以教材为纲，在“破”中“立”意

常静锋 周炼

［摘要］ 本文从一次九年级数学期末试题的命题经历出发，凝炼出以教材为纲，在破中立意的命题策略与主张，并分别从破基本概念，立学科融合；破指向单一，立多元关联；破方法定式，立运用迁移；破模型固化，立素养发展这四个角度，结合实例展开阐述。

［关键词］ 命题；核心素养；改编；教材

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）中提到，命题要遵循课标要求，严格依标命题，综合考查“四基”“四能”与核心素养。由于教材是根据课标要求编写的，故以教材为纲是有效命题的重要原则之一。除此之外，新课标中还提到问题的设置应该注重考查学生的思维过程，避免死记硬背、机械刷题。这意味着在尊重教材、源于教材的基础上也要尝试打破教材，超越教材，以寻求更高的立意，体现命题的创新与智慧。从哲学角度看，这实质上是一种“破”与“立”的辩证统一关系，可谓“破”字为先，“立”字为要，不破而不立。“立”通常表现为一种独出心裁的创造，而“破”则是一种对原有事物的扬弃与革新。从两者的关系来看，若没有“破”作为基础和铺垫，就不可能有“立”的延伸与创造。

一、破基本概念，立学科融合

教材由很多板块构成，其中概念陈述作为主要组成部分既是命题的重要依据，同时也是立足“四基”且体现学生基本素养的重要命题方式。不过，单纯记忆式的考法往往显得过于生搬硬套，无法展现概念学习的价值。数学作为一门基础性学科，与很多学科之间都有着千丝万缕的联系，打破学科壁垒、尝试知识融合的命题理念能进一步考查学生对基本概念是否有深层次的理解。事实上，初中阶段的大部分数学知识都来源于生活，当命题需要“破”教材中的基本概念时，可以立于其生活意蕴与自然学科原理之上，在数学概念与真实世界之间寻得一个平衡点，以增加概念考查的现实意义与多元价值。

【教材原型】三角形的三条中线相交于一点，这点叫作三角形的重心。物理学告诉我们，一个物体的各个部分都受到重力的作用，从效果看，可以认为各部分受到的重力集中作用于一点，这点就叫作物体的重心。

【真题呈现】如果用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的（）处，这块薄板就能保持平衡。

A.三角形三条角平分线的交点

B.三角形三条中线的交点

C.三角形三条高线所在直线的交点

D.三角形三边垂直平分线的交点

【改编意图】教材原型从数学与物理学两个角度分别阐述了重心的概念，但从表述上看，两者之间相对孤立，若仅照搬教材原话进行命题则无法体现学科间的联系。经反复斟酌，我们在命题时最终决定不提及“重心”二字，而是通过创设“让三角形薄板平衡”的问题情境，以生活现象为媒介将重心的两种学科概念考查进行融合，立于生活应用层面以自然地破除学科间壁垒，体现了跨学科命题思想。由此可见，在命题过程中以真实情境为背景渗透跨学科理念，可以引导学生关注知识融合，激发学生的学习兴趣、开阔视野、改变思维习惯，提高学生解决问题、将知识运用于实际生活的能力。

二、破指向单一，立多元关联

教材中大部分练习题都归属于某个特定的章节，以巩固该章节中具体的知识内容。从问题的覆盖面看，某个情境设定的知识指向可能相对单一，但事实上很多章节之间都有非常密切的逻辑递进关系，同一个情境按照知识的发展趋势可以延伸出多维度且具有发散性的各种问题。基于此，我们在命题时既要把握教材所提供的优质试题资源，又要在此基础上增加新的情境内涵，好让学生在熟悉的背景中融入更加多元化的思考。然而，在一份综合性试题中，如果一道题只涉及有限的知识，不仅会导致整套试题的覆盖面不足，而且无法提升试题的难度与区分度。为了解决这一矛盾，命题者可以立足于不同单元、板块、学段之间的知识关联，以破解教材习题的局限性与单一性。

【教材原型】苏科版初中数学九年级下册第67页，第6章“图形的相似”习题6.4的第12题：△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，△ABC和△DEF相似吗？为什么？

【真题呈现】如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，求tan∠FDE+tan∠BCA的值为（）

A. B. C. D. 3

【改编意图】教材原型是通过方格纸的度量功能，考查学生相似三角形判定的相关知识。本题虽能与方格纸很好地融合，但由于知识指向单一、思想方法缺失等不足，致使教材原题解题过程过于单薄。经反复推敲后，我们决定分别从知识与方法两个层面下手，在原题基础上有所提升。具体方法是先设置一个求∠FDE和∠BCA正切值的问题以让学生感到困惑，然后再引导学生发现可以运用相似三角形将问题转化为求∠BAC和∠DFE的正切值。另外，求锐角三角函数值本身就有各種各样的解法，如构造直角三角形法、等角转换法、面积法等，而本题的方格纸背景又为其增加了解题的多样性与发散性，将原型立足于转化思想、三角函数、方格纸等多重知识之上，十分巧妙地破除了教材原题的

缺陷。

三、破方法定式，立运用迁移

教材中的习题为了更好地检测某个具体知识的掌握情况，一般以概念与公式的直接运用为主要考查形式，稍复杂的习题也可以在记住一些常用推论、性质的基础上轻松解决。诚然，命制试题确实需要关注基础知识、基本概念、重要公式的考查，但同时也需要有一部分试题在立足“四基”的基础上聚焦“四能”，并进一步考查学生的核心素养发展状况。否则，只要学生练得足够多，对直接套用公式与结论的试题形成思维套路后，会形成刷题就能获得高分的假象，这不仅无法把控试题的难易配比，造成命题可信度缺失，而且会造成不良的评价导向。由此看来，要打破教材中一些问题的表述与方法定式，就要立于在条件与问题中增加更多的推理关系，让试题的可研究性更强，迁移范围更广。

【教材原型】苏科版初中数学九年级上册第70页，第2章第5节“直线与圆的位置关系”练习第1题：在Rt△ABC中，AC=4 cm，BC=3 cm，则该三角形的内切圆半径是cm。

【真题呈现】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，已知三角形的面积和周长分别为24 cm2和12 cm，则S四边形ACDB= cm2。

【改编意图】教材原型考查了三角形内切圆的相关知识，很多教师在讲授这部分内容时往往会补充一个公式，即任意三角形的内切圆半径＝面积×2÷周长，学生只要记住了公式，即便是在不深入理解的情况下也可以获取基本题型分数，这会大大影响考试的公平性。为此，笔者尝试在原型的基础上增加了三层推理关系，第一层是将直接由条件告知三角形内心换成了给出两组角平分线，弱化了概念的显性表征；第二层是将求内切圆半径改为了求四边形ACDB的面积，渗透了割补的转化思想；第三层是扩充了周长与面积对于解题的应用价值，原先仅作为代入之用，改编后则可与勾股定理、完全平方公式、代数推理等均有一定的关联。总之，在自下而上地确立了三层新的推理关系后，便将设问与解法破解于无形之中，多方位地考查了学生的推理能力、运算能力及综合运用知识的能力。

四、破模型固化，立素养发展

教材中问题所涉及的图形一般都较为经典，大多数是能体现知识本质的基本图形。这对于命题环节来说，既提供了机遇，又带来了挑战。当教材原型中的图形过于经典时，在此基础上命制出来的问题一定是稳扎素养根基的。它们虽然能代表某一类知识的核心结构，但缺点是如果不融入其他的素养成分，那么学生在面对基本图形时反而会让思维路径窄化、解题方法固化。要想在模型的基础上有所突破，就要立于学生的核心素养发展为命题锚点，在经典图形的基础上突出能力的考查、素养的进阶与观念的创新。具体到新课标中所提及的空间观念、几何直观、推理能力、运算能力等，均可以作为改编的灵感来源，通过融入这些素养元素，可让命题的立意与高度更上一个台阶。

【教材原型】苏科版初中数学九年级下册第74页，第6章第5节“三角形相似的性质”习题第3题：在平行四边形ABCD中，E是BC上的3等分点，AE交BD于点F。求：△BEF与△DAF的周长的比，以及面积的比。

【真题呈现】如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（与点B、C不重合），连接AE交BD于点G。（2）设BC=kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示，并求出此式的最大值。

【改编意图】“X型相似”是初中阶段重要的基本图形范式之一，不仅本身代表了某一类基本相似，而且在解决与平行线有关的问题时也常以此为依据。不过，教材的原题仅考查了“X型相似”的简单性质，无法突出其基本图形的核心地位与延伸价值，唯有融入更多的素养元素才能让这道题“活”起来。因此，我们用字母k表示线段BC和BE的比值，用S表示△BGE的面积，并以这两个参数表示S1和S2，一系列的设计是为了加大本题的运算量与含参量，以考查运算能力素养。将求两个相似三角形的面积比改为求两个多边形的面积比，是希望学生在关注相似的同时，也能发现图形中的其他面积关系，如同高三角形、同底三角形等，以彰显几何直观素养。题目中有关几何与代数不同条件之间的逻辑关系推导，以及求面积比最大值时所用的整体思想，均体现了严密的推理能力素养。上述改编均立足于核心素养，在破解模型固化给命题带来消极影响的同时，也在知识点的经典与传承之上注入新的生命力。

五、命题感悟及总结

从上述四个案例可以看出，所有真题的原型都来源于教材，有的出自教材正文部分，有的是教材中的习题，有的是教材中“探索与发现”环节的引入素材。笔者以教材为纲进行试题命制，意在能起到一种教学的引领作用，让师生将知识预习、学习、复习的重心回归于教材，充分挖掘教材中的优质课程资源，最大限度地发挥教材的命题价值。不过，基于教材并不意味着囿于教材，在命题过程中，笔者也大胆地破解教材原型，提取经典图形与关键要素，在确定立意后反复调整命题思路，加强知识关联，变化试题形式，找出想要考查问题的本质，进而赋予其新的灵魂与生命，在尊重教材的基础上进一步考查学生的素养發展水平。

通过此次命题，笔者秉持着“以教材为纲，在破中立意”的命题理念，积累了不少有益的经验，但同时也发现了些许不足。比如，与三角形内心有关的那道题，改编后涉及的知识内容较为繁杂，在丰富了解题方法的同时亦失去了原有的简约特征。如何在提升一道题思想性的同时保留其简约性，这个议题还值得进一步思考。另外，与三角形重心有关的那道题，仅仅用语言描述“使薄板平衡”显得略微抽象，若将背景设置为一个真实情境，以更加彰显新颖的命题思路，这样可让学生在实践中体会重心的概念，就更能体现素养的发展水平。

［参考文献］

［1］朱金祥.一次中考模拟试卷的命题之旅[J].中学数学月刊，2015（03）：46-47，61.

［2］何小亚.义务教育数学课程标准（2022年版）之反思[J].中学数学研究（华南师范大学版），2022（11）：1-6，53.