数学语言转换的本质内涵、心理机制和实践策略

■ 席爱勇

一、数学语言转换的本质内涵

二、数学语言转换的心理机制

1.数学言语表征内部转换的心理机制

数学言语表征内部转换从表征视角看就是数学语义编码内部相互转换形成语义编码组织的过程，既包括对自然语言进行概念化、符号化和形式化数学加工的过程，也包括对数学概念、性质、关系、规律、模型、结构等进行生活化、通俗化的解释实践的过程，是一个由口语、文字和符号三种不同言语表征构成的转换循环系统。

口语表征转换为文字表征，本质上就是基于现实生活表象从感性具体向理性具体的转换，是数学的第一次抽象过程，即“横向数学化”；文字表征转换为符号表征，本质就是基于数学内部逻辑推理从理性具体向理性一般的转换过程，是数学的第二次抽象过程，即“纵向数学化”。无论“横向数学化”还是“纵向数学化”，都是数学抽象建构过程，体现了数学的“再创造”。当然，转换是双向的，符号表征也可以转换成文字表征或口语表征，文字表征也可以转换成口语表征，这是数学的解释和应用的过程，也是学生理解数学表达并进行广泛迁移和灵活应用的过程。

2.数学心像表征内部转换的心理机制

数学心像表征内部转换从表征视角看就是数学心像编码内部之间相互转换形成心像编码组织的过程，主要表现为心像表征系统内实物图像、几何图形、图示图标等表征的相互转换，帮助学生认识事物的空间形式、形态变化、运动规律和内在本质关系，促进学生空间想象、几何直观、空间观念等数学素养的发展，不断建构和完善学生的数学心理意象和认知结构图式。

实物图像表征转换为几何图形表征是一个直观抽象的过程，在这个过程中，剔除了图形的颜色、材质等物理属性，保留了图形的空间形式、形态特征和位置关系，便于学生更精准地从数学视角认识图形、理解图形和研究图形，读懂图形的几何特征和性质规律，可以形成数学直观。“一图胜千文”大概就是这个意思。当然，教师既可以引导学生从实物图像表征走向几何图形或图示图标表征，也可以从几何图形表征或图示图标表征走向实物图像表征，根据几何图形想象所描述的事物，想象物体的方位和相互之间的位置关系，描述物体的运动和变化，从图形和几何的视角进行解释和实践应用，是一个从一般走向特殊的思维过程，有利于提升学生的几何直观和空间观念。

3.数学言语和心像表征相互转换的心理机制

数学言语和心像表征相互转换的心理机制既表现为从言语表征向心像表征转换的过程，也表现为从心像表征向言语表征转换的过程，从心理表征视角看，就是数学语义编码组织和心像编码组织的互通互译，逐步建构能深度理解和广泛迁移应用的认知结构图式的过程。

数学言语和心像表征的相互转换可以实现数形结合，建立数形联系。正如数学家华罗庚所言：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”这样，我们就可以把一个相对复杂、抽象的数学概念、命题、规则或问题图形化，使之简明、形象，促进数学思考和想象，对其数学关系和空间形式能进行直观感知、整体把握和多维表达，不断增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识，逐步形成数学直观，在具体情境中感悟事物的本质，形成解决问题的思路。

三、数学语言转换的实践策略

数学语言的灵活转换需要在数学学习的实践中逐步实现。具体地说，教师可以引导学生尝试通过想、画、说、写的策略实现数学语言转换。首先要引导学生根据客观现实生活或数学对象尝试去想一想，如果学生一时想不明白，就可以引导他们尝试去画一画，再去想一想。学生只有想明白了才有可能说明白，学生说明白了才有可能写明白。因此，想、画、说、写是学生建构数学理解、实现数学语言转换的行为逻辑。

1.让学生尝试想

数学的研究对象无论是整数、小数、分数，还是点、线、面、体，在现实生活中都是不存在的，都是人们通过数学思维想出来的符号表征系统。数学概念的归纳、数学规则的提炼、数学模型的建构都需要学生尝试去想，然后通过数学语言的转换来实现。因此，数学语言转换的第一要义就是教师要善于引导学生尝试去想，通过想来建构数学概念、规则和模型，发现和提出问题，分析和解决问题。

教师引导学生尝试去想，在方法路径上，不仅要善于引导学生从“一到多”发散性多元表征地想，也要善于引导学生从“多到一”本质归纳地想，还要善于引导学生由此及彼类推地想，甚至要善于引导学生审视性批判、辩证地想。

教师引导学生尝试去想，在组织形式上，不仅要引导学生独立探索地想，还要引导学生相互启发地想，在读懂他人想法的基础上表达自己的想法，相互交流不同想法，学会相互启发，实现思想碰撞。这样不仅有利于培养学生独立思考的能力，还有利于培养学生沟通交流和分享的能力。

2.让学生尝试画

吴正宪老师指出：“涂画蕴含着丰富的数学信息；涂画能唤起儿童已有的经验；涂画能帮助儿童理解数学概念和数量关系；涂画是儿童重要的表达方式；涂画是儿童学习数学的工具；涂画是促进儿童有效地学好数学的重要途径。”“让儿童在涂画中表达学习情感，在涂画中理解数学意义，在涂画中感悟数学思想，在涂画中释放创造力。”可见，“画数学”是学生特别是小学生进行数学学习、实现数学语言转换的重要策略，深受数学教师的青睐，逐步成为他们训练学生数学语言转换、发展数学素养的重要策略之一。

画，从数学语言表征转换的视角看，既可以画实物图像、几何图形，也可以画各种意义图示，一、二年级学生适合画出原生态的实物图像和简单模型；三、四年级学生可以画出较抽象的几何图形和意义图示，如二维平面图、一维线段图；五、六年级学生可以画出比较复杂的意义图，彰显数学思维结构张力，如各种概念关系图、统计图、思维导图等。从提升学生思维品质视角看，教师在引导学生画图时要具体化，画出思维的清晰性；重细节，画出思维的准确性；思联系，画出思维的广度；破难点，画出思维的深度；重推导，画出思维的逻辑性。这样，才能从根本上提升学生数学语言转换的能力。

3.让学生尝试说

说是学生数学语言转换的重要表达方法。说，不但能帮助学生学会灵活地进行数学语言转换，而且能由内而外地帮助学生厘清数学思考和表达的路径，还能帮助学生从会说、会表达，逐步走向会思考，从而将数学知识转化为学生的数学思维、方法思想和价值观念，实现“转识成智”，逐步形成数学综合素养。

根据学生不同年龄、不同思维特点和语言表达能力水平，一、二年级学生可以在日常生活语言“模仿说”中实现数学语言转换，三、四年级学生可以在数学概念关系“尝试说”中实现数学语言转换，五、六年级学生可以在数学符号模型“自由说”中实现数学语言转换。从说的内容看，不仅要说数学结论答案，更要说数学思维过程，如数学概念的归纳过程、数学运算的推演过程、数学模型的建构过程以及数学问题的解决过程等，逐步养成有理有据有条理的说理习惯。

4.让学生尝试写

写，不仅是学生进行数学语言转换的重要方法，也是学生提升系统化、结构化思维水平和数学写作能力的重要手段，更是培养学生数学核心素养的重要策略，是反映学生实践能力和创新意识等综合素养的集中体现。

写，不仅可以用数学图标表征，也可以用文字或符号表征，还可以用图形和符号结合的方式进行表征，可以综合运用多元表征方式表达数和数量关系、图形和图形关系，让数学概念属性、性质运算、关系规律、思维过程和结果看得见。

写，在不同类型的数学学习中表现出不同的形态特征。例如，数学概念学习中表现为多元描述和表达，在数学运算学习中表现为算理和算法推演，在问题解决学习中表现为一题多解或一题多变，在数学复习中表现为数学概念关系梳理图、数学思维导图，在数学阅读写作中表现为数学日记、数学小论文等。

可见，无论是数学抽象、逻辑推理，还是数学建模，都要用数学语言表征和交流。这种表征和交流就是学生尝试通过想、画、说、写等方式方法和实践策略进行数学抽象、推理和建模的思维过程。因此，数学语言转换有利于促进学生数学素养的发展，促进学生用数学的眼光洞察客观世界，数形结合地理解数学本质内涵，抽象出数学的研究对象及其属性，形成数学概念、关系和结构，理解现实世界背后的数学原理，发展数学抽象和直观想象能力；促进学生用数学思维分析客观世界，建构数学对象之间、数学与现实世界的逻辑联系，灵活运用多元表征以及转换分析解决现实问题，不断提升数学思维的深刻性、广阔性、灵活性、敏捷性、批判性和创新性等思维品质，从而有效培养学生逻辑推理能力、数学运算能力、数学建模能力等；促进学生灵活运用数学语言表达客观世界，简约精准地描述现实世界的数量关系和空间形式，逐步形成灵活多元的数学表达和交流的习惯，发展应用意识、实践能力和创新意识。