一道截面问题的探究之旅*

林清利 吴晓明 曾献峰 (福建省莆田第一中学 351100)

在我校近期的一次考试中，学生在一道作截面图问题上得分不够理想．在批阅试卷过程中发现不少学生未作答或得分很低，同时发现存在多种解法，但有些解法是错误的．这引起了笔者的思考：为何一道看似简洁、直观、普通的试题得分情况却不理想？下面我们一同探个究竟．

题目如图1，三棱柱ABC-A1B1C1中，M是AA1的中点，过MC1作该三棱柱的截面α，使A1B∥α，写出作图步骤，并证明．

图1

1 错解分析

错解1 如图2，设AB中点为N，连结MN，则截面为△C1MN．

图2 图3 图4

经了解，不少考生对于截面的概念模糊不清，错误地认为截面就是平面，只要能找到截面上的三个不共线的点，那么这三个点确定的三角形就是截面．事实上，截面是指平面与几何体的面相交所围成的平面图形．所以截面的每条边均在几何体的表面，而图2中C1N在几何体内部，从而截面不是△C1MN．

错解2 如图3，设AB,BB1中点分别为N,D，连结MN,ND,DC1，则截面为四边形C1MND．

错解3 如图4，设AB,BC中点分别为N,D，连结MN,ND,DC1，则截面为四边形C1MND．

有的考生凭感觉取中点D，想当然认为截面就是四边形C1MND，然而C1，M，N，D四点不共面．事实上C1M与ND是异面直线．这些考生缺少对平面的直观想象，对两条异面直线缺乏直观的判断经验．普通高中教科书数学必修第二册(A版)第131页例2告诉我们一种判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线[1]．若学生能运用这个方法来判断，就可以避免犯这种错误．

2 解法探究

作几何体的截面，往往是先找到截面与几何体的三个不共线的公共点，这三点确定一个三角形，再对这个三角形进行延展．延展的基本手法是延长某条边，或者过一点作对边的平行线．其理论依据是平面的三个基本事实．若涉及平行、垂直的问题，还需要线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，以及三垂线定理等．

本题中要作出截面，考虑从线段C1M的端点下手作直线，但可能还是不清楚如何作直线．我们可以把最终目标A1B平行截面α当作条件考虑，可以想象让A1B平行移动起来，不难发现在平面A1AB内，设AB中点为N，连结MN，则MN∥A1B，MN⊂α,A1B⊄α，从而A1B∥α，接下来再作截面．

思路1通过延长直线来延拓平面

分析1 图2中平面C1MN与平面C1CBB1有一个公共点C1，直观想象MN的延长线与平面C1CBB1相交，此交点与点C1的连线就是平面C1MN与平面C1CBB1的交线．

解法1 如图5，延长MN,B1B，设MN∩B1B=D，连结C1D，交BC于点E，连结EN得截面MNEC1．

图5 图6

分析2 同分析1，考虑作平面C1MN与平面ABC的交线．

解法2 如图6，分别延长CA,C1M，设CA∩C1M=D，连结DN并延长交BC于点E，连结C1E得截面MNEC1．

思路2通过作平行直线来延拓平面.

分析3 要延拓△C1MN所在平面，可以从其顶点下手，作对边的平行线．基于图形的直观，尝试过点C1作MN的平行线．

解法3 如图7，过B作直线BD//AC,设BD=AC,易证BD平行且等于A1C1,则四边形A1BDC1是平行四边形，从而A1B//DC1.又MN//A1B，所以MN//C1D，那么M,N,C1,D共面．连结DN交BC于E，连结EC1得截面MNEC1．

图7 图8 图9

分析4 从其顶点下手，作对边的平行线．尝试过点N作MC1的平行线,但这条平行线与平面BCC1B1的交点F不易直观确定,故考虑让MC1“落地”，即取CC1中点D，则AD//MC1，那么在△ABD中，易知点F的准确位置．

解法4 如图8，取CC1中点D，连结BD，取BD中点F，连结C1F并延长交BC于E.易证MC1//AD,AD//FN，那么MC1//FN，从而M,C1,F,N共面，连结EN得截面MNEC1．

分析5 除了直观地平移A1B至顶点M或C1，尝试平移至△C1MN内部的某个位置．考虑平面A1BC与截面必相交，则A1B平行该交线．

解法5 如图9，连结A1C，设A1C∩C1M=O，设BC∩α=E，因为A1B//α,A1B⊂平面A1BC,α∩平面A1BC=OE，则A1B//OE.易得E是线段BC的三等分点(靠近点B)，连结EC1,EN得截面MNEC1．

分析6 由于上下底面平行，故截面与它们的交线必平行，这样可轻松作出交线C1D和EN确定截面．

解法6 如图10，延长NM,B1A1，设NM∩B1A1=D，设P,Q,E分别为C1B1,CB的三等分点，连结C1D,A1P,AQ,PQ,EN，易证C1D//A1P,A1P//AQ,AQ//EN，则C1D//EN，从而C1,D,E,N共面，连结EC1得截面MNEC1．

图10 图11

分析7 平面C1MN可转化为面面平行，容易想到过A1作直线平行于C1M．再利用平行平面被第三个面截得的交线平行，进而延拓平面C1MN．

解法7 如图11，延长CC1至D，使得C1D=A1M，易证A1D//C1M，又A1B//MN，从而平面C1MN//平面A1BD，则平面C1CBB1与它们的交线平行，设截面与BC交于点E，那么C1E//BF，易知E为CB的三等分点(靠近点B)．连结EC1,EN得截面MNEC1．

思路3向量法

分析8 文[2]基于平面、空间向量基本定理，用向量法轻松作出截面图，令人拍案叫绝，故尝试之．

图12

3 追根溯源

从上面的求解过程我们可以发现，学生对截面问题的思考必须经历识图、想图到构图的过程，要通过观察、分析、想象、推理、计算才能加以求解.这是立体几何教学所要求的核心素养，能很好地体现新课程背景下要求学生自主探究的理念．课程标准为帮助教师更好地理解数学学科核心素养与内容、教学、评价、考试命题的关系，提供了一些范例，其中的案例11便是一个有关截面的问题——《正方体截面的探究》，结合正方体的截面设计问题串引导学生分类找出所有可能的截面、研究截面的形状、获取截面的方法、画出截面的示意图、研究截面面积最大的三角形等．在全国卷高考试题命制中也有所体现，如2016年理科卷I题11、2018年理科卷I题12(具体试题见下方)都是有关正方体截面的问题，试题难度较大，对学生空间思维能力要求比较高；2015年理科卷II题19是有关长方体截面的问题，要求学生敢于试验、敢于探究，当判断错误时能改进试验，试题的设计突出了操作与实践性．

(2016年新课标Ⅰ卷理科第11题)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m,n所成角的正弦值为( )．

(2018年新课标Ⅰ卷理科第12题)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )．

图13

以上三道真题直接或间接地考查作截面图形的问题，图形直观、条件简洁、解法多样，值得细品．前两道选择题以正方体为载体，以面面平行为条件，考查作交线及截面问题．学生能比较熟练地作出图形，可直接作平面进而得交线，也可以转化，或不作出交线．当然亦可不作图，建立空间直角坐标系坐标化求解交线的方向向量，进而用向量夹角表示空间角．第三道解答题以线面平行为条件，可利用向量转化为数量积运算问题，也可以转化为面面平行，先作出平面再确定直线．

人教版教材第140页例题4和第171页12题分别给出了我们熟知的正方体中的面面平行与线面垂直．“直线与平面平行”一节中第138页上的例题3木料画线问题本质上也是一个截面问题．

(第140页例题4)如图14，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面BC1D．[1]

图14 图15

(第171页第12题)如图15，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：(1)B1D⊥平面A1BC1;(2)B1D与平面A1BC1的交点H是△A1BC1的重心．[1]

我们不难发现，上面的几道高考题源于教材并高于教材，题在书外、根在书内．立体几何中的作截面图形问题，往往需要先直观想象图形的结构，分析其特征，再几何论证或者代数运算，以充分发展学生的直观想象、数学运算和逻辑推理等素养．我们要坚持让学生多动手，重视画图，学会转化，引导其思考并提出问题，感悟数学思想，积累数学经验，形成和发展数学素养．