基于三正交电偶极子天线的MUSIC 估计算法

肖 雄，刘桐辛，姜春华，杨国斌

（武汉大学 电子信息学院，湖北 武汉 430072）

0 引 言

利用天线阵列来测量电磁波的波达方向已经有很多年的历史，同时也演化出了多种不同的到达角估计方法大类，例如：比幅法[1]、干涉法[2]、最大似然法[3]以及信号子空间法[4-6]。基于特征分解的信号子空间分解法由于其具有较高的测量精度在实际工程中得到了广泛的应用。其中，MUSIC（Multiple Signal Classification）算法是信号子空间分解法求解波达方向的代表。

在传统的阵列信号处理中，电磁波信号的波达方向（DOA）估计通常只会考虑电磁波信号的时域或者空域的特征信息，却忽略了电磁波信号的另一种重要特征信息——信号的极化状态[7-9]。电磁波信号的极化状态是电磁波本身的固有特征信息，描述了电磁波的矢量运动特性。通过对电磁波信号的极化参数进行分析利用，可以增强接收机系统的分辨能力，提高DOA 估计的性能。

本文提出一种基于三正交电偶极子天线的实虚部分离的MUSIC 估计算法，可以在引入极化信息的同时，降低算法的计算复杂度，提高了算法的估计性能，完成对波达方向和极化信息4 个参数的估计[10]。同时，对算法进行了仿真，验证了算法的可行性，详细分析了信号信噪比、采样快拍数等对算法估计性能的影响。

1 三正交电偶极子天线接收信号模型

三正交电偶极子天线[11]具有水平方向全向性的特点，通过三正交电偶极子天线可以完整接收到电磁波矢量，再分别对三根天线测出来的分量进行正交解调，就能够将信号回波的实部与虚部分离开来。三正交电偶极子天线主要具备以下三个方面的优势[12-13]：三正交电偶极子天线的同点极化分集接收的方式可以用来处理宽带天线信号；天线具有全向性；天线的空间占用较小，可以同时使用三个互不相干的通道进行接收。三正交电偶极子天线模型如图1 所示。

假设电磁波信号沿-方向传播，如图2 所示，电磁波空间中的波达方向可以用参量（θ,φ）表示，θ∈[0,π/2 )，φ∈(0,π]分别表示仰角和方位角。用极化椭圆参量（α,ξ）表示电磁波的极化属性，极化倾角α∈()，长短轴之比ξ∈(0,1)。

首先用极化属性参数来表征电磁波。假设一个椭圆极化平面波，将其称之为极化平面。在极化平面上，极化椭圆的长轴沿单位矢量方向，短轴沿方向，二者均与电磁波的传播方向垂直。使这三个单位矢量构成右手螺旋坐标系，即。则椭圆极化场可以表示为：

在考虑三正交电偶极子天线接收信号的情况下，建立一个与天线方向平行的坐标系，将波传播方向矢量在这个天线坐标系里表示出来，得到下式：

通过标准极化坐标系向天线坐标系的转换可以得到：

综合式（2）、式（3）、式（5），最终可以得到：

将式（6）展开可以得到：

2 波达方向和极化信息估计

多重信号分类（MUSIC）算法是一种非常典型的空间谱估计算法。它的基本原理可以解释为：将阵列信号接收数据的协方差矩阵进行特征分解，分解出信号子空间和与有效信号分量正交的噪声子空间，然后利用子空间之间相互正交的特性，完成波达方向的估计。

MUSIC 算法用于阵列的波达方向估计时有以下优势：

1）多个信号同时完成测向的能力；

2）高精度的测向能力；

3）在高速数据处理的技术下可以实现实时数据处理。

对于三正交电偶极子天线而言，三根天线所接收到的信号各不相同，可以表示为：

这样得到的信号的简化模型为：

其中：

在正常情况下，MUSIC 算法进行空间谱估计时，估计的参数量需要大于或等于阵元数M，这样才能使导向矢量矩阵为列满秩，从而进一步完成谱峰估计。但是，由于三正交电偶极子天线导向矢量的特殊性，A=Ar+jAi，Ar=Re(A) ,Ai=Im(A)，导向矢量Ar为列满秩。可以首先对信号实部进行一次三维MUSIC 估计，将方位角、仰角、极化倾角三个参数解算出来，然后将以上3 个估计量代入导向矢量A中，再进行一次一维MUSIC 估计，解算出最后一个参数长短轴之比，最终提出基于实部虚部分离的MUSIC 估计算法。

上述阵列信号实部的协方差矩阵可以表示为：

在式（10）中，把协方差矩阵分成了回波信号和干扰噪声两个独立部分，加号之前的部分为回波信号，加号后面的部分为干扰噪声部分，σ为噪声的标准差。

对协方差矩阵Rr进行特征分解可以得到：

式中：US和UN分别对应信号子空间和噪声子空间，划分依据是信号子空间所对应的特征值远远大于噪声子空间对应的特征值。

因为是同一个协方差矩阵的特征向量所组成的矩阵，US和UN里的列向量是相互正交的，信号子空间代表三正交电偶极子天线接收的信号信息，因此，导向矢量与噪声子空间亦是正交的。

由于噪声的存在，导向矢量与噪声子空间不完全正交，因此使用MUSIC 算法估计DOA 和极化倾角是以最小化搜索来实现的，即就是求得θMUSIC,φMUSIC,αMUSIC使得的值最小。

在解出θMUSIC,φMUSIC,αMUSIC后，将以上3 个参数代入A中，得到一个只有长短轴之比、一个未知量的导向矢量，对完整回波信号求协方差矩阵以及特征分解，完成对最后的长短轴之比的最小值搜索，得到ξMUSIC。此时便完成了对方位角、仰角、极化倾角、长短轴之比4 个未知量的求解。

使用基于MUSIC 算法估计DOA 和极化信息可以分为以下几个步骤：

步骤1：根据地理坐标系摆放三正交电偶极子天线，作为方向基准；

步骤2：对接收到的三正交电偶极子天线回波矢量进行实部虚部分解；

步骤3：对信号实部进行特征分解，得到信号子空间和噪声子空间，将之与导向矢量的实部结合来搜索出θMUSIC,φMUSIC,αMUSIC；

步骤4：将解算出的θMUSIC,φMUSIC,αMUSIC代入完整导向矢量，然后再对完整信号进行特征分解，最后进行一维搜索得到ξMUSIC。

算法流程如图3 所示。

3 算法仿真及性能分析

3.1 可行性

本文首先针对基于三正交电偶极子天线的实虚部分离的MUSIC 算法进行波达方向及极化信息估计的可行性进行了验证。在以三正交电偶极子天线作为接收天线的前提下，假设仅有一个入射信号来自于方位角φ=120°，仰角θ=10°，极化倾角α=45°，长短轴之比ξ=0.5时，取采样快拍数为20 480，信噪比（SNR）为8 dB，可以得到仿真结果如图4、图5 所示。

可见，无论在波达方向或者是极化信息的二维空间谱中都有唯一的谱峰，并且出现位置的参量对应于来波方向，在方位角和仰角截面上可以明显看出尖锐谱峰，且空间谱峰峰值平均高于背景60 dB 左右，而在极化参数截面上则强度稍弱，同样能看出明显的空间谱谱峰，但是峰值平均大约高于背景25 dB。很显然，基于三正交电偶极子天线的实虚部分离的MUSIC 算法在波达方向及极化信息估计上有很高的准确性，采用这种算法进行估计是可行的。

3.2 信噪比

为了进一步考察基于三正交电偶极子天线的实虚部分离的MUSIC 算法在波达方向及极化信息上的估计能力，在不同的信噪比条件下进行了仿真测试。在与上述仿真条件相同的情况下，控制SNR 变化范围为-15～15 dB 时，得到不同的空间谱仿真结果，此处仅展示-15 dB 和15 dB 的结果，如图6、图7 所示。

可以看出，随着信噪比的提升，波达方向和极化信息的空间谱峰变得更加尖锐，并且准确性有了很大的提升。当信噪比为-15 dB 时，对于三正交电偶极子天线而言，噪声干扰过大，导致其估计结果并不准确，与实际模拟的参数相差甚远。而在信噪比为15 dB 时，空间谱形状尤其是极化参数空间谱有了极大的改善，且估计结果十分精准。

若分别截取对应空间谱截面则可以进一步得到如图8、图9 所示结果图。

可以清晰地看出：在信噪比较低的情况下，谱峰位置与初始设置的参数并不能一一对应，估计结果存在较大的偏差；但是在信噪比提升的情况下，获得的估计结果十分准确，空间谱峰也变得更加尖锐，可以高于背景30 dB 以上，波达方向空间谱更是达到了40 dB。

使用蒙特卡罗方法[14]（Monte Carlo Method）进行多次模拟，则可以得到各个参数的估计值标准差和均方根误差随信噪比的变化情况，如图10、图11 所示。

由图10、图11 可知，随着信噪比的增大，各参数估计值的标准差和均方根误差都逐渐减小，在信噪比大于10 dB 以后，标准差和均方根误差都极小，角度误差小于1°，长短轴之比的误差几乎为0。因此可以认为，在10 dB 信噪比下，算法具有良好的估计精度，所以在实际应用中应尽可能保证信噪比高于10 dB。

同时为体现算法性能在信噪比上的优化，在同等仿真条件下，采用蒙特卡罗方法对干涉法完成多次模拟，得到干涉法算出的空间角度估计值标准差和均方根误差随信噪比的变化情况，如图12、图13 所示。

由图12、图13 可知，干涉法在SNR=30 dB 时的测角误差与测角标准差与本文提出算法在SNR=10 dB 时相当，即干涉法只能在信噪比高于30 dB 时正常工作，拥有较为精准的估计值，而基于三正交电偶极子天线的MUSIC 算法在信噪比为10 dB 时，就能拥有较准的估计值。

3.3 快拍数

若控制其他条件不变进而考察快拍数对算法估计性能的影响时，取信噪比为10 dB，设置快拍数N分别为1 280 和20 480，则可以得到如图14、图15 所示的仿真结果。

可以明显看出，在信噪比较高的情况下，随着快拍数增加，空间谱形状有所优化，空间谱峰变得更加尖锐，与背景的差值也会有所增大，当快拍数达到N=20 480时，能更好地分辨出谱峰的位置。

再次使用蒙特卡罗方法进行多次模拟，可以得到各个参数的估计值标准差和均方根误差随快拍数的变化情况，如图16、图17 所示。

从图16、图17 中可以看出，在信噪比为10 dB 的情况下，随着快拍数的增加，各个参数的估计值标准差和均方根误差随之减小，在快拍数N大于7 680 时，角度值的估计值标准差和均方根误差都小于1°，长短轴之比的误差也几乎为0。可以表明在SNR 一定的情况下，提高快拍数可以增加估计精度。

4 结 语

本文基于三正交电偶极子天线的理想导向矢量，提出了一种实虚部分离的MUSIC 算法，用于二维空间角和二维极化信息联合估计。在引入极化信息的同时，不但没有增加算法的计算复杂度，反而进一步提高了算法的估计性能，完成对波达方向和极化信息4 个参数的估计。通过实验仿真对算法可行性完成了验证，同时详细分析了多种参数变化对于算法估计性能的影响，为后续定位实验打下坚实的理论基础。