简论基于教材习题的变式训练

201399 上海市南汇第二中学 潘 春

《上海市中小学数学课程标准》(以下简称“课标”)指出：数学课程不仅应该重视教学的内容和要求，更应该充分关注课程中的学习过程，创设有利于学生、教师发挥主体性和创造性的条件.要遵循认知心理发展的规律，合理组织教学内容；要展现知识的发生、发展、形成和应用的过程；要为学生探索求知创设合适的情景，重视从问题出发、设计以解决问题的活动为基础的数学认识过程；要建立合理的数学学习训练系统；要向学生提供丰富的学习资源，使学生的认知过程提升.

在日常的教学实践中,教师讲解的内容多为教材上的习题，教材习题应该怎样讲解？是照着教材直接搬给学生吗？近几年的中考试卷中不少试题灵感源于教材，难度又高于教材.习题是数学教材的重要组成部分，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源.一道普通的教材习题可能蕴藏着丰富的教学功能，教师应重视教材习题的讲解与变式训练.由一道题引申出一串题，由单向练习发展为多向练习，挖掘源于教材习题又高于习题的变式练习，促使学生思维灵活应变，由表及里、层层深入，拓展学生思维，提高学生综合运用知识和自主学习的能力.笔者结合教学实践，阐述教学过程中的几种“变法”.

一、 变条件或结论，提高学生的类比、归纳能力

很多学生习惯于机械式、呆板地解题，如果略微改变条件或结论，解题就会出现问题，究其原因是学生思维僵化，没有真正掌握知识的本质，不善于联想类比.如果能在教材的习题中通过改变条件或结论进行变式训练，形成题组，对易误解的概念、性质、结论进行类比，让学生清晰地认识到知识的本质，会有更好的教学效果.

学生在七年级第二学期学习等腰三角形时，形如例1(沪教版七年级第二学期练习册习题14.5填空题)的题型经常出现.如果略微改变例1的条件，学生解题就很容易出错.在课堂上将例题与变式放在一起，形成一个题组，能让学生进行明确的比较，更容易记住并掌握等腰三角形的性质.

例1如果等腰三角形的一个底角为34°，那么另外两个内角的度数分别为多少？

变式1如果等腰三角形的一个内角为34°，那么另外两个内角的度数分别为多少？

变式2如果等腰三角形的一个内角为100°，那么另外两个内角的度数分别为多少？

变式3如果等腰三角形的一个外角为140°，那么与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为多少？

六年级第二学期教材第50页中有一道关于环形跑道的例题，在这道例题的教学中，可以改变例题的结论，使得题目变得更具探索性.其变式2需要进行分类讨论，考查了学生思维的严密性.

例2小杰和小丽在400米的环形跑道上练习跑步和竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟走120米，两人同时由同一起点同向出发，几分钟后两人第一次相遇？

变式1小杰和小丽在400米的环形跑道上练习跑步和竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟走120米，两人同时由同一起点反向出发，几分钟后两人第一次相遇？

变式2小杰和小丽在400米的环形跑道上练习跑步和竞走(各自跑完一圈就停下)，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟走120米，两人同时由同一起点反向出发，几分钟后两人相距100米？

在七年级第一学期公式法因式分解的教学中，可对公式中的a和b不断进行变式，先将公式中的a和b变换为单个字母或数字，再换成单项式，再到多项式，形成有梯度的题组，使学生逐步掌握从易到难的公式法因式分解.这一过程中题目由浅入深，有梯度的变式能让学生达到熟练运用公式的效果.

例3a2-b2=(a+b)(a-b).

变式1x2-1=(x+1)(x-1).

变式24x2-1=(2x+1)(2x-1).

变式34x2-9=(2x+3)(2x-3).

变式44x2-9y2=(2x+3y)(2x-3y).

变式54(x-1)2-1=[2(x-1)+1]·[2(x-1)-1].

变式64(x-1)2-9(y+1)2=[2(x-1)+3(y+1)][2(x-1)-3(y+1)].

上述三道例题改变教材中习题的条件或结论，让学生练习在知识、方法上有关联而在形式上又不同的题目组成的题组，使学生加深对一些基本知识、公式及重要的数学思想方法的领会，达到触类旁通的境界,并且拓展了学生思维的深度和广度，使学生克服思维中的绝对化，培养学生观察、分析、概括的数学能力.

二、 变图形，提高学生的逻辑思维能力

很多学生自开始学几何起数学成绩就有所下降，这是因为他们的几何逻辑思维能力还不够，解答几何题时没能深入了解图形间的变化规律或知识点间内在的联系.变式训练是提高学生逻辑思维能力、提高解几何题目能力的方法之一.在课堂上可以改变教材习题的图形，在图形的变化中使学生更加深入地掌握当堂课所要学习的性质、定理，也可以使学生更灵活地将所学知识运用到更多题目中.这样的变式训练能有效提高教学效率，提高学生的逻辑思维能力.

例4(沪教版八年级第二学期教材第98页)

求证：顺次联结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.

变式1求证：顺次联结矩形四条边的中点，所得的四边形是菱形.

变式2求证：顺次联结菱形四条边的中点，所得的四边形是矩形.

变式3(沪教版八年级第二学期练习册第50页) 已知：如图1-1，梯形ABCD中，AD平行于BC，AB=CD，点M，N，E，F分别是边AD，BC，AB，DC的中点.求证：四边形MENF是菱形.

(1)将从知网中导出的81篇文献利用CiteSpace中的data Import/Export功能转换为可用于CiteSpace分析的数据格式，存储在“Data”文件夹中。

变式4已知：如图1-2，四边形ABCD中，AC=BD，点M，N，E，F分别是边AD，BC，AB，DC的中点.求证：四边形MENF是菱形.

图1-1图1-2

变式5已知：如图1-3，四边形ABCD中，点M，N，E，F分别是线段AD，BC，BD，AC的中点.求证：四边形MENF是平行四边形.

变式6已知：如图1-4，四边形ABCD中，点M，N，E，F分别是线段AD，BC，BD，AC的中点，且AB=CD，求证：四边形MENF是菱形.

图1-3图1-4

例4和变式3分别是教材和练习册上的配套习题.改变这两道题目的条件或图形，组成一个题组，学生通过对这组题目的辨别，高效地串起相关知识点，加深对题目知识点的理解，提高解题能力和归类能力.

变图形是一种重要的变式训练手段，也是近年来中考试题中的热点问题.可以通过点的运动,翻折、平移、旋转、剪切、割补等方法来变图形，将发散的条件从图形的某一部分转移到适当的新的位置上.集中、汇集已知条件和求证结论，拓宽解题思路，不仅有助于学生从运动变化的角度去认识事物，了解图形间的联系，还能培养学生的逻辑思维能力以及综合运用知识的能力.

三、 变内容，即一法多用，提高学生求同存异的能力

数学的思想方法有很多，但学生总是不能很好地运用或根本不知道某些方法的用法.很多时候教师在教学中只是教，学生呆板地模仿，这样的教学缺乏对学生数学思维能力的培养，学生仅仅停留在被动学习的层面.有时为了提高数学成绩，学生和教师都步入“题海战术”的误区.将一法多用运用到课堂教学中，不仅能提高学生对数学方法的掌握能力，也能提高学生学习数学的兴趣.同时，课标要求“教师通过对教学内容的‘问题化’组织，将教学内容转化为符合学生心理特点的问题，激发学生的学习兴趣，促进学生的自主探究与合作交流”.在课堂教学中进行一法多用的变式训练时，可以让学生合作交流，达到课标的这一要求.

例5(八年级第一学期教材第97页例题) 已知：如图2-1，D是BC上的一点，BD=CD,∠1=∠2.求证：AB=AC.

图2-1图2-2

教材例题示范了如何用倍长中线法旋转一个三角形构造一对全等三角形(如图2-2所示)，但仅靠这道题还不足以让学生理解和掌握这一方法，所以课堂上笔者又给出了以下变式练习.

变式1如图2-3，在△ABC中，若AB=8,AC=6，求BC边上的中线AD长度的取值范围.(可通过如图2-4的倍长中线法解决)

图2-3图2-4

变式2(2020山东中考) 问题探究：小红遇到这样一个问题.如图2-5，在△ABC中，AB=6，AC=4，AD是中线，求AD的取值范围.她的做法是延长AD到E，使DE=AD，联结BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决.请回答下列各题.

(1)小红证明△BED≌△CAD的判断理由是________.

(2)AD的取值范围是________.

(3)如图2-6，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，联结BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证：BF=AC.

图2-5图2-6

要将一种方法学好、学透不是易事，好办法之一就是变式训练.通过变内容但不变方法来达到深化某种数学方法的目的，学生能触类旁通，举一反三，以有限的训练去领悟数学的机智.这既能让学生减负，不用通过“题海战术”来掌握某种方法，又能提高学生对数学学习的求知欲.

四、 变方法，即一题多解，提高学生的发散性思维能力

目前学生有一个较为普遍的问题：思维单一，不够严密、完整.在题目讲解中，教师可通过变方法有效地训练学生从不同角度考虑问题，提高学生思维的严密性和发散性.一题多解可以沟通知识间的联系，帮助学生加深对所学知识的理解，促进思维的灵活性，提高解决问题的能力，使其品尝到学习成功的快乐.

在讲解习题时，教师往往会将自己的解题思路强加给学生，不给学生“试错”的机会.教师应该树立以学生为中心的理念，让学生去分析问题、解决问题、反思问题，让他们通过独立思考或合作研究等方式充分展示自己的解题思路，把课堂真正交给学生.在《数学学科基本要求》中有如下例题(例6)，笔者对这道例题采取让学生自己讲解的方法.课堂上学生一个接着一个讲解自己的方法，最后笔者又让学生对自己和同伴的方法进行比较，看看谁的方法更好，分别运用了哪些知识点.一节课下来，学生学得不亦乐乎，意犹未尽，课后还在积极讨论.在课堂上进行这样的一题多解的变式训练虽然会花不少时间，可能一节课只能讲解一道题，但这是值得的.因为这样的变式训练既能使学生触类旁通，虽解一题，但实际解了多题，又有助于总结方法，发现方法，使知识升华，还能使学生印象深、兴趣浓，有助于优良思维品质的形成.

图3-1

方法1：如图3-2，过点E作BC的平行线，交AB于点G.

方法2：如图3-3，过点D作AB的平行线，交BC于点H.

方法3：如图3-4，联结AE并延长交BC的延长线于点I.

图3-2

图3-3

图3-4

一题多解的实质是以不同的论证方式反映条件和结论的本质联系，这种变式在几何题中尤其多.这种变式训练要求学生从不同角度思考问题、解决问题，既能开阔思路，又能引发学生学习的兴趣，培养学生的发散性思维.

教材习题是全面评价学生在知识技能、数学思维、问题解决和情感态度等方面综合能力的重要依据，也是考查学生数学核心素养的有效载体，值得深入研究.教材是教师备课、教学的行动指南，教师对教材的理解透彻与否、对教材的使用科学与否直接关系到教学效果.教师可以通过适当改变习题的条件、结论、图形、方法等，引导学生反思教材习题的变式训练，帮助学生巩固所学知识、拓宽思路，举一反三，逐步提高数学思维能力.对教材习题进行变式训练必须先明白习题本身蕴含的知识点以及设计意图，再结合学生实际情况进行变式，让变式训练更具针对性，使教学内容更深入学生的最近发展区.