwiat组[35]在光子实验中也补上探测漏洞。

2015年，有几个实验都同时补上局域性漏洞和探测漏洞。塞林格组[36]和美国国家标准与技术研究院(NIST)的Shalm组[37]都用了可以快速改变的偏振片和高效率的光子探测器。代尔夫特(Delft)理工大学的Hensen组用两对电子-光子对[38]，测量两个光子，使得两个电子纠缠。2017年，Weinfurter用相距398 m的纠缠原子也同时补上这两个漏洞[39]。

下面介绍“自由选择漏洞”。贝尔不等式是关于两个子系统的各种测量结果之间的关联，涉及测量装置的几种不同设置，比如测量的方向。这在贝尔不等式的推导中是完全自由的，与隐变量无关。

在贝尔测试中，需要自由随机选择这几个不同设置。即使局域性漏洞和探测漏洞补上了，在实验中是由仪器来随机选择实验装置的安排。但是这并不理想，因为万一这些仪器所作的选择本身就是由隐变量决定的呢。这叫作“自由选择漏洞”。贝尔曾提出可以用人的自由选择来保证实验装置的安排的不可预测性，但是当时的技术做不到。

2016年11月30日，一个叫作“大贝尔测试”(The Big Bell Test)的实验项目就是这样的实验，补上了这个“自由选择漏洞”。实验中所作的选择都是来自全球各地的约10万个志愿者。12 h内，这些志愿者通过一个网络游戏“the BIG Bell Quest”，每秒产生1000比特数据，总共产生了97 347 490比特数据。参加游戏的志愿者被要求在一定时间内输入一定的随机比特0或1，被用于对实验中所作选择的指令。有个机器学习算法会根据已输入的比特，提醒志愿者避免可预测性，但是对产生的数据不作选择。

全球五个洲的12个实验室在12 h内做了13个贝尔实验。这些实验用10万名志愿者无规律提供的这些数据来安排测量装置，不同的实验采用不同的数据。在不同系统的贝尔测试结果表明了局域实在论在这些系统中被违反，其中一个是潘建伟教授领导的光子偏振实验。

2018年5月9日，Nature杂志以“用人的选择挑战局域实在论”为题，发表了这13个贝尔实验的结果[40-41]，显示局域实在论在有光子、单原子、原子系综与超导器件等系统中被违反。这一工作代表了对量子力学基本理论的检验又前进了一步。

最后提一下，既然局域实在论与量子力学冲突，那么矛盾的源泉来自哪里，局域论还是实在论？为研究这个问题，莱格特(Leggett)考虑一种“加密非局域实在论”：作为非局域性，对于确定的偏振方向，被测量量既依赖测量偏振片方向，也依赖于另一边的偏振片方向。但是物理态是各种偏振方向的统计平均，服从局域规律，如马吕斯定律。对此，莱格特导出莱格特不等式，被量子力学违反[42]。最近我们提出一个推广的莱格特不等式，特别适用于粒子物理中的纠缠介子，被量子力学和粒子物理违反[43]。

6 量子纠缠是量子信息中的资源

随着量子物理以及相关技术的发展，特别是量子力学基本问题的研究，量子信息科学逐步兴起。其中，贝尔不等式和量子纠缠的研究起了重要作用，演示了量子纠缠的重要性。量子纠缠已经成为量子信息处理的资源[9,44-46]。例如，利用量子纠缠可以实现量子隐形传态。

基于量子力学的线性叠加原理，量子信息科学中的一个基本定理叫作“量子态不可复制”：不可能存在一个基于量子力学演化的机器，它能够复制任意的未知的量子态[47-48]。如果有这样的机器，它是一个演化算符U，复制过程是|ψ〉|φ〉|M〉→|ψ〉|ψ〉|M'〉，|ψ〉是被复制的态，|φ〉代表复制前的复本空白状态，|M〉和|M'〉以及下文的|M''〉和|M'''〉代表机器的量子态。同理，对于另一个被复制的态|ψ'〉，复制过程是|ψ'〉|φ〉|M〉→|ψ'〉|ψ'〉|M''〉。对于α|ψ〉+β|ψ'〉，复制过程应该是(α|ψ〉+β|ψ'〉)|φ〉|M〉→(α|ψ〉+β|ψ'〉)(α|ψ〉+β|ψ'〉)|M'''〉，但是量子力学的原理导致(α|ψ〉+β|ψ'〉)|φ〉|M〉=α|ψ〉|φ〉|M〉+β|ψ'〉|φ〉|M〉→α|ψ〉|ψ〉|M'〉+β|ψ'〉|ψ'〉|M''〉，与期望的复制过程不同。因此不存在复制机器。

因此，如果一个任意量子态从一个载体，经过某个过程转移到另一个载体上，那么原来的载体上的量子态就肯定改变了。这体现于量子隐形传态中。

1993年Bennett、Brassard、Crèpeau、Jozsa、Peres和Wootters提出量子隐形传态方案，借助量子纠缠和经典通信，将未知量子态从第一个粒子传到远方的第二个粒子上[49]。第三个粒子与第一个粒子处于同一地点，但是与第二个粒子纠缠，处于某个贝尔态，不失一般性，可以用|ψ+〉表示。将第一个粒子的态记作|γ〉。3个粒子的量子态是

其中X和Z都是某种操作，而且逆操作是它们自己。

Alice控制第一个和第三个粒子，对它们进行以贝尔纠缠态为基的测量(叫作贝尔测量)，并将测量结果以经典通信通知控制第二个粒子的Bob，后者对第二个粒子采取相应操作。

粒子本身没有被传送，是量子态被传送，而该量子态原来的载体(第一个粒子)则改变了量子态，事实上变成与第二个粒子处于一个纠缠态，而且经典通信起了重要作用。这样，虽然Alice和Bob不知道|γ〉是什么，但是从第一个粒子传到了第二个粒子。注意，一个关键的步骤是甲将测量结果通知乙，否则是不可能实现的。妙处是甲和乙都不知道被传的状态，而且粒子本身没有传送。

量子纠缠和量子隐形传态都不可能瞬间传递信息。如果Alice不将测量结果通知Bob，后者是观测不到第二个粒子的任何变化的，观测结果与塌缩前的量子态也是完全融洽的(因为有随机性)。因此这里没有超光速信号的传输，量子纠缠并不违反相对论。对相对论的遵守也体现在量子隐形传态中，Alice必须将测量结果告诉Bob。事实上，任何信号传输都不能超过光速。

1997年，塞林格组[50]和De Martini组[51]分别在实验上实现了量子隐形传态。

正如量子隐形传态的最初理论文章中也提到的，量子隐形传态可以推广如下：粒子1和2处于一个贝尔纠缠态，粒子3和4处于另一个同样的贝尔纠缠态。粒子2和3一起被做贝尔测量，结果粒子1和4就会处于一个纠缠态，虽然它们没有相遇。这可以从下式看出：

塞林格参与的一个理论工作将之称为纠缠交换，并指出这可以用于检测纠缠对的产生[52]。1998年，塞林格组在实验上实现了纠缠交换[53]。中国学者潘建伟作为研究组成员参加了量子隐形传态和纠缠交换实验。

量子技术的一个重要目标是实现长距离的量子纠缠。其中一个技术途径是用光纤，但是光有衰减，所以需要中继，然而量子态不能被复制，因此与经典中继器不同。

一个方法是借助卫星，因为大气以上的自由空间中，光衰减很小。中国的潘建伟研究团队用2016年发射的墨子号卫星实现了这个方案，实现了北京附近的兴隆与乌鲁木齐附近的南山之间(相距1 200 km)的BB84方案(Bennett和Brassard1984年的方案，不需要量子纠缠[54])的密钥分发[55]。不用卫星，但是作为卫星工作的技术准备，他们在青海湖附近实现了约100 km距离的量子纠缠、量子隐形传态和Bell-CHSH不等式违反(S=2.51±0.21，无局域性漏洞)[56]。然后用卫星，又将纠缠光子分发到青海的德令哈和云南的丽江之间(相距1 203 km)，观察到双光子纠缠以及Bell-CHSH不等式违反(S=2.37±0.09，无局域性漏洞)[57]。后来，又与塞林格组合作，实现了在中国与奥地利之间的密钥分配(无量子纠缠)[58]。卫星还有望取得进一步成就[59]。

另一个途径是所谓量子中继器，基于纠缠交换，通过多个节点实现长程纠缠。除了有效的纠缠交换，还需要好的量子存储，因为在一方的许多次纠缠交换过程中，另一方必须保持量子态不变。这些技术结合起来，可以导致全球量子网络的建立。

1991年，Artur Ekert提出一种基于量子纠缠态的量子密钥分配方案[60]——这叫Ekert91方案。Alice和Bob共享来自一个独立源的处于|ψ_〉的纠缠量子比特(自旋、光子偏振或者其他载体)。他们分别随机在3个方向(a1, a2, a3) 和(b1, b2, b3)测量所拥有的量子比特。(a1, a2, a3)分别是90°、135°、180°方向，(b1, b2, b3)分别是135°、180°、225°方向。a1、a3、b1、b3方向的测量结果(可以公开)用来检验贝尔不等式。通过检验贝尔不等式是否违反，可以发现通道是否安全可靠、没有窃听。然后可以用a2和a3，也就是b1和b2方向的完美反关联的测量结果生成密钥。2006年，塞林格组以144 km距离，实现了这个方案[61]。他们检验CHSH不等式的S是2.508±0.037，表明贝尔不等式的违反达到13个标准偏差。2022年，3个组用没有漏洞的贝尔测试，实现了这个方案[62-64]。

作为密钥方案，也可以不检验贝尔不等式，而是独立去测量X或Z算符，结果应该是反关联的[65]。然后类似BB84方案，用一些结果作错误率分析，检验有无窃听。如果没有窃听，就可以生成密钥。这叫BBM92方案。2020年，墨子卫星将纠缠光子分发到德令哈和南山(相距1 120 km)，实现了Ekert91和BBM92方案，而且违反Bell-CHSH不等式的S是2.56±0.07，达到8个标准偏差[66]。2022年，墨子卫星将纠缠光子对分发到德林哈和丽江(相距1 200 km），然后在两个地面站之间实现了量子隐形传态[67]。

多个粒子的量子纠缠是实现量子计算的基础，而且也是理解多体量子态的重要概念。

7 结束语

爱因斯坦揭示了量子力学与局域实在论的冲突，贝尔将其定量化，CHSH将其推广用于实际实验。为了检验贝尔不等式，实验技术不断提高。发展至今，从这个小众领域生长出与量子调控和量子信息科技等密切相关的大领域。量子纠缠成了有力工具，为量子技术新纪元打下基础，是所谓第二次量子革命的基础，在量子计算、量子模拟、量子通信、量子度量与传感等方面扮演重要角色。作为实验工作，2022年诺贝尔物理学奖的获奖成果为量子技术的发展打下基础。