高中数学函数解题思路多元化的方法

福建省东山第一中学 谢玉龙 杨爱玉

一、高中数学函数解题之中的常见问题

（一）审题不仔细

因为高中函数知识信息比较多，涉及的函数问题也更为灵活多变，这就给学生的解题带来了诸多的挑战。学生需要思考很多函数知识因素，并且充分利用函数信息知识点去解答问题、灵活变通问题解答的诸多路径，才能真正寻找到问题的答案。但是，从以往解题的过程来看，依然有很多学生缺乏良好的审题意识，看到问题就立即解答，并没有看到问题到底问的是什么，没有确定好一个解题的核心点，从而造成最后解题的错误和胡乱涂改，这都不利于学生形成完整有效的解题思路。

（二）思路不清晰

在解答高中数学函数问题时，思路不清晰依然是学生常见的一个问题解答错误点。思路不清晰导致解题过程中选择出来的数据信息不合理，解答问题所选的数学理论依据也不适用，从而寻找不到一条正确的解题思维路径。其实，这种现象存在于很多学生的解题过程之中。大部分学生遇到函数难题时，都会存在一种害怕以及不懂就放弃的心理，不会再去探索其中的解题思路，久而久之就出现了各种解题困境。

（三）方法不会用

虽然数学函数课堂上教师讲了非常多的解题方法，但是在实际应用过程中，却很少有学生会去灵活应用。如果一道函数问题稍微变动问法，或者适当对函数问题展开变式训练，很多学生就会出现不适应的现象，或者不知道如何去解答这道函数问题，从而无法获得正确的解题思路。这些都是学生不会使用解题方法的表现，而且学生对一道函数问题的灵活解答也不存在一种清晰的思路，会感觉到函数问题越解越难。

二、高中数学函数解题的关注点

（一）解题前

高中函数问题的解答，关注到的知识信息非常之多。在一开始的数学解题之前，就要做好必要的阅读审题，先对一道高中函数问题展开初步的阅读，以大致了解函数问题之中的一些基本信息，再去进行细致的分析与构建解题思路。此时，在阅读题目内容时，要形成一种逻辑连贯，即先从问题的基础信息出发，再去看一看问题到底是什么，要求我们去解答什么。在了解解答问题的内容与方向之后，才能有效知道题目之中所给出的数据信息到底有何解题用处。

（二）解题中

当学生进入高中数学函数解题中时，就要关注到题目所要解答的问题内容，之后则是围绕问题以及数据信息，去构建解题思路，为解题寻找基本的函数知识原理信息。但是，如果学生存在问题理解的偏移，则会影响其寻找函数知识原理的过程，进而也会影响到解题的准确性。此时，学生依然需要学会去关注到题目所问问题与题目所给数据之间的关系，以在现有数据基础之上利用函数知识原理进行问题解答。如若学生构建不起问题、题目数据与函数原理之间的关系，则无法开展后续问题的解答。

（三）解题后

在学生做好一系列的函数问题解题思路构建之后，则是在已形成的解题思路之上，去运用函数基本知识原理以及题目之中的数据信息，进行函数问题的解答。因而在这样一个过程中，学生就要思考解题思路之中还有哪些方面可以再次进行精简，是否存在多元的解题思路，并在多元解题思路之中再去选择更为优化的解题路径，以缩短解题的时间与效率。但毕竟解答函数问题的时间非常有限，并不是所有学生都能在短时间内寻找到问题解答的路径，多数学生会偏向于普通大众所思考到的解题路径。因而学生对后续函数问题所积累下来的解题路径，都应该学会去积累与再次回顾，以做到知识之间的学以致用。

三、高中数学函数解题的多元思路与方法

（一）从直接观察法寻求解题

在多元函数解题思路之中，一个比较常用和便捷的函数解题方法为直接观察法。虽说直接观察就是直击函数问题，根据对函数问题的观察，寻找出函数解题的方法与思路，但是这一解题方法的应用也具有一定特殊性，即函数问题直接从题目之中就可寻求到解题思路，可直接从题目分析出解题路径，不用再从其他视角去探寻思路，这显得解题非常容易和便捷。可是，考虑到不是所有的数学函数问题都能直接观察出解题的思路，学生依然需要结合函数题目实际内容，想一想题目之中涉及的函数信息是否可以直接获得，是否可以直观看到一道函数问题到底求什么，是否能够直接对题目之中的函数进行辨析来求出答案，这些都是需要学生去发现和思考的问题。

解题分析：在这道函数问题之中，可以直接观察到这是一个分式，并且从函数题目就可以直接观察到分式的分子已经确定了，即已经是“1”，那么分式的大小也只能由分母来确定，即由“x2+2”决定。因此，求函数的值域可以通过直接观察与分析分母x2+2的范围，由此范围来决定整个函数的值域范围，这才是一个简单且直接的问题解答方法。

解题过程：∵x2+2≥2解题反思：由此函数问题的解答，可以获知在整个函数解答过程之中，只要可以直接从函数题目之中获取解题思路，就尽可能基于此基础之上，寻求可靠和有效的函数问题解题方法，使用一种直观有效的解题思路，即按照题目之中所给出的函数知识信息直接推导出函数解题思路，这也是最为根本和有效的函数解题思路与方法。

（二）从配方法寻求解题

在解答高中函数问题的过程中，依然还有另一种解题思路，即普遍使用的配方法，这一方法的使用频率也是非常高的，而且能对学生的解题思路产生一定的思维启发。因而做好对函数解答之中的配方法的理解与认识，是对学生的一大启发性理解与认知，有利于学生获知其中的解题原理以及配方法的解题意义。此时，根据具体的函数题目，先分析题目所问之问题，思考能够运用配方法的方式，将函数化为我们熟悉的函数解析式。如将一个函数进行配方转化，由探讨函数图像的值域问题，转化为数形结合的问题，由此带领学生感知配方法的解题简便性和实用性。

如下面这道函数问题：求函数y=x2-2x，x∈[-1，2]的值域。解题分析：这道题目看似求解一道函数值域问题，且与计算有一定关联，但完全可以通过观察函数，将函数配方成二次函数的具体解析式，以将其变化为二次函数图像求值域的方法，去求解函数值域问题。通过观察y=x2-2x，完全可以利用配方法对其进行函数解析式转化，看成一个二次函数顶点式的形式，进行函数问题的解答。由此打开学生的函数解题思路，引导学生利用数形结合的方式，展开对问题的解析。

解题过程：将函数配方成y=（x-1）2-1

解题反思：对一个函数问题从配方角度进行解题思考，能够从一道看似没有头绪的函数问题中找到直观的解题思路，有利于提升函数解题的效率和质量，也易于学生展开对函数的分析，使得抽象的知识变得形象化，让函数解答变得更有趣和更有意义。

（三）从判别式法寻求解题

函数解题的另一个思路是判别式解题法。谈及什么是判别式解题法，大多数学生是从二次函数的判别式了解到这一概念的，但是学生真正将其应用于高中函数问题的解答却很少，也不知道如何从一道函数问题之中寻找到判别式的用法，因而学生在解题过程中，也容易陷入无思路可解答的尴尬境地。为此，要促使学生真正走出原有函数解题思维的束缚，学会从判别式方面寻找到解题思路，即将一个函数转化为我们熟悉的方程。如将一个复杂的函数转化为关于x的方程，从而变为我们熟悉的一元二次函数方程，进而根据判别式△≥0求解相关的数值。

解题分析：从这道函数问题可以看出，此函数较为复杂，如若直接求解其中的函数值域是非常困难的，需要懂得巧妙将函数进行转化，并且利用判别式的方式，去求解函数问题的答案。比如，这个函数的分母是一个二次函数，且它的开口向上以及恒大于0，可得出定义域为R，且必有根，则可以继续去分母，得到一个函数方程。然后，观察方程并且展开y的分析，逐步引入判别式分析，由此计算出函数的值域范围。

解题过程：分析函数，得出函数的定义域为R。将函数转化为：

解题反思：在整体的解题思路中，涉及了函数的一个转化问题，将其转化为方程问题的解答方法，并利用其根的判别式思路，去求解出函数值域问题，使得整个解题过程变得比较巧妙和有趣，也对整个函数与方程知识展开了衔接式的探索，促使学生懂得结合知识点之间的联系，进行有效的知识融合性分析，进而有利于提升学生的函数问题解题效率与灵活度。

（四）从函数单调性法寻求解题

在上述的诸多函数解题思路过后，依然还有一种函数解题方法，这就是从函数单调性视角去解答函数问题。当学生进入高中阶段之后，先会接触函数的性质分析学习，而其中就会分析到函数的单调性，此性质能够促使函数问题的解答趋向于简单和快捷，同时也帮助学生开发了函数解题的思路，促使学生学会从性质方面去解答函数问题，使得学生整个数学函数问题的解答变得有效和有思路。

如下面这道高中函数问题：若2a+log2a=4b+2log4b，则？

解题分析：此道函数问题构造非常复杂，因此可以构造一个新函数，从函数单调性方面去分析构造函数的单调性问题，由此得出相关的数量关系。此时，根据此道题目的信息，得出a和b是大于0的，因为对数函数之中真数必须大于0，而后就可以对函数进行重新构造，将函数化繁为简，以构造一个新的函数，并根据这个新函数从单调性方面展开分析。

此时，令f（x）=2x+log2x 在（0，+∞）为单调递增，

∴a＜2b

解题反思：通过分析与探究可得出，当一个函数进行重新构造之后，可以从函数的基本性质，如函数的单调性出发，展开问题的分析，这样就能够很快地得出问题解答的路径与方向，使得整个问题解答变得容易许多，而且也能够再次去强化对基本的函数单调性的理解与运用。这也是一次考核学生自身对函数性质理解的过程，有利于提升学生对函数性质的理解与运用。

综上所述，在高中函数问题解答过程中，依然有很多解题思路需要学生去理解与掌握，而无论是怎样的解题思路，都应该做好审题以及基础性质概念的理解与认知，这样才能有效解答出函数问题的答案，从而迎来函数问题解题教学的有效开展。