理解本质·直观构图·优化运算——一道双绝对值之和最值问题的求解与思考

张志刚

（山东省宁阳县复圣中学）

数学运算是六大核心素养之一.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、求得运算结果.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出，数学运算是解决数学问题的基本手段.数学运算是演绎推理和计算机解决问题的基础.另外，《标准》中多次提到的“四基”“知识与技能”“数学运算素养”等，也都指向数学运算和数学运算能力的培养.可见，对于中学数学教学而言，数学运算是关键的教学内容之一，培养学生的数学运算能力也是重要的教学任务之一.

如何在教学实践中有效促进数学运算素养落地？《〈普通高中数学课程标准（2017年版）〉解读》中指出，数学核心素养只有在解决问题的过程中才能有效形成.因此，教师要设计特定的教学任务，引导学生探索和解决问题，促进其数学核心素养的有效生成.而数学解题是巩固基础知识、落实基本技能、感悟思想方法、培育核心素养、提升思维敏捷度的系统活动，是学生掌握数学、学会“数学地思考”的关键途径.波利亚认为，掌握数学就意味着善于解题；中学数学教学的首要任务就在于解题能力的训练.通过解题水平来验证数学思维水平的做法由来已久，尽管不应该成为唯一的办法，但也的确是当前用得最多、操作最方便、公众认可度最高的重要方法.而运算的正确、有据、合理、简洁是运算能力的主要特征.下面以一道双绝对值之和最值问题为例，探讨解题教学中应该如何全面、深刻地理解运算对象，全方位、多视角搭建运算思路，层层深入、筛选优化适切的运算方法，并对运算策略和结果进行推广、延展，促使学生主动思考，发现新问题、找到新规律、得出新结论.

一、问题呈现

此题考查解析几何中的最值问题，在赞赏题目设计简洁清新、构思别具匠心、富含数学思想之余，我们也发现所求代数式为绝对值和的结构，且包含四个变元，需要学生具备较高的数学运算、直观想象、逻辑推理等素养，呈现出较强的综合性、挑战性和选拔性.

二、背景揭示

理解数学、理解学生、理解技术、理解教学的水平是教师专业水平和育人能力的集中体现，是提高数学教学质量和效益的决定性因素，也是有效提升学生数学核心素养的关键点.其中，理解数学就是要了解数学概念的背景，知道数学概念的逻辑意义，理解数学内容所反映的思想方法，懂得知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源.运算对象是体现数学运算素养的载体，深入科学地分析、理解运算对象，可以不断开发应用领域，体现数学应用的广泛性.高中阶段的学生需要掌握数、字母（代数式）、向量等重要的运算对象.例如，字母最主要的作用是可以代替数，可以帮助我们把一些数学问题变成一类数学问题，使得我们能够对问题进行分类研究.

由绝对值的几何意义可知，|a-b|指数轴上表示a的点和表示b的点的距离.此题中的运算对象|x2-x1|+|y2-y1|是否也与两点间的距离有关呢？事实上，该式表示两点(x1，y1)，(x2，y2)间的曼哈顿距离 （Manhattan Distance）.曼哈顿距离一词由十九世纪赫尔曼·闵可夫斯基所创，常用于空间几何度量.其命名渊源是在具有正南正北、正东正西方向规则布局的城市（如曼哈顿）中，道路呈规则网格状，出租车从起点到终点通常无法沿直线行驶，而是会避开建筑物，走几个街区到达.如图1，图中直线段AB即表示我们熟知的两点间的距离，而折线段AB代表的是车辆的实际驾驶距离，即为曼哈顿距离.因此，曼哈顿距离又称为出租车距离或城市街区距离.

显然，该距离正是南北方向的距离加上东西方向的距离.在平面直角坐标系中，若点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则|x2-x1|+|y2-y1|称为P，Q两点之间的曼哈顿距离.如图2，|PM|+|MQ|与|PN|+|NQ|均是 （等价的）曼哈顿距离.

三、尝试解答

正确的运算思路是解决问题的关键.只有正确理解解决问题的思路，才能掌握解决这类问题的通性、通法.而有了运算思路，就能比较容易地选择运算方法、设计运算程序、得到运算结果.而寻找解题思路的过程就是寻找条件知识与结论知识之间逻辑联系或转化轨迹的过程.在这个过程中，我们激活知识、检索知识、提取知识、组织知识，使解题和发展同行.

具体到此题，难点有二：如何理解与应用双绝对值和的结构，如何消元.一方面，对于绝对值问题，可以走“数”的方向，去绝对值转化为函数最值，或者利用绝对值的性质求最值，也可以从形的角度将问题转化为边长问题；另一方面，对于多元问题，可以通过减元来解决，它包含着分多为少、化繁为简、变难为易的自然想法.结合题设条件，可以考虑通过代换、取值等方式达到减元的目的.在此题思路的探索中，以上两个方面要统筹考量、全局谋划.

思路1：直接转化，构造函数.

解析几何的核心思想是用代数方法研究几何图形所蕴含的性质和规律.在解题中，一定充分利用题设条件，用恰当的代数表达式对问题进行刻画，这样才能形成正确的解题思路.此题中可以利用椭圆的参数方程和点在直线上，设出点P，Q的坐标，代入所求绝对值和式，通过去绝对值进一步转化为分段函数并求出最值.

解法1通过三角换元减少变量，从而建立具体的分段函数，结合辅助角公式通过分段讨论求出最小值.此解法的优点是思维简捷、切入自然、易于理解，缺点是推演运算略显庞杂，尤其去掉两个绝对值的过程烦琐、冗长，体现了解析几何题目惯有的“上手容易，运算复杂”的特点.那么，有没有运算量较小的解决之道呢？

思路2：借助柯西不等式和绝对值性质巧妙放缩.

柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R)（当且仅当ad=bc时取等号）是解决最值问题常用的理论根据.其形式特点为：平方和的乘积大于等于乘积之和的平方.此题中，通过仔细观察，发现利用柯西不等式放缩可以将所求代数式转化为已知直线方程和椭圆方程，进而利用两点分别位于直线和椭圆上，消掉未知数求出最值.

解法2借助柯西不等式和绝对值性质等进行放缩，建立了图形与图形、图形与数量之间的关系，非常精妙.但是对学生的观察能力和逻辑推理能力要求较高，技巧性也较强.

解题方法的千变万化是数学趣味的一大源泉，我们理应挖掘更精彩的解题思路.还有其他既能避免复杂运算，又不需要巧思的解题策略吗？

思路3：以直代曲，优化运算.

解题的过程就是题目中隐蔽条件明朗化的过程.解题思路常常是“看”出来的，结果也是“看”出来的，几何直观在探索解决问题的思路中发挥着重要作用.在用解析几何方法和向量方法解决问题的过程中，透过数量关系挖掘几何特征，这一点尤为突出，看图能力是探索解决问题思路的源泉.受前文背景知识曼哈顿距离的启发，我们尝试从图中寻找解题突破口.

如图3，作PQ′⊥Ox，交直线x+2y-8=0于点Q′，作QM⊥PQ′于点M，则|x2-x1|+|y2-y1|=|PM|+|MQ|=|PM|+2|MQ′|≥|PM|+|MQ′|=|PQ′|，当且仅当点M与点Q′重合时等号成立.

至此，我们发现根据图形特征并借助放缩已将折线距离|PM|+|MQ|转化为求线段PQ′的长，并找到了不等式取等号的条件，体现了以直代曲的数学思想.由于此时x1=x2，所以|x2-x1|+|y2-y1|=|y2-y1|.最终实现了减元的目的，问题随之转化为求|y2-y1|的最小值.

为了减少未知数的个数，用参数方程设点，将距离问题转化为求三角函数的最值问题，最后利用正弦函数的有界性求出最值.

通过点P，Q′各自所在的曲线方程，设出相应的坐标，进而将|PQ′|表示为关于变量x1的一元函数，顺理成章地构造函数f(x)，再借助导数工具加以求解.于此，我们可以深刻地体会到，导数对于讨论函数性质（单调性、极值等）的普适性，体现了知识之间的有机衔接与融通.

解法5：如图3，当过点P的切线平行于直线x+2y-8=0时，|PQ′|取得最小值.此时，点P位于第一象限.

借助导数工具求出切点P的坐标，进而得到点Q′的坐标，从而确定|PQ′|的最小值.此解法不需要求出具体的切线方程，仅需要考虑切线的斜率，同样体现了导数对于解决切线问题的优越性.

解法6：如图3，当椭圆过点P的切线平行于直线x+2y-8=0时，|PQ′|取得最小值.

所以|x2-x1|+|y2-y1|的最小值是2.

解法6利用椭圆的切点弦方程和平行线间的斜率关系求出切点坐标，进而结合图形求出最值.规避了解法5中较复杂、容易出错的复合函数求导运算，是对解法5的进一步优化.

需要注意的是，若将直线改为2x+y-8=0，此时直线的斜率绝对值|-2|≥1.如图4，作PQ′⊥Oy，交直线2x+y-8=0于点Q′，作QM⊥PQ′于点M，则|x2-x1|+|y2-y1|=|PM|+|MQ|=|PM|+2|MQ′|≥|PM|+|MQ′|=|PQ′|.当且仅当点M与Q′重合时等号成立，即y1=y2时，|x2-x1|+|y2-y1|=|x2-x1|取到最小值.因此，我们发现，总是在特殊情形x1=x2（或y1=y2）时，|x2-x1|+|y2-y1|取到最小值.

四、总结提升

以上从不同思路完成了对题目的解答.然而，数学总是力图寻求蕴含于数与形中的普遍性规律，并用抽象的、概括的概念和公式来表述这些规律，使曾经的“火热的思考”沉淀在“冰冷的美丽”的规律中.其中，“回顾与反思”是波利亚重点强调的：一个好的教师必须理解这些，并使他的学生深刻认识到没有任何一个题目是彻底完成了的，总还有些事情要做；在经过充分的研究和洞察后，我们可以将任何解题方法加以改进，而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解.学生通过回顾完整的解答，重新斟酌、审查结果，以及导致结果的途径，能够巩固知识，提升解题能力.每个解题思路是如何探寻发现的？各自有何优势与缺点？解题方法是如何优化完善的？解题策略和结果能否进一步推广？这些都应该在回顾与反思的范畴之内.

例如，追求解题过程的简单，追求思维过程的经济，是解题研究的一项基本任务.在解题坐标系中，表现为解题折线的简短或思维链的优化.显然，面对上述题目中动点P，Q，M的关系，思路3在数形结合思想的引领下，基于有效的构图策略，经历了“构图—推理—运算”三步，借助直线的斜率得到了|PM|+|MQ|≥|PQ′|，把问题转化为|PQ′|的最小值问题，再借助三角代换、导数等知识求解，取得了有序思考、优化运算的效果，理应成为解决此类问题的首选策略.

基于以上分析，可以进一步归纳、概括出以下事实.

结论：已知点P(x1，y1)在曲线C上，点Q(x2，y2)在直线l上，记d(P，Q)=|x2-x1|+|y2-y1|，直线的斜率为k，则d(P，Q)的最小值取决于|k|与1的大小关系.

（1）若|k|＜1，则当x1=x2时，d(P，Q)取到最小值；

（2）若|k|≥1，则当y1=y2时，d(P，Q)取到最小值.

证明：（1）如图5，作PQ′⊥Ox，交直线l于点Q′，作QM⊥PQ′于点M.

因为|k|＜1，

所以当PQ⊥Ox，即x1=x2时，d(P，Q)取到最小值|y2-y1|.

（2）如图6，作PQ′⊥Oy，交直线l于Q′，作QM⊥PQ′于点M.

因为|k|≥1，

所以d(P，Q)=|PM|+|MQ|=|PM|+|k||MQ′|≥|PM|+|MQ′|=|PQ′|.

所以当PQ⊥Oy，即y1=y2时，d(P，Q)取到最小值|x2-x1|.

综合前文解答可知，解答此类以曼哈顿距离为背景探求双绝对值之和的最值的新定义问题，解答思路宽广，选择空间较大.围绕双绝对值之和的结构特征，从数的视角分析，可以通过去绝对值将问题转化为分段函数的最值问题，或者借助柯西不等式结合绝对值性质巧妙放缩求得最值.除此之外，还可以从形的视角寻找突破口，将双绝对值之和的代数式与折线距离的几何特征联系起来，使问题的解决从抽象走向直观，从浑浊走向澄明，再通过化曲为直的放缩，转化为求解直线段长度（两点之间的距离）的最值问题.从通性、通法到特征解法，各解法辩证统一.此外，我们需要仔细体会函数与方程、转化与化归、数形结合、以直代曲、消元（减元）、分类讨论等数学思想方法在解题中的应用.在解题教学过程中，教师要引导学生认真剖析题设条件和结论的结构特征，具体问题具体分析，通过观察、比较、联想、实验、概括、推理、证明等多种思维活动，选择适合的解题路径，避免死记硬背、生搬硬套结论的盲目机械训练.

五、结束语

教学的本质是传承文明，使学生学会学习，同时获得社会需要与个人发展的必备品格与关键能力.前文针对一道绝对值和求最值问题，教师引导学生经历了数学概念的建构，以及数学运算和推理的学习.以上探究过程也说明，通过对典型习题的深度挖掘，“揭秘”题目背后的故事与历史渊源，有利于学生理解问题的内涵和本质，也益于触发思维萌芽，开拓解题新思路.在已有学习体验的基础上，充分发挥构图的功能，进行数与形的结合，引领学生经历转化与化归、从一般到特殊的思维活动，有利于优化解题策略，升华、提炼运算结果，有益于形成解决类似问题的通性、通法.而在以上探索过程中，学生解题的方向直觉、自主意识、创新精神、反思习惯、合作观念等良好思维品质也得以有效发展.教师要有计划、有目标、有意识地运用科学的方法进行长期的渗透和培养，使学生逐步领悟运算能力的实质，提升思维能力和数学核心素养.