如何根据数列的递推关系式求通项公式

毛佳艳

數列的递推关系式一般是指相邻两项或三项之间的关系，通常用an+1、an、an-1来表示.由递推关系式求数列的通项公式，需仔细研究数列的递推关系式，对其进行合理的变形，才能顺利求得问题的答案.本文主要谈一谈如何根据数列的递推关系式的形式求其通项公式.

一、形如an+1-an=f（n）的递推关系式

形如an+1-an=f（n）的递推关系式，表示的是数列的前后两项之差项是一个关于n的式子，可以将通项公式an用相邻两项之差的和来表示，即an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1.根据递推关系式求得这些相邻项之差的和，便可用关于n的式子来表示an，化简所得的结果，即可求得数列{an}的通项公式.

例1.

令n=1，2，3，…，n-1，便可根据已知的递推关系式，求得数列中所有相邻两项之差，将其累加，即可求得数列的通项公式.对于形如an+1an=f（n）的递推关系式，也可采用类似的思路，令n=1，2，3，…，n-1，将这些式子累乘，即可求得数列{an}的通项公式.

二、形如an+1=Aan+B的递推关系式

形如an+1=Aan+B的递推关系式比较常见，通常需引入参数k，将其设为an+1-k=A（an-k），然后将其与已知递推关系式的系数进行对比，即可求得k的值，这样便构造出等比数列{an-B1-A}.根据等比数列的通项公式，就能求得数列{an}的通项公式.

例2.已知数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求数列{an}的通项公式.

引入参数k，便可构造出等比数列｛bn｝，根据等比数列的通项公式求得数列｛bn｝的通项公式，即可得到数列{an}的通项公式.

例3.

通过取倒数，便可将递推关系式转化为an+1=Aan+B的形式，再引入参数，便可构造等比数列，根据等比数列的通项公式来求得问题的答案.

可见，递推关系式不同，求数列通项公式的方法也不相同.因此，求数列的通项公式，要重点研究数列的递推关系式，将其进行合理的变形，如令n=1，2，3，…，n-1，再将其累加或累乘；引入参数或取倒数，再将其构造成等差、等比数列的通项公式，这样便可将问题顺利转化为简单问题来求解，达到化难为易的目的.

（作者单位：陕西省神木市职业技术教育中心）