解2022年新高考I卷第12题的本手、俗手、妙手*

安恺凯

(江苏省天一中学 214101)

沈丹丹

(江苏省无锡市东北塘中学 214101)

“本手、俗手、妙手”是2022年语文新高考I卷的作文题，本意是围棋的三个术语，本手是指合乎棋理的正规下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而从全局看通常会受损的下法．笔者不禁想到，在数学解题过程中不也会经常遇到正规解法、精妙解法以及貌似合理却错误的解法吗？笔者便结合2022年数学新高考I卷第12题来做一篇“数学作文”．

1 问题呈现

C．f(-1)=f(4) D．g(-1)=g(2)

新高考的实施对函数对称性的考查不减反增，例如，在2022年全国新高考I卷中，第6题考查了三角函数的对称性，第10题考查了三次函数的对称性，而作为多选题压轴的第12题考查了抽象函数的对称性．抽象函数由于没有给出具体的表达式，因此对学生的数学抽象和逻辑推理素养提出了更高的要求，同时结合多选题层次更为丰富、角度更为多元的题型特征，更能考查学生辩证思维和深度思考的能力．

在上面的问题中，选项BCD的突破需要学生掌握好三招“本手”：一为“如何由f(kx+b)的奇偶性求f(x)的对称性”；二为“如何由f(x)的对称性求f′(x)的对称性”；三为“如何由f(x)的两个对称性求f(x)的周期性”．笔者将上述三个问题一般化处理后进行探究，生成如下一般性结论．

2 本手

结论1若f(kx+b)(k≠0)为偶函数，则f(x)关于x=b对称；若f(kx+b)(k≠0)为奇函数，则f(x)关于(b,0)对称．

证明若f(kx+b)为偶函数，则f(-kx+b)=f(kx+b)，故f(x)关于x=b对称．若f(kx+b)为奇函数，同理可证．

结论2若f(x)关于x=m对称，则f′(x)关于(m,0)对称；若f(x)关于(m,0)对称，则f′(x)关于x=m对称．

证明若f(x)关于x=m对称，则f(x+m)=f(m-x)，两边求导可得f′(x+m)=-f′(m-x)，所以f′(x)关于(m,0)对称．若f(x)关于(m,0)对称，同理可证．

结论3若f(x)关于x=m和x=n对称，则T=2|m-n|为f(x)的一个正周期；若f(x)关于(m,0)和(n,0)对称，则T=2|m-n|为f(x)的一个正周期；若f(x)关于x=m和(n,0)对称，则T=4|m-n|为f(x)的一个正周期．

在高考中学生能否将“本手”运用自如，取决于教师平时的教学活动中是否立足于四基，即引导学生理解基础知识、习得基本技能、感悟基本思想、积累基本活动经验．但仅凭此，只能判断选项BCD的正确性，作为多选题，只能得到2分，而无法得到满分．选项A需要由f′(x)的对称性得到f(x)的对称性，难免会让人根据结论2逆向猜测：若f′(x)关于x=m对称，则f(x)关于(m,0)对称．这样的猜想看似合情合理，却不免落入“俗手”．

3 俗手

结论4若f′(x)关于x=m对称，则f(x)关于(m,f(m))对称；若f′(x)关于(m,0)对称，则f(x)关于x=m对称．

由结论4及g(x)关于x=2对称，可得f(x)关于(2,f(2))对称，然而f(2)的具体值无法得到，因此f(0)的值也无从得知．既然选项A的本质涉及不定积分，那么高考卷是否有超纲之嫌？笔者不以为然，不定积分可以认为是求导的逆过程，只要对原函数与导函数之间的联系有深入的理解，也能基于高中阶段的知识体系作出正确的逆向推导．

选项A是多选题中干扰项常见的设置方式，文献[2]称此种干扰项的类型为思维定式(熟悉的内容、相似的形式，常会令人产生类比联想，可能产生负迁移，由此导致错误)，笔者认为此类型的干扰项能对学生的辩证思维和深度思考能力进行有效甄别，作为多选题的最后一题，能起到较好的选拔区分功能．

可见仅仅浮于问题表面，缺乏对知识本源的深度理解和辩证思考而作出的类比迁移往往是无本之末，在多选题的得分机制中，是会导致学生错失2分而得0分的一招“俗手”．

4 妙手

通过构造上面两例函数，能够立即识破选项A，不失为一招“妙手”．但笔者认为“妙手非偶得，本立而道生”，妙手的出现是基于对本手的深刻理解，取决于学生对不同类型的函数所对应的性质的认识程度．笔者发现，新高考实施以来，在其他题型中也频现需要答卷人根据函数性质来构造具体函数的开放型问题，以下是两个具体实例．

例1(2021年“八省联考”第15题)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)=．

例2(2021年全国新高考Ⅱ卷第14题)写出一个具有下列性质①②③的函数f(x)=．①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．

可见新高考下，出卷人越来越注重考查学生依据函数性质来构造函数的能力，其背后考查的是学生的发散性思维和创新性能力．

5 结束语

2022年高考学生普遍反映新高考数学I卷难度较高，凸显出学生对新高考考试方位和命题思路的不适应，反映出教考衔接环节的不匹配性．新高考下，高考试题更注重对思维品质的考查，强调独立思考和创新意识；更加注重对关键能力的考查，强调发挥数学学科的选拔功能．以往一味的题海战术已然失效，在知识生成过程中，教师应留给学生足够的自由思考空间，培养学生思维的灵活性与创新性．在解题教学过程中，教师应注重数学学科的本性原法，促使学生将知识和方法内化为自身的知识结构，以此才能促使学生在高考考场上，规避“俗手”，下稳“本手”，巧施“妙手”．