问题链：让学生经历概念教学“两个过程”的有效策略——以苏科版九年级上册“方差”为例*

蒋妍兮

(西安交通大学苏州附属初级中学 215021)

1 基于“两个过程”的数学问题链教学理念

1.1 “两个过程”的合理性

章建跃博士曾多次提到，在数学课堂教学过程中核心素养的渗透需关注“两个过程”的合理性，即数学知识发生发展过程的合理性和学生思维过程的合理性．[1]前者在于突出核心概念的思维建构，强调知识间的内在逻辑线索，后者更加关注学生的思维规律以及认知特点，强调思想方法的领悟过程．

1.2 问题链教学及其设计思路

数学的发展是不断地发现问题、解决问题的过程，而数学学习则是经历了简约的数学发生、发展的过程，因此问题是数学学习的关键．问题链是指在课堂上呈现给学生的、有序的主干问题串．[2]基于问题链的数学教学则是将这些彼此独立又相互关联的问题串联在一起，通过创设合适的问题情境，引导学生经历知识形成和发生的过程，在解决问题的过程中不断实现能力提升和思维迭代．

如何设计合理的问题链成为了我们关注的焦点．笔者认为，概念教学中的问题链设计首先应确定概念产生的来龙去脉，即根据目标内容构建出知识链接，这就需要我们深刻理解教材，不仅着眼于书本知识的习得，更重要的是引导学生感受数学家们用数学的思维思考世界的历程；其次在主干结构的基础上设计核心问题，确定“链”，注重问题的关联性与整体性，保证知识的逻辑顺序严谨、学生的思维过程自然，做到深入浅出、系统策划；最后细化完善，针对核心问题有选择性地设置二级问题，为学生搭建脚手架，使得问题的设计更加丰满完整．

基于“两个过程”的概念教学更关注概念产生、发展的基本过程，因此我们可以问题链形式为抓手，以数学概念的发生发展为线索，通过环环相扣的问题引导学生探索、思考、迁移，从而在理解概念的过程中实现活动经验的积累和思维能力的提升．

2 基于“两个过程”的数学问题链教学实践

2.1 深刻理解教材 建立知识链接

“方差”是苏科版九年级上册[3]第三章“数据的集中趋势和离散程度”中的内容，旨在让学生了解刻画数据离散程度的方法，经历并感受方差公式得出的必要性、自然性与合理性．数学教学是基于学情的教学，九年级的学生已经学习了“数据的收集、整理、描述”，积累了一定的基础和经验．在知识方面，学生对于总体、个体、样本、样本容量等概念已有所了解，能够读懂各类统计图表，并从中获取相关信息；在能力方面，能够选择合适的调查方式解决相关问题，并运用文字、统计图表等呈现、整理、描述数据的结果，具备一定的数据分析处理能力．

学生在学习“方差”的有关概念之前已经学习了平均数、中位数、众数等概念(图1)，但是生活中，除了需要关心数据的集中趋势外，还需要了解数据之间的差异，考察数据的波动情况，即离散程度，这对于学生来说无疑是一个认知的冲突．如何自然地引出、建构、理解方差的概念，是本节课需要重点关注的部分．

图1

2.2 梳理概念脉络 确定核心问题

本节课以极差概念为起点，将学生的目光聚焦于数据的离散程度(图2)．通过对方差公式的剖析，制定出本节课需要解决的核心问题：刻画数据离散程度的方式有哪些？为何想到求“均差”？为何要计算“均差绝对值之和”或者“均差平方之和”？为何择优选择后者？为何要求样本的平均值？……这些问题构成了问题链的“骨架”，指引学生进行更深入的探索和思考，从而获得更深刻的思维体验．

图2

2.3 预设课堂生成 细化问题铺垫

问题1已知乒乓球的标准直径为40 mm，质检部门抽取了A厂生产的10只乒乓球，对其直径进行检测，结果如下(单位：mm)：

40.0,39.9,40.0,40.1,40.2,39.8,40.0,39.9,40.0,40.1．

问题1-1 可以从哪些视角对问题中的数据进行分析处理？

问题1-2 如何描述这组数据的波动情况？

设计意图一组数据的离散程度，即变量各个取值之间的差异程度，差异程度越小，说明这组数据越稳定．基于学生的最近发展区，他们对于刻画数据波动程度的方式仅停留于最大值与最小值之间的差值——极差，这是学生的初始感受，也是本节课问题的起点.极差概念的提出在知识层面上为接下来的问题冲突埋下伏笔．

问题2质检部门又抽取了B厂生产的10只乒乓球，对其直径进行检测，结果如下(单位：mm)：

40.0,40.2,39.8,40.1,39.9,40.1,39.9,40.2,39.8,40.0．

问题2-1 通过计算极差，能判断A,B两厂生产乒乓球稳定性的差异吗？

问题2-2 还有哪些可以尝试的方法？

问题2-3 观察散点图，说说你对数据的“离散”有何直观感受？

问题2-4 结合上述的问题探究，你能提出一个新的问题或解决问题的新思路吗？

设计意图问题2的设计既是对问题1中概念的巩固，又是情境的进一步深化——比较两组数据的离散程度．基于B组数据无论是从样本容量、极差、平均数都与A组数据相同，自然转向绘制“散点图”(图3)，这既是学生思维的直观体现，亦是由“数”转向“形”的智慧表达．问题的逐步推进，使得学生对“离散”一词有了更深刻的体会，也引发其提出新问题或新思路．图表法固然直观有效，但弊端也显而易见：随着样本容量的增大，肉眼观察所得的波动情况会欠缺说服力．数学作为一门精确、精细、精准的学科，它的理性思维强调用数据代替感官，因此还需另寻他法．

图3

问题3如表1所示，你还有何种方法可以判断数据的波动程度呢？

表1

问题3-1 分别计算A,B两组数据与其平均值的差，能直观判断两组数据的波动程度吗？

问题3-2 若将A,B两组数据的差值分别累加，会出现何种情况？

问题3-3 如何避免此类情况的出现？

设计意图问题3的设计将学生的思维从“由数到形”向“由形到数”转换．图“形”中所谓的波动程度，转换成“数”即为每一个数据与平均数之间的差值(以下简称为“均差”)，均差的大小决定了起伏波动的多少，再将这些差值累加进行比较即可．颇为遗憾的是，两组数据均差累加之后结果皆为0．因此自然生成了对问题3-3的思考，从避免负号的角度出发寻找解决之法．这样的设计巧妙地激发了学生的思维，充分调动了学生探索的热情．同时也带来了新的思考：既然求“均差绝对值之和”与“均差平方之和”都可以作为判断数据离散程度的依据，那么哪种方式更优呢？

问题4判断表2中两组数据的离散情况．

表2

设计意图教材中对于方差公式中的“均差平方和”并未作过多解释，但基于学生已有的学习经验，避免负号的方式不止一种，为何方差公式最终选择求均差平方和，其中必有深意．针对此疑惑，笔者进行了深入思考并设计了问题4．如表2所示，从数据上可以直观看出第一组数据的波动程度明显大于第二组，但是通过计算却发现均差绝对值之和是相等的，无法区分它们的波动大小，而“均差平方和”却有很大差异，更有比较的价值．

问题5如表3数据所示，B厂有4个数据缺失，判断下列表格中两组数据的离散情况．

表3

问题5-1 如果A厂数据中的2号、4号样本也丢失(表4)，判断下列表格中两组数据的离散情况．

表4

问题5-2 经过计算发现两组数据均差平方和相等，是否说明A厂和B厂数据一样稳定呢？

问题5-3 为什么会造成这样的结果？如何才能优化方法？

设计意图经过问题4的研究，似乎已经找到了刻画数据波动程度的好方法，但是相较于最终的方差公式仍有出入，由此继续设计了问题5及其一系列子问题．问题5中B组数据的丢失导致其均差平方和小于A组，但同时也会引发一部分学生的质疑：结果是否受样本容量的影响？问题5-1将A组数据的样本容量也作相应的调整，印证了质疑．问题5-1和问题5-2的设计目的在于让学生发现仅根据均差平方和来判断数据离散程度的方式还不够成熟，通过对失败原因的不断思考和探索，反思思维过程中的漏洞，发现样本容量的重要影响．

回顾概念的发生发展过程，每一个问题的提出，都能促使学生的思维产生一次飞跃，他们积极参与、努力思考，不断探索改进方法，经历“求平均数—求均差—求均差平方和—求均差平方和的平均数”的全过程，最终找到解决问题的最优方案．这是一个逐步优化和完善的过程，学生的思维一次又一次地得到锻炼，研究的兴趣和热情完全被激发，利用所学知识还原方差公式的动态生成过程，无疑是一个了不起的探究体验．

问题6对于方差公式，你还有什么疑惑吗？

设计意图该问题的提出既是总结也是延伸，帮助学生梳理本节课所学知识的同时，又碰撞出新的火花．例如，学生会对s2产生疑惑：方差是数据的平方，存在单位的不一致．以本节课数据为例，方差单位为mm2，与检测值本身单位有偏差，难以直观感受其差异，如何解决单位问题呢？这便是阅读材料中提到的——标准差．以开放性的问题作为结尾，不断推进学生的自我反思能力，从而实现知识与活动经验的迁移，提升数学核心素养．[4]

3 基于“两个过程”的数学问题链教学思考

3.1 问题链的设计有利于形成概念的“生长链”

知识就像一棵根基深厚的大树，“老枝”是已学知识和已有经验，经历不断生长、不断汲取营养的过程，会逐渐萌发出“新芽”．如何让生长的过程自然且顺畅，就需要合理的问题牵引．

从实际情境出发，交代知识的缘起，将研究对象从数学外部迁移至内部；通过起点问题的铺设，指明研究的方向——数据的离散程度；确立四个核心问题，分别指向均差(问题2)、均差平方和(问题3、4)、样本容量(问题5)，设计问题时，始终保持两组参考数据的极差相等以及平均数相等，以保证问题研究的严谨性．这些由表及里、层次分明的问题围绕着方差公式的结构形成了清晰的脉络(图4)，勾连起学生的认知起点和目标，前者是后者的铺垫和引导，后者是前者的深化与递进，它们共同形成了一个有机整体，以链状结构环环相扣，自然地形成了一条牵引链，刻画出概念生长的脉络，充分展现了数学教学的合理性和严谨性[5]，强调内容间的关联性和逻辑性，对学生统计观念的形成有着举足轻重的作用．

图4

3.2 问题链的设计有利于锻炼学生的“思维链”

以问题链为抓手的课堂教学，不是教师单方面的提问，而是师生围绕着共同的问题和目标进行的多层次、多角度、深刻且全面的探索和发现．在发现问题和解决问题的过程中，学生的逻辑思维和创造性思维得以发展和锻炼．本节课方差概念的提出很好地弥补了现有统计方法的局限性，但要实现公式的推导，需要涉及到已有的关于数据集中趋势的统计知识，同时还需综合考虑样本容量大小、计算方式不同等诸多因素，思维含量很高．基于教材的问题链设计，结合了更加多元的举措，更能激发学生的思维活跃度．初中阶段是学生智力和心理发展的关键阶段，学生的思维从经验型逐步向理论型转变，问题链的设计，尤其是悬念性问题链的设计，能够不断制造出认知冲突，以问题催生问题，以思考激发思辨，使学生经历“提出问题—解决问题—思考质疑—再次提出问题”的全过程，在这个循环往复的过程中，思维的收敛性和发散性都能得以有效锻炼，认知体系和思维方式也日益完善，逐步实现思维的高阶发展．

在问题链背景下的概念教学，关注“生长链”和“思维链”的形成，与关注“两个过程”合理性的教学理念不谋而合，更加尊重概念形成的必要性，还原其生成的自然性．它不仅能够适应知识动态生成的变化过程，也能追求数学思维的逻辑严谨，不失为一种有效的教学方式．