基于波利亚解题思想，运用GeoGebra探索立体几何的本质

［摘  要］ 研究者以波利亚解题思想为指导，以现代教学软件GeoGebra为探索工具，尝试将GeoGebra融入高中数学课堂，有效探索立体几何的本质. 文章以一道“异面直线所成角有关的问题”为例，探索了基于波利亚解题思想的高中立体几何GeoGebra可视化教学策略.

［关键词］ 波利亚解题思想；GeoGebra；立体几何

高中立体几何具有较强的抽象性、逻辑性，对于拓展学生的理性思维、树立学生严谨求实的科学精神、培养学生几何抽象等素养具有重要的意义. 传统的高中立体几何教学模式给予学生观察动手的机会较少，相当数量的教师在引导学生解答立体几何问题时，往往依靠“指手画脚”的方式进行演示或练习. 显然，这种教学模式无论在形式上还是在内容上都难以满足新课标对学生提出的要求.

GeoGebra是一款集统计、运算、几何、代数为一体的动态教学软件［1］，可以从根本上解决立体几何教学中“想象不到”的恐惧；同时，波利亚解题思想能够为高中立体几何解题提供一般性的思路，可以有效提高解题的效率和正确率. 两者相结合，对教学立体几何具有深远的意义. 笔者以波利亚解题思想为指导，以现代教学软件GeoGebra为探索工具，尝试将GeoGebra融入高中数学课堂，有效探索立体几何的本质.

基于波利亚解题思想的高中立体几何GeoGebra可视化教学的优势

1. 有利于激发数学学习动机

部分高中学生的空间想象能力较弱，在面对立体几何题目时常常出现“看不到、没得想、画不出、解不出”的困惑，并且随着所学知识的繁杂以及时间的推移，对空间立体几何的学习逐渐失去了信心. 而基于波利亚解题思想的高中立体几何GeoGebra可视化教学对于学生而言具有天然的亲近感，不仅可以引导学生一步一步地思考，还可以将一些难以理解的内容通过现代信息技术转化为直观的动态感性材料，从而有利于构建出较为轻松的学习环境. 例如，在求解“异面直线所成角有关的问题”时，教师可以利用GeoGebra设置粗细显示的线条、丰富多彩的颜色，有效展示数学之美，激发学生学习探究的欲望［2］.

2. 有利于促进核心素养的形成

GeoGebra开源免费，操作简单，功能多样，动态交互性较强，可以将静态化为动态，实现数据与图像的同步变化；同时，GeoGebra网络资源丰富，拥有强大的数据计算能力，可以促使学生全程参与数学概念的生成过程，有效培养学生的抽象和直观想象素养. 例如，在求解“异面直线所成角有关的问题”时，传统教学仅仅通过空间图形的方式展示异面直线所构建的角，而将GeoGebra应用到“异面直线所成角有关的问题”的解决过程中去，可以促使学生很自然地观察到异面直线所构建的角，切实提升学生的数学建模和数据分析等素养.

3. 有利于提升课堂教学效率

传统的立体几何教学展示实物、绘制图形都需要花费大量的时间，并且课堂教学效果并不理想，而基于波利亚解题思想的高中立体几何GeoGebra可视化教学，可以为学生解决立体几何问题提供一般思路，引导学生利用已有的解题经验，尝试将立体几何问题转换为熟悉的知识点进行解决，并且由于GeoGebra可视化的效果，可以降低学生的探究难度，有效突破学生的学习障碍. 例如，在求解“异面直线所成角有关的问题”时，学生可以应用波利亚解题思想，调整GeoGebra参数，开展尝试性的试误学习；还可以为学生提供动手试一试的机会，使得学生的学习更具有“现场感”.

基于波利亚解题思想的高中立体几何GeoGebra可视化教学策略

波利亚解题思想主要体现在波利亚解题表的设计上，在高中立体几何GeoGebra可视化教学中主要从以下几个方面实施.

1. 理解题意

根据新课标对立体几何的要求以及高中立体几何题目的特性，理解立体几何题目就是将题目中的文字语言和符号语言转化为图形语言，画出原始的几何图形，在此基础上明确题目中的条件、已知量和未知量，并将题目定位到相应的知识模块之中，最大限度地迁移解题过程中可能会应用到的相关定理和方法.

其次，以“你有些什么”为主题引导学生在图形中增加3个表示长方体长宽高AA1，AB，BC的点X，Y，Z，目的是将未知量S与已知量X，Y，Z能联系起来，如图2所示.

2. 拟订方案

要解决高中立体几何问题离不开学生的知识储备和已有经验，理解题意后，教师可以引导学生在相应的题库中检索到类似的题目，然后应用数学模型去解题. 但在具体实践中，学生在相应的题库中有时检索不到类似的题目，此时教师可以引导学生应用相应的数学思想去解题. 若上述两种情况都不能满足，教师可以利用解题经验和知识储备将其转化为学生较熟悉的模型去解题.

仍以上述题目为例，当学生理解题意后，教师应及时通过“如何才能求得S”这一问题引导学生将其及时转化为求解共面的两条直线的余弦值，从而应用余弦定理求解获得S.

其中，a可以利用长方体的长、宽、高求得，b可以利用长方体的宽、高求得，c可以利用长方体的长、高求得. 然后应用线段将OX，OY，OZ，PY，PZ，QX，QZ连接起来，如图6所示，从而将X，Y，Z与S建立起联系.

3. 执行计划

顧名思义，执行计划就是将上述思维分析过程综合起来，在拟订方案的指导下，规范地应用数学符号语言将所学知识、思想方法、数学原理等付诸实践的过程［3］.

4. 回顾

回顾即检验、总结和思考，一方面教师应及时引导学生验证所求结果的正确性，另一方面也应引导学生思考在具体问题求解过程中遇到了哪些障碍和困难，当面对这些障碍和困难时是如何解决的，是否还会有其他更加便捷的解题方法，更重要的是教师还应引导学生及时总结题目中的关键信息和题目的相关特征，以便学生遇到类似问题时能够及时通过迁移等方式做到触类旁通、举一反三.

仍以上述题目为例，首先，教师应及时通过主题“你从本题中学到了什么”要求学生从结论出发，即为了获得S，我们需要求解O，P，Q，进而需要用到X，Y，Z，从而在结论和已知条件之间建立起联系. 其次，教师还应通过主题“你是否还有其他求解方式”要求学生拓展思维，联系已学知识和解题经验，用多种方法解决异面直线所成角问题，如通过向量法求解. 最后，教师还应及时组织学生总结该题目所应用到的数学思想和渗透的数学核心素养.

结语

综上所述，基于波利亚解题思想的高中立体几何GeoGebra可视化教学不仅能够激发学生学习的兴趣，还可以为高中立体几何问题的解答提供一般性的思路［4］，帮助学生探索到立体几何的本质，并在自我提问、自我反思、自我总结的过程中有效培养学生的直观想象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养.

参考文献：

［1］  杨璐.基于波利亚解题思想的GeoGebra工具下高考立体几何题的案例分析［D］. 宁夏师范学院，2021.

［2］  肖志军. 探究中深入，拓展中升华——GeoGebra支持下一道圆锥曲线试题的探究［J］. 中学数学，2021（12）：96-98.

［3］  周跃佳. 运用GeoGebra探索解析几何本质，编制直线过定点问题［J］. 中学数学教学参考，2021（33）：74-76.

［4］  朱钊. GeoGebra软件在中学数学函数教学中的应用［J］. 数学教学通讯，2021（30）：50-53+66.

作者简介：陈志远（1984—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学工作.