浅析数学课堂留白的原则与形式

蔡国发

甘肃省武威第三中学 733000

留白作为课堂艺术的基本表现形式之一，是指教师有意识地给学生留出空白时间与空间，让学生有更多思考与尝试的机会.格式塔心理学提出：“我们可将任何事物理解为完整的结构，当人们看到该事物有缺陷或空白时，就会不由自主地产生一种内驱力，驱使大脑产生填补与完善的命令，让该事物趋向完整，以达到心理的平衡［1］.”教师也应抓住学生的这种心理特征，在课堂中适当留白，赋予课堂更多的生命力.

课堂留白的原则

留白虽好，但在何处留、怎么留，是值得探究的问题.留白因课而异、因生而异，但所遵循的原则是一致的.从学生的认知与思维层面来看，课堂留白应遵循以下几个原则：

1.最近发展区原则

课堂留白是为了训练学生的思维，从表面上来看，是给学生留下思考的余地，其实留白所蕴含的是学生的思维发展.留白时，应结合教学内容与学生的最近发展区，只有互相匹配的留白，才能驱动学生的探究欲，让学生踮起脚尖就能够得着［2］.但是，教师若提出的是“是不是”“对不对”等封闭式问题，不需要学生加以思考就能回答，这种则不算留白.

2.适用性原则

留白并不是想留就留，而应根据学生的认知水平来决定.如针对一些基础差、认知水平低的学生，教师给予留白的时间就要稍许充足一些，思维的量应少一些，必要时应给予适当的引导与启发；针对基础扎实、思维灵活的学生，则可以根据学生的实际情况，控制留白的节奏与时间.

3.探究性原则

高中数学中的概念、公式或定理等都比较抽象，蕴含着丰富的数学文化与数学思想.教学中，教师可以充分挖掘这些深层次的内容，利用留白启发的方式，引导学生进行局部探究，让学生的思维在探究过程中得以发展与升华.教师应把握好概念教学时留白的时机，给学生创造探究的机会，让学生通过探究拓展思维、提升能力.

4.整合性原则

课堂中，当新授内容与学生原有知识之间存在着一定的联系时，可以暂缓展示新知，而通过各种形式的留白，鼓励学生自主发现储备知识与新知之间存在的区别与联系，引导学生通过对知识之间关系的梳理，明晰知识脉络，自主建构新的认知体系.

课堂留白的主要形式

从留白最初的概念来看，它是指中国绘画过程中着墨疏淡，用空白来构造一种空灵的韵味，给人留以美的享受.由此可见，留白不仅是一种艺术，更是一种智慧与审美的表现.将它迁移到数学教学中，不仅能给学生创造更多思考的空间，还能有效地激发学生学习的主观能动性，为核心素养的提升奠定基础.不同的课程类型与授课内容，应采取不一样的留白形式.一般情况下，留白存在以下三种形式：

1.显性留白

显性留白是指教师呈现出明显的沉默与停顿，学生很容易辨别出教师给他们提供了思考的机会.这种方式也是课堂留白常用的一种，它具有非常明显的留白痕迹，学生也有充裕的时间去思考或探究问题.

案例1“抛物线及其标准方程”教学.

纵向来看，抛物线的概念学生在本节课之前就有所接触.第一次是初中阶段，学习二次函数图像时；第二次是在物理学科中，学习平抛物体或斜抛物体运动轨迹为抛物线的一部分时.因此，课程设计可以联系学生原有认知结构，选择将新知纳入旧知的形式进行教学.

横向来看，本节课内容隶属于圆锥曲线与方程的范畴，教师可将本节课教学内容与椭圆、双曲线等知识联系在一起，以期引导学生发现它们之间存在怎样的个性和共性特征，这涉及三种曲线异同点的区分.

引导学生从教学内容的纵、横两面入手，不仅能建立完整的知识网络，还能整合学生的思维，完善学生的认知体系.本节课实施课堂留白，笔者主要从以下几个方面进行：

（1）情境导入处留白

留白1：利用多媒体展示彩虹、喷泉的图片，播放跳水、投篮的视频.提问：说一说生活中还遇到过哪些抛物线.

设计意图：引导学生回顾与抛物线相关的生活经验，切入主题.

留白2：请大家归纳一下，之前我们是从哪些方面着手的？是怎么研究椭圆和双曲线的？

设计意图：引导学生回忆学习椭圆和双曲线的共性方法：定义—建系求标准方程—认识性质.

（2）课堂讲解处留白

留白3：用几何画板展示抛物线的定义，要求学生根据定义求曲线方程.

设计意图：引导学生用建系的思想求曲线方程，为接下来的探究活动奠定基础.

留白4：通过建系求方程，有没有什么地方值得注意？

设计意图：让学生思考点F是否在直线l上，并通过局部探究来完善认知.

2.隐性留白

隐性留白是指不留痕迹地进行留白，即教师没有呈现明显的停顿，但起到了留白的效果.这种方式在授课中常用，这对吸引学生的注意力，引导学生跟上教学节奏，启发学生的思维具有重要作用.

如在授课过程中，教师适当地减慢语言速度，让反应较慢的学生跟上教学节奏；教师有时故意将声音拖长，在学生给出相应的反馈时，再进入下一个环节；有时用呼之欲出的答案引诱学生接话，等等.

隐性留白由于时间有限，并不能让学生产生较大的思维量，一般以“补白”的形式呈现.它的关键作用在于观察学生的上课状态，具有避免学生上课开小差、走神等作用，对提高学生听课效率具有一定的影响力.

3.综合留白

综合留白是将显性留白和隐性留白综合应用的一种方式，即结合教学需求，灵活应用前两种留白方式，让课堂具有一定的节奏感.课堂本就是一个动态的活动场所，即使是同一个教师面对同一群学生讲同样的内容，都会呈现出不一样的课堂状态.因此，留白应结合课堂实际进展，合理选择留白方式与频次，并随着课堂的变化与生成而作适当的调整，达到点拨、启发的作用.

案例2“等比数列前n项和”教学.

公式、定理等的推导与证明都具有重要的教育意义，教师可以应用综合留白的方式，引导学生挖掘其中的数学思想，锻炼学生的思维.

显性留白1：这种方法（错位相减法）适用于具备什么特征的数列求和？

设计意图：留下充足的时间与空间让学生进行领悟与观察，并获得这样的理解：“错位相减法除了能求等比数列前n项和外，还可以用于非等比数列的求和运算，因此这是研究数列求和的重要方法之一.”

显性留白2：还有其他推导方法吗？

设计意图：鼓励学生进行自主探究，若学生感到迷茫，教师可以适当地进行启发，如“是不是可以类比等比或等差数列求通项公式进行迭乘或迭加？”

隐性留白：a1=a1，a2=a1q，a3=a2q，…，an=an－1q，等式两边分别相加，可得a1+a2+…+an=a1+q（a1+a2+…+an－1）.已知等式的左边为Sn，那么等式的右边是……（拖长声音）将右边的式子变形后再观察它与Sn的关系（稍停顿），我们要特别留意n≥2这个条件.

设计意图：此过程呈现出了两次显性留白和一次隐性留白，其目的是吸引学生的注意力，深化学生对Sn的理解，等等，尤其是最后一问，是关键的一步.Sn=a1+qSn－1=a1+q（Sn－an），可得（1－q）Sn=a1－qan，求出Sn（q≠1）即可获得公式.

显性留白3：我们还有其他推导方法吗？（适时启发：是否可以从等比数列的定义与性质的角度进行思考呢？）（方法略）

设计意图：以此分别引出Sn=（q≠1），Sn=（q≠1）两个公式.这种推导方法应用了等比数列的定义与比例的性质，对训练学生的数学思维具有重要的启发作用.

总之，让学生积极参与课堂教学，并表现出会思考、愿思考的态度，是提高教学效率的关键.留白的方式能有效深化学生对知识的理解和融会贯通，培养其数学思维，为创新意识的形成奠定基础［3］.因此，教师应有意识地合理应用留白，为学生的思维发展提供更广阔的空间，以彰显出教学的机智性与艺术感.