《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“三会”的数学教育意义阐释

胡吉振 李永桃 陶然

摘 要 《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出了“三会”，即“会用数学的眼光观察现实世界”“会用数学的思维思考现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”。在这“三会”中，“会用数学的眼光观察现实世界”其实就是会用数学的理论解释现实世界，在解释现实世界中要采用数学的思维方式，这就是以数学的思维思考现实世界，数学思维离不开数学语言，采用数学语言表达数学思维的同时也表达了现实世界，可见“三会”是一个有机系统的整体。“三会”的“中心”是“会用数学的眼光观察现实世界”，这个“中心”可以称为“一体”，而“会用数学的思维思考现实世界”和“会用数学的语言表达现实世界”是“两翼”，“三会”就是“一体两翼”的关系。

关键词 数学的眼光；数学的思维；数学的语言；《义务教育数学课程标准（2022年版）》

中图分类号 G633.6

文献标识码 A

文章编号 2095-5995（2022）10-0048-04

一、问题提出

《义务教育数学课程标准（2022年版）》把“会用数学的眼光观察现实世界”“会用数学的思维思考现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”（下文简称“三会”）作为培养学生数学核心素养的指导思想，并用来统领“四基”和“四能”［1］，可见“三会”的重要性是毋庸置疑的。有学者认为“会用数学的眼光观察世界”是“看”，“会用数学的思维思考世界”是“想”，“会用数学的语言表达世界”是“用”［2］。但笔者认为把“会用数学的眼光观察世界”理解为“看”太过于简单。这里的“观察”不是一般的“看”，而是带着数学工作者的职业习惯去“看”，“观察”前面的“眼光”二字也绝不是生物学意义上观察具体事物的眼光。因此，笔者认为，把“观察”理解为“解释”是比较合理的。把“会用数学的思维思考现实世界”理解为“想”也是不妥当的，如此理解，没有突出数学的本质特征，因为无论什么学科都是需要思考的。“会用数学的语言表达现实世界”如果简单地理解成“用”，也没有反映数学的本质特征，而且实际上会用数学语言表达现实世界并不是突出数学的应用，而是把现实世界与数学世界建立对应的联系，以便更好地用数学的语言来解释现实世界和满足数学交流的需要。笔者秉承以迦达默尔哲学诠释学为代表的后现代主义哲学的思想观点，尝试对《义务教育数学课程标准（2022年版）》中的“三会”进行解读。

二、内涵阐释

（一）“会用数学的眼光观察现实世界”的内涵

笔者认为“会用数学的眼光观察现实世界”中的“眼光”可以解释为“理论”，“观察现实世界”可以解释为“解释现实世界”，“会用数学的眼光观察现实世界”就是会用数学的理论解释现实世界，二者的意思是一样的，为了简便起见，在行文上只用其一。一個人虽然长得很美，但是拍照片不上相，其实我们可以用数学的眼光观察这个问题或解释这个现象。按照几何学或代数学相关的维数理论，人是三维立体的，立体的人像投射到平面上——也就是照片上，就变成了二维的图像，在这个数学变换中会有很多三维的信息没有反映出来或被扭曲了，这就造成很美的人但是却不上相，这样就用数学理论解释了现实世界存在的问题，这就是“会用数学的理论解释现实世界”，也就是“三会”中的“会用数学的眼光观察现实世界”。

有的学者认为小学生所学数学知识有限并且很简单，让小学生用数学的理论解释现实世界，这样不太合适。事实上，让小学生养成用数学的眼光观察现实世界的习惯非常重要：一方面可以让小学生认识到数学与现实世界的密切联系，至少让小学生认识到数学在现实世界中是有用武之地的，这样小学生才不会以孤立的、静止的、片面的形而上学的方式学习数学知识，而是用普遍联系的思想观点学习数学知识；另一方面也可以培养小学生对数学的兴趣，如果不将数学与现实世界联系在一起，而仅仅给小学生灌输纯粹的数学知识，在没有现实生活经验的情况下，小学生对数学可能不会产生兴趣。因此，用数学的理论解释现实世界的习惯应该从小学就开始培养。

（二）“会用数学的思维思考现实世界”的内涵

上文说到“会用数学的眼光观察现实世界”本质上就是用已经学过的数学理论解释现实世界，但是解释的方式是什么？如何解释现实世界？由于数学已经从现实世界中抽象出来并成为一种理论，这样只能用抽象的思维方式解释现实世界，这就是说数学是以抽象的思维方式来思考现实世界的。

抽象的思维方式是认识或解释现实世界的重要手段。从数学的视角来看，人们运用这种思维方式把现实生活中纷繁复杂的现象世界或事实世界抽象为只剩下数学属性的理论世界，这个抽象的过程是一个把现实世界数学化的过程，也是把客观世界主观内化的过程。用数学理论去解释纷繁复杂的物质世界，既是对物质世界简洁而抽象的符号语言表达，也是使这个复杂的现实世界在数学化的同时更加趋于简洁，而且更能反映现实世界在数学属性方面的一些本质特征。

用数学的思维思考现实世界时，其中一个重要的结果就是把客观世界抽象化，这个过程也是一个学习者内化或数学化的过程，外部世界的数学性质在数学学习者的思维方式思考下就反映出来了。在用数学的思维方式思考现实世界的过程中，由于采用抽象的方式建立了现实物质世界和抽象简洁的数学符号之间的对应关系，这种对应关系可以帮助人们更好地解释或理解现实世界。还以上面的拍照不上相为例，三维的人投影到二维平面上的时候，其对应的函数关系就是一个具有立体感的人抽象为一个二维的平面照片，这个照片是抽象（投影）过的，可以把人当作客观世界中的事物，而照片就是通过数学思维——抽象（投影）方式得到的，这里的投影或抽象就体现了数学的思维方式，也体现了一种对应关系。

（三）“会用数学的语言表达现实世界”的内涵

数学知识需要用数学符号语言来表达。仅仅用数学的思维思考现实世界，获取现实世界的数学知识是不够的，因为获取现实世界的数学知识是一种输入活动，关键还是要输出，这就是说仅仅以数学的思维思考现实世界还不够，而且以数学的思维思考现实世界也不是目的，解释现实世界才是目的。要解释现实世界，就需要把数学知识通过数学符号语言表达出来。要形成数学知识，就要以抽象而简洁的符号语言为载体进行数学知识的输出活动，这个活动本身也是一种用抽象而简洁的数学语言表达数学思维、思考现实世界的过程，也就是说数学的思维必须借助数学语言才能实现。只有把思维的结果和思维过程用抽象而简洁的语言符号表达出来，才能更好地用数学理论理解或表达现实世界，继而解释现实世界。这就显示了运用抽象而简洁语言符号表达数学知识和数学思维的重要性。数学的符号语言是表达数学思维最重要的载体，也是解释现实世界的工具。

数学研究或数学学习是需要交流的。十七、十八世纪欧洲数学家之间的交流促进了数学的发展。帕斯卡与费尔马通过书信交流数学思想观点，莱布尼茨和伯努利家族的几位数学家通过书信交流数学思想观点，欧拉与拉格朗日、达朗贝尔等数学家之间的数学交流都在一定程度上促进了数学的发展。同样的，当今中小学生学习数学也是需要交流的。用数学的语言表达现实世界是使现实世界数学化的过程，这就要求中小学生要逐渐学会用数学语言解释或表达现实世界，并在现实生活中学会用数学语言与他人进行交流。按照哲学诠释学集大成者伽达默尔的观点来讲，表达或表现真理比真理本身更重要［3］。从这个意义上讲，会用数学的语言表达数学知识或表达现实世界对数学交流而言非常重要。

三、关系分析

（一）数学是解释现实世界的理论

用数学理论解释现实世界一直是古今中外学者的追求。中国古代社会强调“天圆地方”，这就是用数学理论来解释现实世界的例证之一。毕达哥拉斯提出“万物皆数”的观点，强调的就是用数学理论来解释现实世界。柏拉图讲“宇宙是上帝按照几何学的形式设计的”也是用数学理论来解释现实世界。爱因斯坦用黎曼几何为理论基础建立广义相对论来解释宇宙。马克思在《关于费尔巴哈的提纲》中说：“哲学家们只是用不同的方式解释世界，而问题在于改变世界。”［4］数学在很大程度上是解释世界的工具，而用数学改变世界可能是间接的——通过自然科学和社会科学领域应用数学，作用于现实世界的时候才可能改变现实世界，但是这不是数学的内容。因此对人类而言，数学主要是解释世界的。

美学家朱光潜说：“假如你是一位木商，我是一位植物学家，另外一位朋友是画家，三人同时来看一棵古松。我们三人可以说同时都‘知觉到这一棵树，可是三人所‘知觉到的却是三种不同的东西。你脱离不了你的木商的心习，你所知觉到的只是一棵做某事用值几多钱的木料。我也脱离不了我的植物学家的心习，我所知觉到的只是一棵叶为针状、果为球状、四季常青的显花植物。我们的朋友画家什么事都不管，只管审美，他所知觉到的只是一棵苍翠劲拔的古树。我们三人的反应态度也不一致。”［5］朱先生的这个例子没有考虑到数学家，如果让数学家参与，数学家可能会用数学理论来解释这棵古松的数学性质，这就是受到“三句话不离本行”职业习惯的影响。这就说明了会用数学理论解释现实世界是重要的。数学工作者喜欢把问题转化为数学问题来解决。就像笛卡尔强调任何一个现实生活问题都可以转化为一个数学问题［6］。所以说“三会”中会用数学的理论解释现实世界才是最重要的，会用数学的思维和会用数学的语言仅仅是用数学解释现实世界的一种方式。

（二）“三会”发生的同时性

在“三會”中只要用数学的理论解释现实世界，也会不自觉地运用数学的思维方式思考现实世界，因为数学的理论与数学的思维方式是密切联系的。数学思维方式不是孤立存在的，而是存在于数学知识之中，是以数学知识为载体的，所以说当用数学的理论解释现实世界的时候，同样要具备数学的思维方式，而数学的思维需要抽象而简洁的符号语言作为工具。这就说明了只要会用数学理论解释现实世界，数学思维与数学语言作为两个重要的工具就要运作起来。同样的，当用数学思维思考现实世界时，思考的过程在一定程度上也是用数学理论解释现实世界的过程和用数学语言表达现实世界的过程，这就说明了三者是同时运作的关系。

（三）思维与语言的并列关系

表达数学的思维是需要运用抽象而简洁的数学符号语言的，这就反映了会用数学的思维思考现实世界和会用数学的语言表达现实世界是相关的。人类对思维与语言关系研究的一个共识是：思维与语言是十分密切的关系。一般而言，没有语言就没有办法表达思维，没有思维就谈不上语言表达的方式，甚至表达的内容。思维与语言的这种鸡生蛋和蛋生鸡的关系也说明了会用数学的思维思考现实世界和会用数学的语言表达现实世界是密切相关的，甚至是和谐统一的。苏联心理学家列夫·维果斯基的《思维与语言》就论证了二者的密切关系［7］。“三会”中后“二会”本质上是前“一会”的延伸或派生，只不过一个从思维的角度来阐释如何用数学的理论更好地解释现实世界，而另一个从语言的角度来表达如何更好地用数学的理论解释现实世界。在这里“思维”和“语言”可能就是一个事物的两个方面，这就像量子力学中的“波粒二象性”一样，只不过呈现的是两种不同的现象而已，但是本质只有一个。我们更应该从辩证统一的视角来分析这个问题，用数学的思维方式思考问题不是目的，仅仅是一种手段，同样用数学的语言表达现实世界也仅仅是一种工具，二者的目的是更好地用数学理论解释现实世界。

（四）课标中“三会”的关系

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“三会”出现了很多次，下面我们选择主要体现“三会”之间关系的内容进行分析。《义务教育数学课程标准（2022年版）》多处强调学生学习数学时“三会”在“四能”中是有先后顺序性，例如在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中的第72、79、84页等强调“三会”的顺序性。事实上“三会”是没有先后顺序之分的。一般而言，用数学的眼光观察现实世界不仅可以用于发现问题、提出问题和分析问题，对解决问题同样是适用的。提出问题本身都是通过数学的抽象思维获得的，提出问题的过程是需要用数学语言表达和数学思维思考的。这再一次说明了数学语言与思维几乎是同步的，而且都是围绕用数学的理论来解释现实世界这个中心的。发现问题、提出问题、分析问题和解决问题这“四能”都是需要语言表达的，如果语言表达不清晰，说明对某个问题还没有思考清楚。“四能”都是需要用到数学思维的，并不是仅仅在分析问题的时候用数学思维，而在发现问题、提出问题和解决问题的时候就不需要数学思维了。总之，笔者认为，提出问题、发现问题、分析问题和解决问题的过程自始至终贯穿了“三会”中的每“一会”。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“教材编写建议”中强调“三会”的独立性［8］。其实“三会”的密切联系性远远大于独立性。小学生的抽象思维还不是太发达，在数学语言上就必须主要借助形象具体的语言；到了中学高年级阶段，甚至大学阶段，学生的抽象思维有一定程度的发展，其表达现实世界的语言也不再是小学数学中具体形象的语言，而是更为抽象的符号语言。语言与思维关系是很密切的，二者在数学中，当一个发生变化时，另一个也要随之发生变化的，语言与思维的对应关系也可见一斑。

四、总结

以上笔者对《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的“三会”进行诠释，把“会用数学的眼光观察世界”解释为“会用数学的理论解释现实世界”，但是如何用数学的理论解释现实世界，这就需要用数学的思维思考现实世界和用数学的语言表达现实世界。会用数学的思维思考现实世界和会用数学的语言表达现实世界基本上是同步的。会用数学的语言表达现实世界的过程也就是会用数学的思维方式去思考现实世界的过程。因此，在“三会”中，“会用数学的眼光观察现实世界”是“三会”的中心或统帅，是“一体”，而会用数学的思维思考现实世界和会用数学的语言表達现实世界是并列的“两翼”。显然，“三会”中的“两翼”是为“一体”这个中心服务的。

有学者可能会说，如果这样理解“三会”，没有强调数学广泛的应用性，而广泛的应用性是数学在当代社会重要的三个性质（其余的两个性质是数学的抽象性和严谨性）之一。其实“三会”强调了数学与现实世界的联系，关于应用问题是包含在这“三会”之中的。这就是笔者对2022版数学新课标中“三会”内涵的一种阐释。

（胡吉振  李永桃    陶然，丽水学院教师教育学院，浙江 丽水，323000）

参考文献：

［1］ 史宁中.《义务教育数学课程标准（2022年版）》的修订与核心素养［J］.教师教育学报，2022（3）：92-96.

［2］ 曹希刚，冯辉.基于“三会”的乡村初中数学情境教学研究［J］.初中数学教与学，2022（8）：9-12.

［3］ 伽达默尔.诠释学I：真理与方法（修订译本）［M］.洪汉鼎，译.北京：商务印书馆，2019：169.

［4］ 马克思，恩格斯.马克思恩格斯文集（第一卷）［M］.中共中央马克思恩格斯列宁斯大林著作编译局，译.北京：人民出版社，2009：502.

［5］ 朱光潜.谈美·谈美书简［M］.南京：江苏凤凰文艺出版社，2019：11.

［6］ 李文林.数学史概论（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2002：139.

［7］ 维果斯基.思维与语言［M］.李维，译.北京：北京大学出版社，2010：180.

［8］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022：72，79，84，92.