破解一类无理方程问题的新视角——导数

张 君

(四川省温江中学 611130)

1 预备知识

引理1拉格朗日中值定理.

若函数f(x)满足如下条件：

(1)f(x)在闭区间[a,b]上连续；

引理2琴生(Jensen)不等式.

反之，若f(x)为严格凸函数，则有

f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≥λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn).

当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.

引理3 设f(x)是区间I上的二阶可导函数，则在I上f(x)为严格凸(凹)函数的充要条件是f″(x)<0(f″(x)>0).

2 一类无理方程问题

问题2 解方程log3(x-5+6)·log3(x2+3)=log37·log3(x2+x-5+2).

观察以上三个问题，不难发现:

(2x2+x+11)+4=(x2+3)+(x2+x+12)，

x-5+6+(x2+3)=7+(x2+x-5+2).

由此可见，以上两个问题均是以“f(x)+g(x)=h(x)+k(x)”为背景，求无理方程F(f(x))+F(g(x))=F(h(x))+F(k(x))或者F(f(x))·F(g(x))=F(h(x))·F(k(x))的解问题.这一类问题并不是很好处理，笔者尝试从导数的视角去研究破解此类问题的方法.

3 探究问题的破解之道

定理1 若函数F(x)在区间上存在二阶导数，且F″(x)>0(或F″(x)<0)，又f(x),g(x),h(x),k(x)均是I上的函数，其值域均含在内，且f(x)+g(x)=h(x)+k(x)，则方程

F(f(x))+F(g(x))=F(h(x))+F(k(x))

(1)

与f(x)=h(x)或f(x)=k(x)

(2)

同解.

注符号< >表示开区间、闭区间、半开区间、半闭区间、有限区间或无限区间.若F″(x)>0(F″(x)<0)，则要求使得等号成立的点只有有限个，即F(x)是严格凹(凸)函数.下同.

证明这里仅证明F″(x)>0情形(F″(x)<0情形类似可证).

设x0是f(x)=h(x)的一个根，即

f(x0)=h(x0).

又f(x0)+g(x0)=h(x0)+k(x0)，

从而g(x0)=k(x0).

于是F(f(x0))+F(g(x0))=F(h(x0))+F(k(x0)).

即x0是方程(1)的根.

设x0是方程(1)的根，证明x0也是方程(2)的根，用反证法.

假设x0不是方程(2)的根，即x0不是f(x)=h(x)和f(x)=k(x)的根，则只能有以下四种情形：

①f(x0)>h(x0),f(x0)>k(x0)；

②f(x0)

③f(x0)>h(x0),f(x0)

④f(x0)k(x0).

这里仅证情形①(其他情形类似可证)，由已知条件，有

f(x0)-h(x0)=k(x0)-g(x0)=d>0，

从而f(x0)=h(x0)+d与k(x0)=g(x0)+d.

设u(x)=F(x+d)-F(x)，x∈.

由引理1及F″(x)>0，有u′(x)=F′(x+d)-F′(x)=F″(ξ)d>0，ξ∈(x,x+d).

所以函数u(x)在上严格递增.

由情形①知h(x0)>g(x0).

所以u(h(x0))>u(g(x0)).

从而F(h(x0)+d)-F(h(x0))>F(g(x0)+d)-F(g(x0)).

即F(f(x0))+F(g(x0))>F(h(x0))+F(k(x0)).

即x0不是方程(1)的根，矛盾.

问题1的解将方程变形为

由定理1知，原方程与方程x2+x+12=4或x2+3=4同解.解之得x1=-1,x2=1，代入原方程验证均为原方程的根.

定理2 若函数F(x)在区间上存在二阶导数，且F″(x)<0,F(x)>0(或F″(x)>0,F(x)<0)，又f(x),g(x),h(x),k(x)均是I上的函数，其值域均含在内，且f(x)+g(x)=h(x)+k(x)，则方程

F(f(x))·F(g(x))=F(h(x))·F(k(x))

(3)

与f(x)=h(x)或f(x)=k(x)

(4)

同解.

证明仅证F″(x)<0,F(x)>0情形(F″(x)>0,F(x)<0情形类似可证).

设x0是方程(4)的根，即f(x0)=h(x0)或f(x0)=k(x0).

由已知条件，有

f(x0)+g(x0)=h(x0)+k(x0).

从而g(x0)=k(x0)或g(x0)=h(x0).

于是F(f(x0))·F(g(x0))=F(h(x0))·F(k(x0))，即x0是方程(3)的根.

设x0不是方程(4)的根，即x0既不是方程f(x)=h(x)的根，也不是方程f(x)=k(x)的根，则共有以下四种情形.

①f(x0)>h(x0),f(x0)>k(x0)；

②f(x0)

③f(x0)>h(x0),f(x0)

④f(x0)k(x0).

这里仅证明情形①(其他情形类似可证)，由已知条件，有

f(x0)+g(x0)=h(x0)+k(x0).

从而f(x0)>h(x0).

由f(x0)-h(x0)=k(x0)-g(x0)>0，

f(x0)-k(x0)=h(x0)-g(x0)>0，

已知F″(x)<0(即F(x)为严格凸函数)，F(x)>0，f(x0)≠g(x0).

由琴生不等式，有

F(h(x0))·F(k(x0))

=F(f(x0))·F(g(x0))

即x0不是方程(1)的根.证毕.

由定理2知，原方程与方程x-5+6=7或x-5+6=x2+x-5+2同解.解之得x1=6,x2=4,x3=2,x4=-2，代入原方程验证均为原方程的根.

4 变式训练

由定理1知，原方程与方程a2-x=a2或a2-x=b2同解.解之得x1=0,x2=a2-b2，代入原方程验证均为原方程的根.

解析设函数F(x)=sinx，x∈(0,π)，则F″(x)=-sinx<0，F(x)=sinx>0.