一类非齐次耦合弱退化抛物方程组的零可控性

杜润梅, 陈博远, 梅海婷

(长春工业大学 数学与统计学院， 吉林 长春 130012)

0 引 言

偏微分方程来源于物理、化学、生物、天文学等学科,由于它具有广泛的应用背景,一直是备受学者关注的研究领域。抛物方程是偏微分方程的基本方程之一,可以用来描述反映扩散模型、热量传播模型等,抛物方程组可以用来描述生物种群模型。在实际问题中,退化的抛物方程能更好地模拟实际问题,因而吸引了越来越多学者的关注.文献[1-4]研究了在边界退化抛物方程的能控性,文献[5-7]研究了在边界退化抛物方程组的能控性。具体来说,文献[5]研究了退化抛物方程组

ut-(xαux)x+c(x,t)u=g+hχD, (x,t)∈QT,

vt-(xαvx)x+d(x,t)v=uχD, (x,t)∈QT,

的初边值问题的零能控性,其中0<α<2,QT=(0,1)×(0,T),c,d∈L∞(QT),D=(a,b)是(0,1)上的非空真子集,χD是D上的特征函数,g∈L2(QT),h是控制函数。文献[6]研究了退化抛物方程组

ut-(xαux)x+C11(x,t)u+C12(x,t)v=hχD,

(x,t)∈QT,

vt-(xαvx)x+C21(x,t)u+C22(x,t)v=0,

(x,t)∈QT,

的初边值问题的零能控性,其中0<α<2,C11,C12,C21,C22∈L∞(QT),h是控制函数。文献[7]研究了n个方程,m个控制函数的退化抛物方程组的能控性。文中研究如下退化抛物方程组的初边值问题的零能控性:

ut-(xαux)x+C11(x,t)u+C12(x,t)v=g+hχD,

(x,t)∈QT,

(1)

vt-(xαvx)x+C21(x,t)u+C22(x,t)v=0,

(x,t)∈QT,

(2)

u(0,t)=u(1,t)=v(0,t)=v(1,t)=0,

t∈(0,T),

(3)

u(x,0)=u0(x),

v(x,0)=v0(x),x∈(0,1),

(4)

其中0<α<1,C11,C12,C21,C22∈L∞(QT),u0,v0∈L2(0,1),g∈L2(QT),h是控制函数。

假设存在a1,b1,μ>0满足a≤a1

(5)

定义Hilbert空间

其中

eM(t)=exp(Mt-4)。

文中主要结果有如下定理。

定理1存在一个正数M=M(D,T)，使得当g∈L2(eM(T-t)),u0,v0∈L2(0,1)时,存在h∈L2(QT),问题(1)～(4)的解满足

u(x,T)=v(x,T)=0。

众所周知, 问题(1)～(4)的零能控性等价于其对偶系统的可观测性。因此，文中主要证明对偶系统的能观不等式。

1 退化抛物方程的适定性及Carleman估计

关于退化抛物方程的适定性及Carleman估计, 考虑方程

wt+(xαwx)x+c(x,t)w=F,

(x,t)∈QT,

(6)

w(0,t)=w(1,t)=0,t∈(0,T),

(7)

w(x,T)=wT(x),x∈(0,1),

(8)

其中,c∈L∞(QT),F∈L2(QT)。

定义

由半群理论, 可以得到问题(6)～(8)的适定性。

引理1[1]令F∈L2(QT)对于wT∈L2(0,1),问题(6)～(8)存在一个唯一解

H1(0,T;L2(0,1))。

注1由引理1可得问题(1)～(4)的适定性。

定义

Ψ1(x)=x2-α-2,

Ψ2(x)=e2rξ(0)-erξ(x),x∈[0,1],

Ψ(x)=ζ(x)Ψ1(x)-(1-ζ(x))Ψ2(x),

φ(x,t)=θ(t)Ψ(x),x∈[0,1]。

有如下Carleman估计。

引理2[1]存在两个正常数C,S0,使得对所有s≥S0和问题(6)～(8)的解w,有

其中M(s)是依赖于s的常数。

2 对偶系统的Carleman估计

问题(1)～(4)的对偶系统

yt+(xαyx)x-C11(x,t)y-C21(x,t)z=0,

(x,t)∈QT,

(9)

zt+(xαzx)x-C12(x,t)y-C22(x,t)z=0,

(x,t)∈QT,

(10)

y(0,t)=y(1,t)=z(0,t)=z(1,t)=0,

t∈(0,T),

(11)

y(x,T)=yT(x),

z(x,T)=zT(x),x∈(0,1),

(12)

其中yT,zT∈L2(0,1)。

命题1存在两个正常数C,S1,使得对所有s≥S1和式(9)～式(12)的解(y,z),有

s3θ3x2-αz2)e2sφdxdt≤

证明 由引理2,存在C1,C2和S1,使得对所有s≥S1,有

(13)

(14)

设P(x,t)=z(x,t)e2sφ,(x,t)∈QT,由z(0,t)=0,可得P(0,t)=0，

(15)

由φ定义：

∬QTz2e2sφdxdt≤

取s充分大,使

有

则有

∬QTz2e2sφdxdt≤

(16)

同理,若取s充分大,使

则有

∬QTy2e2sφdxdt≤

(17)

由式(13)、(14)、(16)、(17), 可得当

时，

定理2存在s和C,使得

0≤ζ1(x)≤1, 0

ζ1(x)=1,x∈O,

ζ1(x)=0,x∈(0,1)(a2,b2),

且

其中

注意到

和边界条件式(11), 分部积分可得

I1+I2+I3+I4。

(18)

I1=0。

(19)

由Hölder不等式，

(20)

其中δ1待确定,C(δ1)是与δ1有关的常数。

(21)

由命题1及ζ1(x)=1,x∈O,有

(22)

(23)

综合式(21)～式(23)和式(5)，有

由命题1, 可得定理2。

3 能观不等式

定理3存在充分大的M>0和C>0,使得式(9)～式(12)的解满足

证明 在式(9)两边乘yt,式(10)两边乘zt,相加并在(0,1)上积分,得

(24)

类似于式(15)的证明,有

(25)

(26)

因此, 由式(24)～式(26),

即

故,由定理2,

(27)

由式(25)～式(27),

(28)

(29)

(30)

由式(30)和定理2

(31)

由式(28)、 式(29)、 式(31)可得

由于对偶问题的能观性等价于原问题的零能控性,定理1得证。