从一道平抛运动练习题看数学与物理的结合

栗麒婷

笔者近期从一道平抛运动练习题中，深刻体会到了数学知识在物理解题中的应用，有些时候数学手段可以帮助我们更好地分析解决问题，现与大家分享。

题目如下：如图所示，竖直平面内有一个四分之一圆弧AB，0A为水平半径，现从圆心0处以不同的初速度水平抛出一系列质量相同的小球，这些小球都落到圆弧上，不计空气阻力，则小球落到圆弧上时（D）

A.越靠近A点飞行时间越长

B.速度方向可能沿半径向外

C.越靠近A点速度越大

D.越靠近A点初速度越大

解析如下：从排除法结合正确选项分析判断的角度来讲，此题很容易选出正确答案。A选项飞行时间的长短主要看竖直方向下落的距离，距离越大，下落时间越长，故A错误。B选项：根据速度的反向延长线过水平位移的中点可知，速度方向不可能沿半径向外，故B错误。D选项：根据以及可知，越靠近A点，水平位移x越大，時间t越小，则初速度越大。故D正确。C选项：越靠近A点，水平速度（即初速度）越大；根据可知，越靠近A点，竖直方向速度越小，那么合速度怎样变化呢，我们并不清楚。但不影响选出正确选项。

那C选项合速度究竟是怎样的变化情况？我重新思考，写出表达式并将数学和物理相结合进行推导，得出合速度先减小再增大的结论，并求出了合速度的最小值。

推导过程如下，与大家分享：

设小球落在四分之一圆弧上的点与抛出点0的连线与水平方向的角为θ，则可列如下三个式子：

（1）

（2）

（3）

再带入 （4）整理可得

（）  （5）

这个时候我们需要用到数学的处理方法，令，则，同时（5）式可整理为

（6）

从数学的角度看，这显然是一个对号函数，当（即，）时，速度有最小值，此时落点与水平方向的夹角为。当时，速度随角度的增大而减小；当时，速度随角度的增大而增大。综上，在靠近A点的过程中，速度先减小再增大，C选项错误。

从这个题目中，我们可以看到数学知识在物理学习和解题中的重要性，希望老师能有意识地引导学生学好数学，并把数学知识应用到物理解题中去。