关于高中数学深度教学的几点认识

［摘  要］ 结合教学实践，提出对高中数学深度教学的几点认识，即深度教学要有问题的引领，深度教学要有深度的思考，深度教学要有深刻的领悟.

［关键词］ 深度教学；问题；思考；领悟

随着“双减”政策的落实，作为一名教师，越来越感到深度教学的重要性. 不难发现，减负是为了增效，如何增效？提高课堂效能是根本. 深度教学是提高课堂效能的有效路径. 它不是教学策略，更不是教学模式，而是一种教学理念［1］. 如何将这种理念落实到高中数学的课堂教学中呢？对此，笔者谈几点认识，供大家参考.

深度教学应有问题引领

无论是学习数学，还是研究数学，其核心都是发现问题、解决问题. 而发现问题更显重要，它是研究数学的第一步. 教学中，教师应积极创设情境让学生发现问题，从而激发学生探究数学的兴趣.

案例1 余弦定理的推导与应用.

学习了平面向量后，如何利用平面向量的数量积运算来推导余弦定理？教学中，笔者提出了以下问题引发学生进行探讨.

问题1：以△ABC的三条边作为三个向量，它们之间存在着怎样的关系？

问题2：利用这个平面向量的等式，和平面向量的有关运算，你能推出什么结论？

问题3：余弦定理有哪些变形（即余弦定理的推论）？

问题4：从形式来看，余弦定理有哪些应用？

生5：已知三角形的两边一夹角，利用余弦定理可以求出第三边.

生6：已知三角形的三边长，利用余弦定理可以求出任何一个内角.

生7：已知三角形的两边一对角，也可以利用余弦定理求出这个三角形的第三边. 我们可以把余弦定理看成是第三边的一个一元二次方程，但这个方程可能无解，可能有一解，也可能有两解. 因为“两边一对角”，不能用它来证明两个三角形全等.

至此，通过问题引例，学生从理论上弄清了余弦定理的向量法推导及其应用. 同时，也得到了“副产品”：三角形中的射影定理.

从本案例可以看出，深度教学中问题应紧紧围绕所授内容，应符合学生的认知水平，并具有一定的发散性. 如问题1，没有直接指明余弦定理，可以让学生发现其他结论. 与此同时，学生参与问题的探讨应具有广泛性，力争全员参与，从而真正调动学生学习的积极性，如本案例中有7位学生踊跃发言. 此外，问题还要具有一定的研究性，如学生7回答的是对问题3进一步研究的结果.

深度教学应有深度思考

数学教学的最终目的是培养学生的思考能力，培养学生思维的深刻性，这也是深度教学的落脚点［2］. 如何评价一堂数学课，笔者以为不在于教学的组织形式，也不在于教学的容量，而在于是否把学生的数学思维引入深处.

案例2 圆锥曲线中的对称问题.

圆锥曲线中的对称问题是高考中的“常客”，这类问题集直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、中点弦、方程与不等式等数学知识于一体，具有较强的知识交汇性和思维深刻性，因而难度很大. 如何让学生深刻领悟这类问题的解法？笔者从多角度引领学生进行思考与探究，以培养学生思维的深刻性.

教师启发1：直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般可采用方程思想，利用判别式以及韦达定理来求解. 两点A，B关于直线l对称，应体现：两点连线与直线l垂直，两点连线段的中点在直线l上. 因此使用这种方法求解时，必须同时确保：①垂直；②平分；③存在.

教师启发2：点差法是解决中点弦问题的一种常见方法，对称问题符合点差法的应用条件，本题可否用点差法？

师：请同学们自主探究，除了上面两种常用方法外，还有其他方法吗？

生8：由方法2可知，还可以利用根的分布求解.

生9：我想到了平行弦中点轨迹法，即先寻求有关弦中点的軌迹，通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系，再利用数形结合法寻求参数m的范围.

至此，经过教师的启发和学生的探究，从四个角度研究了这类问题的解法. 学生对这类问题的思考与把握达到了新的高度.

深度教学如何把学生的思维引向深处，笔者以为有两种基本方法，一种是“一题多解”，通过“一题多解”培养学生思维的多向性和广阔性，让知识融会贯通并形成网络；另一种是“一题多变”，通过对一串相似问题的探究，培养学生思维的灵活性和深刻性.

深度教学要有深刻领悟

深度教学，要让学生学有所思、学有所悟，坚持真理，勇于纠错. 作为教师，不仅要教知识、教方法，更要教学生对数学的反思与感悟，进而让学生领悟数学的真谛.

案例3 二次分式型函数的值域问题.

笔者要求学生分组讨论，然后交流.

小组3：我们用的是判别式法. 把原函数变形为（2y－1）x2+（4－y）x－（y+3）=0. 因为这个关于x的二次方程有解，所以Δ=（4－y）2+4（2y－1）（y+3）=（3y+2）2≥0，解得y∈R. 所以该函数的值域为R.

三组学生得到了两个不同的答案. 显然小组1和小组2的答案是正确的，那么小组3的答案为什么是错的呢？难道判别式法用错了？经过学生反思，小组3的方法忽视了该函数的定义域，如果考虑到定义域，那么得出的答案就是一致的. 于是学生领悟到：对于y=（a，b，c，d，e，f为实数），当定义域为R时，利用判别式法“畅通无阻”，否则采用其他方法去求解. 应用判别式法求这类函数的值域，本质上是将函数问题转化为方程问题，函数的自变量就是方程的根，为了确保转化的等价性，最好是这个函数的定义域为R.

没有反思的学习是肤浅的，是不深刻的，因此深度教学理念下的数学教学，应允许学生犯错，引导学生反思，只有这样，学生对数学知识与方法才有更深刻的领悟.

总之，深度学习是一种理念，是为了摆脱教育内卷的束缚，还教育的本来面目，让教师快乐地教，让学生快乐地学.

参考文献：

［1］  李忠贵. 深度引入：核心素养下数学深度教学的出发点［J］. 中小学课堂教学研究，2021（08）：15-18.

［2］  偶伟国. 新课程背景下深度教学的实践与思考［J］. 中学数学月刊，2020（12）：8-10.

作者简介：龙大维（1966—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作.